Problemas de Movimiento oscilatorio (GIC)

Problemas del boletín

Solución general del MAS

La solución general de la ecuación de movimiento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -k x}

es de la forma

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = a \cos(\omega t)+b\,\mathrm{sen}\,(\omega t)}   Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}}

con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} y $b$ dos constantes dependientes de las condiciones iniciales.

1. Halle el valor de las constantes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} si la posición inicial de la partícula es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_0} y su velocidad inicial es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} .
2. Demuestre que la ecuación horaria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = A \cos\left(\omega t+\phi\right)} es también solución de la misma ecuación de movimiento. Empleando relaciones trigonométricas, deduzca la relación entre las constantes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{A,\phi\}} y las constantes $\{a,b\}$. Exprese Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \phi} en función de la posición y la velocidad iniciales, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_0} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} .
3. Calcule la velocidad de la partícula para cualquier instante en función de la posición y velocidad iniciales.
4. Demuestre que la cantidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E=mv^2/2+kx^2/2} no depende del tiempo. ¿Cuánto vale en función de las condiciones iniciales?
5. Demuestre que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}} , con $\mathrm {j} =\mathrm {i} ={\sqrt {-1}}$, la unidad imaginaria, es una solución particular de la ecuación de movimiento. Aplicando los resultados anteriores, demuestre la relación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}=\cos(\omega t)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}\,(\omega t)}

Masa de un astronauta

Para medir la masa de un astronauta en ausencia de gravedad se emplea un aparato medidor de masa corporal. Este aparato consiste, básicamente, en una silla que oscila en contacto con un resorte. El astronauta ha de medir su periodo de oscilación en la silla. En la segunda misión Skylab el resorte empleado tenía una constante k = 605.6 N/m y el periodo de oscilación de la silla vacía era de 0.90149 s. Calcule la masa de la silla. Con un astronauta en la silla el periodo medido fue 2.08832 s. Calcule la masa del astronauta.

Barra oscilando respecto a uno de sus extremos

Una barra homogénea de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} y masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M} cuelga por uno de sus extremos de modo que se encuentra en equilibio en posición vertical. Analiza el movimiento de la barra si se separa de la vertical un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta_0} pequeño.

Barra oscilando alrededor de un extremo con muelle

Una barra de masa $m$ y longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} está articulada en un extremo en el punto fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} . El otro extremo se conecta a un muelle de constante elástica y longitud natural nula. Usando el Teorema del Momento Cinético, encuentra la frecuencia con la que oscila la barra suponiendo que el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} es siempre muy pequeño.

Oscilador amortiguado

Un oscilador amortiguado experimenta una fuerza de rozamiento viscoso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{F}_r=-b \mathbf{v}} , de forma que su ecuación de movimiento, para un movimiento unidimensional es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ma =-b v-kx\,}

1. Demuestre que la energía mecánica Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2} es una función decreciente con el tiempo.
2. Si buscamos una solución particular de la forma $x=A\mathrm {e} ^{\lambda t}$, calcule los dos valores que puede tener Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda} . La solución general será una combinación de las dos posibilidades: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = A_1 \mathrm{e}^{\lambda_1 t}+A_2 \mathrm{e}^{\lambda_2 t}\,} con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_2} dos constantes a determinar mediante las condiciones iniciales.
3. ¿Cuál es el máximo valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} para que haya oscilaciones? ¿cómo es el movimiento si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} supera ese valor?
4. Considere el caso particular de una partícula de masa m = 1 kg se encuentra sujeta a un muelle de constante k =1 N/m, existiendo un rozamiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} . Determine la posición en cualquier instante si se impulsa desde la posición de equilibrio con velocidad $v_{0}$ = 0.6 m/s si (a) b = 1.6 N·s/m, (b) b = 2.5 N·s/m, (c) b = 2.0 N·s/m.

