Asociaciones de resortes

Enunciado

Determine la frecuencia de oscilación de una masa $m$ unida a dos muelles de constantes $k_{1}$ y $k_{2}$ cuando

1. los muelles están conectados en paralelo.
2. los muelles están conectados en serie.

Solución

Previamente al cálculo hay que definir qué entendemos por asociación en serie o en paralelo. El concepto es análogo al de las asociaciones de elementos en un circuito. Dos resortes estarán

• en paralelo, cuando están conectados por sus dos extremos,
• en serie, cuando lo están solo por uno de ellos y en el punto de conexión no hay conectado ningún resorte adicional.

Muelles en paralelo

Por simplicidad supondremos el caso unidimensional, aunque resultados análogos se tienen en el caso general tridimensional. Igualmente, para facilitar la visualización del sistema, consideraremos que están situados verticalmente y un peso $mg$ cuelga de ellos.

La masa está unida al techo a través de dos resortes, de constantes $k_{1}$ y $k_{2}$. Cuando la masa desciende una cantidad $x$, los dos muelles se estirarán en la misma cantidad

$x_{1}=x_{2}=x\,$

La fuerza total que los muelles ejercen sobre la masa será su resultante

$F=F_{1}+F_{2}=-k_{1}x_{1}-k_{2}x_{2}=-k_{1}x-k_{2}x=-(k_{1}+k_{2})x\,$

Por tanto, la asociación se comporta como un solo muelle, cuya constante es la suma de las constantes

$k=k_{1}+k_{2}\,$

Muelles en serie

Consideremos ahora dos mueles puestos uno a continuación del otro. El muelle 1 se encuentra anclado a la pared y se estirará una cantidad $x_{1}$. El muelle 2 se encuentra anclado a éste, y se estirará una cantidad

$x_{2}=x-x_{1}\,$ ⇒ $x_{1}+x_{2}=x\,$

La fuerza sobre la masa $m$, situada en el extremo libre del muelle 2, es ejercida por este muelle

$ma=F_{2}=-k_{2}(x-x_{1})\,$

¿Cuánto vale $x_{1}$? Una forma de hallarlo es considerar, temporalmente, que en el punto de unión tenemos una pequeña masa $m_{0}$

Esa masa está unida a dos muelles, uno de constante $k_{1}$, unido a la pared, y otro de constante $k_{2}$, unido a la masa $m$. La 2ª ley de Newton, para esta masa intermedia se leerá

$m_{0}a_{1}=-k_{1}x_{1}-k_{2}(x_{1}-x)=F_{1}-F_{2}\,$

Si ahora consideramos que esa masa en realidad no está ahí, esto equivale a hacer $m_{0}\to 0$ y por tanto

$F_{1}-F_{2}=0\,$ ⇒ $F_{1}=F_{2}=F\,$

esto es, la fuerza se transmite a lo largo de la asociación, de forma que la fuerza que la masa ejerce sobre el muelle 2 es la misma que la que éste hace sobre el muelle 1 y la que éste hace sobre el punto de anclaje. Esto es razonable si uno considera el caso de que la masa cuelga del techo mediante la serie de dos muelles. La fuerza hacia abajo en la posición de la masa es simplemente su peso. La fuerza hacia abajo en el punto de unión de los muelles, sigue siendo el peso de la masa inferior, ya que el muelle lo suponemos sin masa. la fuerza hacia abajo en el extremo superior sigue siendo el mismo peso, ya que los dos muelles los suponemos sin masa. La fuerza se conserva a lo largo de una asociación en serie.

Por tanto

$x_{1}=-{\frac {F_{1}}{k_{1}}}=-{\frac {F}{k_{1}}}$    $x_{2}=-{\frac {F_{2}}{k_{2}}}=-{\frac {F}{k_{2}}}$    $x=x_{1}+x_{2}=-\left({\frac {1}{k_{1}}}+{\frac {1}{k_{2}}}\right)F$

y la constante equivalente a la asociación en serie cumple

${\frac {1}{k}}={\frac {1}{k_{1}}}+{\frac {1}{k_{2}}}$ ⇒ $k={\frac {k_{1}k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}$

Resumiendo, de forma análoga a como ocurre con los condensadores en los circuitos:

• Si los muelles están en paralelo, la constante de la asociación es la suma de las constantes

$k=k_{1}+k_{2}\,$

• Si los muelles están en serie, la inversa de la constante es la suma de las inversas

${\frac {1}{k}}={\frac {1}{k_{1}}}+{\frac {1}{k_{2}}}$

A partir de aquí ya se pueden considerar casos más complicados, como asociaciones en serie de asociaciones en paralelo y situaciones por el estilo.