Oscilador armónico bidimensional

Enunciado

Una partícula de masa $m$ se encuentra sobre una mesa, unida a un punto fijo de ésta (que tomaremos como origen de coordenadas) mediante un muelle de constante $k$. En el instante $t=0$ se la sitúa en la posición $\mathbf {r} _{0}=x_{0}\mathbf {i}$ y se le comunica una velocidad $\mathbf {v} _{0}=v_{0}\mathbf {j}$.

1. Halle la posición de la partícula en cualquier instante.
2. ¿Cómo es la trayectoria de la partícula?
3. Demuestre que, en este movimiento, las cantidades

$E={\frac {1}{2}}m\left|\mathbf {v} \right|^{2}+{\frac {1}{2}}k\left|\mathbf {r} \right|^{2}$  $\mathbf {L} =m\mathbf {r} \times \mathbf {v}$

son constantes de movimiento.

Introducción

Aunque a la hora de pensar en osciladores armónicos, la visión más habitual es en términos de masas que se mueven en una sola dimensión, con un movimiento que varía sinusoidalmente en el tiempo, en realidad, un oscilador armónico no tiene por qué estar restringido a una sola dimension.

Lo que define al oscilador armónico, en general, es la ecuación de movimiento vectorial

$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}=-k\mathbf {r}$

y sus soluciones describirán curvas tridimensionales.

En este problema tenemos una partícula situada en un plano. Su posición inicial está a una cierta distancia del punto de anclaje, en la dirección X. Esto quiere decir que el muelle inicialmente, tirará de la partícula con una fuerza en la dirección del eje X. Pero la partícula tiene una velocidad inicial paralela al eje Y. Esto quiere decir que, al menos al principio se moverá en la dirección de Y. Por tanto, necesariamente su movimiento será bidimensional.

Ley horaria

Para la partícula situada sobre la mesa, su movimiento será bidimensional y podrá describirse un sistema de coordenadas cartesiano

$\mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j}$

En este mismo sistema, la velocidad y la aceleración se escribirán

$\mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\mathbf {i} +{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\mathbf {j}$    $\mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}\mathbf {i} +{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}\mathbf {j}$

Sustituyendo en la ecuación de movimiento

$m\mathbf {a} =m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}\mathbf {i} +m{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}\mathbf {j} =-k\mathbf {r} =-kx\mathbf {i} -ky\mathbf {j}$

y, puesto que dos vectores son iguales si lo son cada una de sus componentes, la ecuación vectorial se convierte en dos ecuaciones escalares

$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx$    $m{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}=-ky$

Esto quiere decir que el problema del oscilador armónico bidimensional (y el tridimensional) se puede reducir a dos osciladores armónicos unidimensionales (tres, en el tridimensional), cuya solución general es conocida:

$x=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {v_{x0}}{\omega }}\,\mathrm {sen} \,(\omega t)$    $y=y_{0}\cos(\omega t)+{\frac {v_{y0}}{\omega }}\,\mathrm {sen} \,(\omega t)$

Combinando las dos soluciones obtenemos la solución general en forma vectorial

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}\cos(\omega t)+{\frac {\mathbf {v} _{0}}{\omega }}\,\mathrm {sen} \,(\omega t)$

En nuestro caso, la posición inicial es

$\mathbf {r} _{0}=x_{0}\mathbf {i} \,$ ⇒ $x_{0}=x_{0}\,$    $y_{0}=0\,$

y la velocidad inicial

$\mathbf {v} _{0}=v_{0}\mathbf {j} \,$ ⇒ $v_{x0}=0\,$    $v_{y0}=0\,$

por lo que las ecuaciones horarias son

$x=x_{0}\cos(\omega t)\,$  $y={\frac {v_{0}}{\omega }}\,\mathrm {sen} \,(\omega t)$    $\mathbf {r} =x_{0}\cos(\omega t)\mathbf {i} +{\frac {v_{0}}{\omega }}\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\mathbf {j}$

