Barra oscilando alrededor de un extremo con muelle (F1-GIC)

Enunciado

Una barra de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} y longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} está articulada en un extremo en el punto fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} . El otro extremo se conecta a un muelle de constante elástica y longitud natural nula. Usando el Teorema del Momento Cinético, encuentra la frecuencia con la que oscila la barra suponiendo que el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} es siempre muy pequeño.

Solución

Fuerzas sobre la barra

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la barra. Tenemos el peso, la fuerza que ejerce el muelle y la fuerza vincular en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } . La fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{O} } tiene dos componentes por que el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } de la barra tiene todos los movimientos prohibidos (consideramos el sistema bidimensional). No sabemos a priori ni su dirección ni su sentido, por eso se la da una dirección arbitraria en el diagrama de fuerzas.

Como el muelle tiene longitud natural nula, la fuerza que ejerce sobre el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B } viene dada por la expresión

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_k = -k\,\overrightarrow{AB}. }

El vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB} } es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ll} \overrightarrow{AB} & = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = L\,(\cos\theta - 1)\,\vec{\imath} + (L\,\mathrm{sen}\,\theta - h)\,\vec{\jmath}\\ &\overrightarrow{OB} = L\cos\theta\,\vec{\imath} + L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath},\\ &\overrightarrow{OA} = L\,\vec{\imath} + h\,\vec{\jmath}. \end{array} }

Nos pide el problema que estudiemos el movimiento cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta } es pequeño. Entonces podemos aproximar las funciones coseno y seno por sus polinomios de Taylor

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \mathrm{sen}\,\theta = \theta - \dfrac{1}{3!}\theta^3 + O(\theta^5), \\ \cos\theta = 1 - \dfrac{1}{2!}\theta^2 + O(\theta^4). \end{array} }

Nos basta con usar el primer término del polinomio en cada caso. Tenemos entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{sen}\,\theta \approx \theta, \qquad \cos\theta\approx 1. }

El vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB} } es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB} \approx (L\theta - h)\,\vec{\jmath}. }

Podemos ahora escribir las tres fuerzas que actúan sobre la barra, proyectadas en los ejes de la figura

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lr} \vec{P}_m = -mg\,\vec{\jmath}, & (G)\\ \vec{O} = O_x\,\vec{\imath} + O_y\,\vec{\jmath}, & (O)\\ \vec{F}_k \approx k\,(h - L\theta)\,\vec{\jmath}. & (B) \end{array} }

La fuerza vincular

Ecuación de movimiento

Podemos obtener la ecuación de movimiento aplicando el Teorema del momento angular (TMA) en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } . Como la fuerza vincular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{O} } no crea momento en ese punto, por estar aplicada en él, sus componentes no aparecen en el TMA.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t} = \vec{M}_O^{\,\mathrm{Total}}. }

El momento angular es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ll} \vec{L}_O & = I_O\,\vec{\omega} = \dfrac{1}{3}mL^2\dot{\theta}\,\vec{k}.\\ & I_O = mL^3/2,\\ & \vec{\omega}= \dot{\theta}\,\vec{k}. \end{array} }

Aquí, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_O } es el momento de inercia de la barra respecto a un eje perpendicular a ella que pasa por su extremo. El vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}} es el vector que describe la rotación de la barra.

Lo único que cambia con el tiempo en la expresión del momento angular es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}} . Por tanto, su derivada temporal es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t} = \dfrac{1}{3}mL^2\dfrac{\mathrm{d}\dot{\theta}}{\mathrm{d}t}\,\vec{k} = \dfrac{1}{3}mL^2\ddot{\theta}\,\vec{k}. \qquad (a) }

Vamos ahora con el lado derecho del TMA. El momento total de fuerza respecto al punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } es la suma del momento creado por el peso y el muelle

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ll} \vec{M}_O^{\,\mathrm{Total}} & = \overrightarrow{OG}\times\vec{P}_m + \overrightarrow{OB}\times\vec{F}_k = \left( -\dfrac{1}{2}mgL + kLh - kL^2\theta \right)\,\vec{k}. \qquad (b) \\ & \overrightarrow{OB} \approx L\,\vec{\imath} + L\theta\,\vec{\jmath},\\ & \overrightarrow{OG} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{OB} \approx \dfrac{L}{2}\,\vec{\imath} + \dfrac{L}{2}\theta\,\vec{\jmath}. \end{array} }

Igualando las expresiones Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (a)} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (b) } obtenemos la ecuación de movimiento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{1}{3}mL^2\ddot{\theta} = -\dfrac{1}{2}mgL + kLh - kL^2\theta. }

Esta es la ecuación del movimiento armónico simple (MAS). Podemos reescribirla así

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\theta} = -\dfrac{3k}{m}\,\theta + \left(\dfrac{3kh}{mL} - \dfrac{3g}{2L} \right). }

El término entre paréntesis en el lado derecho es constante. Es decir, es la ecuación inhomogénea del MAS. Escrita de esta forma permite identificar el factor multiplicando a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} como el cuadrado de la frecuencia angular del movimiento, y de ahí obtenemos el período y la frecuencia

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega = \sqrt{\dfrac{3k}{m}}, \qquad T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{3k}}, \qquad f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{1}{2\pi}\,\sqrt{\dfrac{3k}{m}}. }

Situación de equilibrio

El término constante en la ecuación de movimiento quiere decir que la posición de equilibrio no corresponde a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=0} (la barra en posición horizontal). Podemos obtener el ángulo para el que la barra está en equilibrio imponiendo en la ecuación de movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\theta}=0} , es decir, que no haya movimiento.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0= -\dfrac{3k}{m}\,\theta_{eq} + \left(\dfrac{3kh}{mL} - \dfrac{3g}{2L} \right) \Longrightarrow \theta_{eq} = \dfrac{h}{L} - \dfrac{mg}{2kL}. }