Muelle forzado

Una pesa de 1.50 kg está suspendida de un muelle con una constante elástica Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k=200\,\mathrm{N/m}} . Una fuerza sinusoidal con una magnitud de 50.0 N excita el sistema. El factor de rozamiento es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b=\sqrt{2k m}} ¿Que frecuencia debe tener la fuerza externa para que el objeto vibre con una amplitud de 0.122 m?

Calcetín oscilante

Un calcetín colgado para recibir un regalo de Navidad mide 128 mm de largo. El único regalo dentro del calcetín es un teléfono móvil. La persona que ha comprado el móvil llama al número del mismo cuando el destinatario del regalo va a recogerlo. Este observa asombrado que el calcetín ́oscila con una amplitud apreciable. ¿Cuál es el valor aproximado de la frecuencia a la que vibra el móvil? (El móvil tiene conectado el vibrador)

Otros problemas

Pelota que bota y bota

Un balón que se ha dejado caer desde una altura de 4 m choca con el suelo con una colisión perfectamente elástica. Suponiendo que no se pierde energía debido a la resistencia del aire, demuestre que el movimiento es periódico. Determine el periodo del movimiento, ¿Es éste un movimiento armónico simple?

Oscilador armónico bidimensional

Una partícula de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} se encuentra sobre una mesa, unida a un punto fijo de ésta (que tomaremos como origen de coordenadas) mediante un muelle de constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} . En el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} se la sitúa en la posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{r}_0 = x_0\mathbf{i}} y se le comunica una velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}_0=v_0\mathbf{j}} .

1. Halle la posición de la partícula en cualquier instante.
2. ¿Cómo es la trayectoria de la partícula?
3. Demuestre que, en este movimiento, las cantidades

$E={\frac {1}{2}}m\left|\mathbf {v} \right|^{2}+{\frac {1}{2}}k\left|\mathbf {r} \right|^{2}$    Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{L}=m\mathbf{r}\times\mathbf{v}}

son constantes de movimiento.

Asociaciones de resortes

Determine la frecuencia de oscilación de una masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} unida a dos muelles de constantes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_2} cuando

1. los muelles están conectados en paralelo.
2. los muelles están conectados en serie.

Masa que cuelga de dos muelles

Se tiene una masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} que cuelga de una asociación de dos muelles en paralelo con constantes recuperadoras Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_2} y longitudes naturales Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_2} , respectivamente.

1. Determine el valor de la elongación de la asociación en la situación de equilibrio.
2. Se empuja la masa verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} . Suponiendo que el rozamiento es despreciable, encuentre la evolución de la posición de la masa en el tiempo y el período de oscilación (Escoja como origen de coordenadas la posición de equilibrio del apartado anterior). Calcule la posición más alta que alcanza la masa y su energía en ese instante.
3. Se añade un pistón de masa despreciable, de modo que se mueve dentro de un cilindro relleno con nitrógeno. Determine la longitud de onda de la onda de sonido generada en el cilindro, considerando que el gas es ideal.
4. Determine los valores numÚricos de las magnitudes pedidas en los apartados anteriores.

Datos: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m = 100\,\mathrm{g}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_1=100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_2=200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_1=10.0\,\mathrm{cm}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_2=12.0\,\mathrm{cm}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g=9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0=100\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M_{N}=28.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T=25.0^\circ\mathrm{C}}

Error en el péndulo

Halle el error relativo cometido al calcular la velocidad para un péndulo en su punto más bajo empleando la aproximación de oscilador armónico, si se suelta en reposo desde un ángulo respecto a la vertical de (a) 1° (b) 10° (c) 30° (d) 60° (e) 90°.

Balanza de frutero

Una balanza de frutero cuelga verticalmente de forma que cuándo sólo está el plato, de masa 200 g, la elongación respecto de la elongación natural es de 1.00 cm. De pronto, el frutero suelta 1.00 kg de plátanos en el plato. Despreciando el rozamiento,

1. ¿Cuál es la amplitud de las oscilaciones resultantes?
2. Cuál es su período?
3. ¿Cuál es la velocidad máxima de los plátanos?
4. ¿Cuánto vale la energía mecánica del sistema si tomamos como referencia de alturas la posición inicial del plato?
5. Supón que, estando en el punto más bajo de sus oscilaciones, uno de los plátanos (de 100 g de masa) cae del plato. ¿Cuál es la amplitud de las oscilaciones que hace el plato a partir de ese momento?