Trayectoria

La ley horaria nos proporciona unas ecuaciones paramétricas de la trayectoria

$x=x_{0}\cos(\omega t)\,$  $y={\frac {v_{0}}{\omega }}\,\mathrm {sen} \,(\omega t)$

que podemos convertir en una ecuación implícita si eliminamos el tiempo entre ellas. Para ello, dividimos

${\frac {x}{x_{0}}}=\cos(\omega t)\,$  ${\frac {y}{v_{0}/\omega }}=\,\mathrm {sen} \,(\omega t)$

elevando al cuadrado y sumando

${\frac {x^{2}}{x_{0}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{(v_{0}/\omega )^{2}}}=1$

Esta es la ecuación de una elipse, con semiejes

$a=x_{0}\,$    $b={\frac {v_{0}}{\omega }}$

Así pues, aunque cada una de las dos coordenadas describe una sinusoide como función del tiempo, la combinación de ambos movimientos, teniendo en cuenta el desfase entre ellos (uno es un coseno y el otro un seno) da como resultado una elipse.

Como caso particular, si v_0 = \omega x_0, la trayectoria se reduce a una circunferencia

$v_{0}=\omega x_{0}\,$ ⇒ $x^{2}+y^{2}=x_{0}^{2}\,$

siendo la celeridad para este caso particular

$v_{0}=\omega x_{0}\,$ ⇒ $|\mathbf {v} |={\sqrt {\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }}=v_{0}$

esto es, que no solo el movimiento es circular, sino que es circular uniforme.

Constantes de movimiento

Se trata ahora de demostrar que la energía mecánica y el momento angular son constante de movimiento. Esto puede hacerse de diversas formas.

Energía mecánica

En forma vectorial

Como en el caso del oscilador armónico unidimensional podemos demostrar la constancia de la energía sin necesidad de conocer la solución. Aplicando que, para un vector dependiente del tiempo

${\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left|\mathbf {A} \right|^{2}={\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)=2\mathbf {A} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}$

queda

${\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}={\frac {m}{2}}{\frac {\mathrm {d} |\mathbf {v} |^{2}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {k}{2}}{\frac {\mathrm {d} |\mathbf {r} |^{2}}{\mathrm {d} t}}={\mathrm {d} t}m\mathbf {v} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}+k\mathbf {r} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {v} \cdot \left(m\mathbf {a} +k\mathbf {r} \right)$

Sustituyendo la ecuación del oscilador armónico

$m\mathbf {a} =-k\mathbf {r}$

resulta

${\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {v} \cdot \left(-k\mathbf {r} +k\mathbf {r} \right)=0$

Por tanto, la energía mecánica es constante. Su valor debe coincidir con su valor inicial

$E={\frac {1}{2}}m\left|\mathbf {v} \right|^{2}+{\frac {1}{2}}k\left|\mathbf {r} \right|^{2}=E(0)={\frac {1}{2}}m\left|\mathbf {v} _{0}\right|^{2}+{\frac {1}{2}}k\left|\mathbf {r} _{0}\right|^{2}$

Empleando la solución

La constancia de la energía total puede también calcularse a partir de la ley horaria. Tenemos que

$\mathbf {r} =x_{0}\cos(\omega t)\mathbf {i} +{\frac {v_{0}}{\omega }}\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\mathbf {j}$     $\mathbf {v} =-\omega x_{0}\,\mathrm {sen} (\omega t)\mathbf {i} +v_{0}\cos(\omega t)\mathbf {j}$

lo que nos da la energía cinética

$T={\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} |^{2}={\frac {m}{2}}\left(x_{0}^{2}\omega ^{2}\mathrm {sen} ^{2}(\omega t)+v_{0}^{2}\cos ^{2}(\omega t)\right)$

y la energía potencial elástica

$U={\frac {1}{2}}k|\mathbf {r} |^{2}={\frac {k}{2}}\left(x_{0}^{2}\cos ^{2}(\omega t)+{\frac {v_{0}^{2}}{\omega ^{2}}}\mathrm {sen} ^{2}(\omega t)\right)$

Sumando las dos

$E=T+U={\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}+{\frac {1}{2}}kx_{0}^{2}$

Como caso partícular, observese que si $v_{0}=\omega x_{0}$, tanto la energía cinética como la potencial permanecen constantes, como corresponde a que, para ese valor de las condiciones iniciales, la partícula describe un movimiento circular uniforme.

