Asociaciones de resortes

Enunciado

Determine la frecuencia de oscilación de una masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} unida a dos muelles de constantes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_2} cuando

1. los muelles están conectados en paralelo.
2. los muelles están conectados en serie.

Solución

Previamente al cálculo hay que definir qué entendemos por asociación en serie o en paralelo. El concepto es análogo al de las asociaciones de elementos en un circuito. Dos resortes estarán

• en paralelo, cuando están conectados por sus dos extremos,
• en serie, cuando lo están solo por uno de ellos y en el punto de conexión no hay conectado ningún resorte adicional.

Muelles en paralelo

Por simplicidad supondremos el caso unidimensional, aunque resultados análogos se tienen en el caso general tridimensional. Igualmente, para facilitar la visualización del sistema, consideraremos que están situados verticalmente y un peso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle mg} cuelga de ellos.

La masa está unida al techo a través de dos resortes, de constantes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_2} . Cuando la masa desciende una cantidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} , los dos muelles se estirarán en la misma cantidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1 = x_2 = x\,}

La fuerza total que los muelles ejercen sobre la masa será su resultante

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F = F_1 + F_2 = -k_1x_1 - k_2x_2 = -k_1x-k_2x = -(k_1+k_2)x\,}

Por tanto, la asociación se comporta como un solo muelle, cuya constante es la suma de las constantes

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k = k_1 + k_2\,}

Muelles en serie

Consideremos ahora dos mueles puestos uno a continuación del otro. El muelle 1 se encuentra anclado a la pared y se estirará una cantidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1} . El muelle 2 se encuentra anclado a éste, y se estirará una cantidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_2 = x- x_1\,}  ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1 + x_2 = x\,}

La fuerza sobre la masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} , situada en el extremo libre del muelle 2, es ejercida por este muelle

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m a = F_2 = -k_2(x-x_1)\,}

¿Cuánto vale Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1} ? Una forma de hallarlo es considerar, temporalmente, que en el punto de unión tenemos una pequeña masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_0}

Esa masa está unida a dos muelles, uno de constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_1} , unido a la pared, y otro de constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_2} , unido a la masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} . La 2ª ley de Newton, para esta masa intermedia se leerá

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_0a_1 = -k_1x_1 -k_2(x_1-x) = F_1-F_2\,}

Si ahora consideramos que esa masa en realidad no está ahí, esto equivale a hacer Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_0\to 0} y por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_1-F_2 = 0\,}  ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_1 = F_2=F\,}

esto es, la fuerza se transmite a lo largo de la asociación, de forma que la fuerza que la masa ejerce sobre el muelle 2 es la misma que la que éste hace sobre el muelle 1 y la que éste hace sobre el punto de anclaje. Esto es razonable si uno considera el caso de que la masa cuelga del techo mediante la serie de dos muelles. La fuerza hacia abajo en la posición de la masa es simplemente su peso. La fuerza hacia abajo en el punto de unión de los muelles, sigue siendo el peso de la masa inferior, ya que el muelle lo suponemos sin masa. la fuerza hacia abajo en el extremo superior sigue siendo el mismo peso, ya que los dos muelles los suponemos sin masa. La fuerza se conserva a lo largo de una asociación en serie.

Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1 = -\frac{F_1}{k_1}=-\frac{F}{k_1}}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_2 = -\frac{F_2}{k_2}=-\frac{F}{k_2}}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=x_1+x_2=-\left(\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\right)F}

y la constante equivalente a la asociación en serie cumple

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}}  ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}}

Resumiendo, de forma análoga a como ocurre con los condensadores en los circuitos:

• Si los muelles están en paralelo, la constante de la asociación es la suma de las constantes

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k=k_1+k_2\,}

• Si los muelles están en serie, la inversa de la constante es la suma de las inversas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}}

A partir de aquí ya se pueden considerar casos más complicados, como asociaciones en serie de asociaciones en paralelo y situaciones por el estilo.