Partícula en un cuenco

Una partícula de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} se desliza sin rozamiento dentro de un recipiente de forma hemisférica de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} . Demuestre que el movimiento de la partícula sobre el cuenco es equivalente a un péndulo de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} .

Oscilador no lineal

Una partícula está sometida exclusivamente a una fuerza, dependiente de la posición, dada por

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F(x) = cx - px^3\qquad (p>0)}

1. Halle la expresión de la energía potencial y la energía mecánica para la partícula. Esboce las gráficas para los casos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c<0} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c>0} .
2. Demuestre que el movimiento de la partícula siempre es acotado, y periódico.
3. Localice las posiciones de equilibrio de la partícula (a) si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c<0} (b) si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c>0} .
4. Suponga que la partícula se suelta desde una posición muy próxima a las posiciones de equilibrio calculadas en el apartado anterior. ¿En qué caso describe oscilaciones? Halle el valor aproximado del periodo de oscilación para este movimiento.

Resorte forzado

Un niño juega con un resorte de constante k = 20 N/m y fricción despreciable del cual cuelga una masa m = 200 g, sujetando el otro extremo del resorte entre sus dedos, con la mano extendida horizontalmente. El niño agita la mano arriba y abajo, con una amplitud b = 2 cm y una frecuencia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega} . Determine la posición de la pesa, si esta oscila con la misma frecuencia que la mano. ¿En qué condiciones la pesa llegará a golpearle la mano?

Oscilaciones en un circuito

Un circuito formado por una resistencia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} , un condensador Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} y una autoinducción Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} , asociadas en serie cumple las siguientes ecuaciones para la carga en el condensador y la corriente en el circuito:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}+RI+\frac{Q}{C}=0}   Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I =\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}}

1. Suponga en primer lugar que la resistencia es nula (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R=0} ). Pruebe que la carga del condensador oscila armónicamente. ¿Cuál es la frecuencia de oscilación? ¿Qué energía se conserva, análogamente a la energía mecánica de un oscilador armónico?
2. Si la resistencia no es nula, pruebe que el sistema se comporta como un oscilador amortiguado. ¿Cuál es la resistencia máxima para que haya oscilaciones en el sistema?
3. Suponga que además de los elementos anteriores, el circuito dispone de una fuente de corriente alterna, que lleva mucho tiempo conectada, de manera que las ecuaciones del circuito son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}+RI+\frac{Q}{C}=V_0\cos(\omega t)}   Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}}

Halle la amplitud de las oscilaciones de la carga del condensador, como función de los parámetros del circuito y de la frecuencia y amplitud del voltaje aplicado.

Partícula sometida a la acción de dos muelles colineales

Se tiene el sistema de la figura, formado por dos muelles de longitud natural nula y constantes elásticas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_1 } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_2 } . Los puntos de anclaje de los muelles están separados por una distancia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L } . Una partícula de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m } está conectada a los dos muelles y se mueve bajo la acción de éstos. El rozamiento con la superficie es despreciable. Los valores numéricos de los parámetros del problema son Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_1=100\,\mathrm{N/m} } , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_2=200\,\mathrm{N/m} } , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L = 10.0\,\mathrm{cm} } , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m=100\,\mathrm{g} } .

1. Calcula la posición de equilibrio de la partícula.
2. Calcula la energía potencial elástica de la partícula cuando está en su posición de equilibrio.
3. Estando la partícula en la posición de equilibrio, se le da un empujón hacia la derecha de modo que su velocidad inicial es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0 } . ¿Cuál es el período de las oscilaciones de la partícula?
4. Si el valor numérico de la velocidad inicial es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0=100\,\mathrm{cm/s} } , ¿cuál es la amplitud de las oscilaciones de la partícula?