Como suma de dos energías

Expresando los módulos en componentes cartesianas, la energía mecánica puede escribirse como

$E={\frac {m}{2}}|\mathbf {v} |^{2}+{\frac {k}{2}}|\mathbf {r} |^{2}={\frac {m}{2}}\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)+{\frac {k}{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left({\frac {m}{2}}v_{x}^{2}+{\frac {k}{2}}x^{2}\right)+\left({\frac {m}{2}}v_{y}^{2}+{\frac {k}{2}}y^{2}\right)$

esto es, equivale a la suma de las energías de dos osciladores armónicos, cada uno de los cuales verifica, según hemos visto,

$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx$    $m{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}=-ky$

La energía mecánica de cada uno de estos osciladores unidimensionales es una constante de movimiento. Por tanto, su suma también lo será

$E=\left({\frac {m}{2}}v_{x0}^{2}+{\frac {k}{2}}x_{0}^{2}\right)+\left({\frac {m}{2}}v_{y0}^{2}+{\frac {k}{2}}y_{0}^{2}\right)={\frac {m}{2}}v_{0}^{2}+{\frac {k}{2}}x_{0}^{2}$

Momento cinético

Para el momento angular también podemos partir de la ecuación de movimiento, o emplear la solución particular

En forma vectorial

Derivando en la expresión del momento cinético

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {v} +m\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}$

Cada uno de los dos sumandos se anula por separado. El primero, por incluir el producto vectorial de un vector por sí mismo:

$m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {v} =m\mathbf {v} \times \mathbf {v} =\mathbf {0}$

El segundo, por la ecuación de movimiento del oscilador armónico

$m\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times (m\mathbf {a} )=-k\mathbf {r} \times \mathbf {r} =\mathbf {0}$

Por tanto, el momento cinético es una constante igual a su valor inicial

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {0}$  ⇒ $\mathbf {L} =\mathbf {L} _{0}=m\mathbf {r} _{0}\times \mathbf {v} _{0}=mx_{0}v_{0}\mathbf {i} \times \mathbf {j} =mx_{0}v_{0}\mathbf {k}$

Este resultado es natural si observamos que el movimiento armónico simple es central. De acuerdo con la ley de Hooke, la aceleración es siempre paralela al vector de posición respecto al origen, y por tanto la velocidad areolar es constante. El momento cinético es proporcional a la velocidad areolar y, por tanto, es igualmente constante.

Esta constancia implica además que el movimiento transcurre en un plano, incluso en el caso de un problema tridimensional. Por ello, el movimiento general de una partícula que obedece la ley de Hooke es siempre una elipse (cuyo plano puede estar inclinado).

Empleando la solución particular

La expresión del momento cinético, para una partícula que se mueve en el plano XY, es

$\mathbf {L} =m\left|{\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\x&y&0\\v_{x}&v_{y}&0\end{matrix}}\right|=m(xv_{y}-yv_{x})\mathbf {k}$

Sustituyendo la solución que ya conocemos

$\mathbf {L} =m\left(\left(x_{0}\cos(\omega t)\right)\left(v_{0}\cos(\omega t)\right)-\left({\frac {v_{0}}{\omega }}\,\mathrm {sen} (\omega t)\right)\left(-x_{0}\omega \,\mathrm {sen} \,(\omega t)\right)\right)\mathbf {k} =mx_{0}v_{0}\mathbf {k} \left(\cos ^{2}(\omega t)+\,\mathrm {sen} ^{2}(\omega t)\right)=mx_{0}v_{0}\mathbf {k}$

que es constante.