Muelle forzado

Enunciado

Una pesa de 1.50 kg está suspendida de un muelle con una constante elástica $k=200\,\mathrm {N/m}$. Una fuerza sinusoidal con una magnitud de 50.0 N excita el sistema. El factor de rozamiento es $b={\sqrt {2km}}$ ¿Que frecuencia debe tener la fuerza externa para que el objeto vibre con una amplitud de 0.122 m?

Solución

Cuando un muelle está sometido a una fuerza externa periódica de frecuencia $\omega _{e}$, después de un período transitorio, oscila con una frecuencia igual a la de la fuerza externa

$x(t)=A\cos(\omega _{e}t+\Phi )$

La amplitud de la oscilación es

$A={\dfrac {F_{0}/m}{\sqrt {(\omega _{0}^{2}-\omega _{e}^{2})^{2}+(2\gamma \omega _{e})^{2}}}}\qquad \qquad (1)$

Aquí, $F_{0}$ es la amplitud de la fuerza externa, $\omega _{0}={\sqrt {k/m}}$ es la frecuencia propia del muelle y $\gamma =b/2m$ es el parámetro de rozamiento. Vamos a introducir un cambio de variable y escribir la frecuencia de excitación que buscamos, $\omega _{e}$, de la forma

$\omega _{e}=\lambda \omega _{0}.\qquad \qquad (2)$

Vamos a buscar una ecuación para el número $\lambda$.

La frecuencia propia del oscilador es

$\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}=11.5\,\mathrm {rad/s} .\qquad \qquad (3)$

El parámetro de rozamiento es

$\gamma ={\dfrac {b}{2m}}={\dfrac {\sqrt {2km}}{2m}}={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}{\sqrt {\dfrac {k}{m}}}={\dfrac {\omega _{0}}{\sqrt {2}}}.\qquad \qquad (4)$

Introduciendo el cambio de variable (2) en la expresión (1) tenemos

$A={\dfrac {F_{0}/m}{\sqrt {\omega _{0}^{4}(1-\lambda ^{2})^{2}+4\gamma ^{2}\lambda ^{2}\omega _{0}^{2}}}}$

Ahora usamos la expresión (4)

$A={\dfrac {F_{0}/m}{\sqrt {\omega _{0}^{4}(1-\lambda ^{2})^{2}+2\lambda ^{2}\omega _{0}^{4}}}}={\dfrac {F_{0}}{m\omega _{0}^{2}}}{\dfrac {1}{\sqrt {(1-\lambda ^{2})^{2}+2\lambda ^{2}}}}={\dfrac {F_{0}}{m\omega _{0}^{2}}}{\dfrac {1}{\sqrt {1+\lambda ^{4}}}}.\qquad \qquad (5)$

Ahora podemos despejar $\lambda$

$1+\lambda ^{4}=\left({\dfrac {F_{0}}{m\omega _{0}^{2}A}}\right)^{2}\Longrightarrow \lambda =\left[\left({\dfrac {F_{0}}{m\omega _{0}^{2}A}}\right)^{2}-1\right]^{1/4}.\qquad \qquad (6)$

Sustituyendo los valores numéricos tenemos

$\lambda =1.34.$

Y la frecuencia pedida es

$\omega _{e}=\lambda \omega _{0}=15.4\,\mathrm {rad/s} .$