Asociaciones de resortes
De Laplace
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===Muelles en serie=== | ===Muelles en serie=== | ||
| + | Consideremos ahora dos mueles puestos uno a continuación del otro. El muelle 1 se encuentra anclado a la pared y se estirará una cantidad <math>x_1</math>. El muelle 2 se encuentra anclado a éste, y se estirará una cantidad | ||
| + | <center><math>x_2 = x- x_1\,</math>{{tose}}<math>x_1 + x_2 = x\,</math></center> | ||
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| + | La fuerza sobre la masa m, situada en el extremo libre del muelle 2, es ejercida por este muelle | ||
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| + | <center><math>m a = F_2 = -k_2(x-x_1)\,</math></center> | ||
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| + | ¿Cuánto vale <math>x_1</math>? Una forma de hallarlo es considerar, temporalmente, que en el punto de unión tenemos una pequeña masa <math>m_0</math> | ||
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| + | Esa masa está unida a dos muelles, uno de constante k_1, unido a la pared, y otro de constante k_2, unido a la masa m. La 2ª ley de Newton, para esta masa intermedia se leerá | ||
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| + | <center><math>m_0a_1 = -k_1x_1 -k_2(x_1-x) = F_1-F_2\,</math></center> | ||
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| + | Si ahora consideramos que esa masa en realidad no está ahí, esto equivale a hacer <math>m_0\to 0</math> y por tanto | ||
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| + | <math>F_1-F_2 = 0\,</math>{{tose}}<math>F_1 = F_2=F</math></center> | ||
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| + | esto es, la fuerza se transmite a lo largo de la asociación, de forma que la fuerza que la masa ejerce sobre el muelle 2 es la misma que la que éste hace sobre el muelle 1 y ´la que éste hace sobre el punto de anclaje. | ||
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| + | Por tanto | ||
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| + | <center><math>x_1 = -\frac{F_1}{k_1}=-\frac{F}{k_1}</math>{{qquad}}{{qquad}<math>}x_2 = -\frac{F_2}{k_2}=-\frac{F}{k_2}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>x=x_1+x_2=-\left(\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\right)F</math></center> | ||
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| + | y la constante equivalente a la asociación en serie cumple | ||
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| + | <center><math>\frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}</math>{{tose}}<math>k=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}</math></center> | ||
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| + | Resumiendo, de forma análoga a como ocurre con los condensadores en los circuitos: | ||
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| + | * Si los muelles están en serie | ||
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Revisión de 15:59 8 feb 2009
Contenido |
1 Enunciado
Determine la frecuencia de oscilación de una masa m unida a dos muelles de constantes k1 y k2 cuando
- los muelles están conectados en paralelo.
- los muelles están conectados en serie.
2 Solución
Previamente al cálculo hay que definir qué entendemos por asociación en serie o en paralelo. El concepto es análogo al de las asociaciones de elelemntos en un circuito. Dos resortes estarán
- en paralelo, cuando están conectados por sus dos extremos,
- en serie, cuando lo están solo por uno dellos y en el punto de conexión no hay conectado ningún resorte adicional.
2.1 Muelles en paralelo
Por simplicidad supondremos el caso unidimensional, aunque resultados análogos se tienen en el caso general tridimensional.
Suponemos una masa unida a un punto fijo a través de dos resortes, de constantes k1 y k2. Cuando la masa se desplaza una cantidad x, los dos muelles se estirarán en la misma cantidad
La fuerza total sobre la masa, resultante de las fuerzas aplicadas, vale
Por tanto, la asociación se comporta como un solo muelle, cuya constante es la suma de las constantes
2.2 Muelles en serie
Consideremos ahora dos mueles puestos uno a continuación del otro. El muelle 1 se encuentra anclado a la pared y se estirará una cantidad x1. El muelle 2 se encuentra anclado a éste, y se estirará una cantidad
La fuerza sobre la masa m, situada en el extremo libre del muelle 2, es ejercida por este muelle
¿Cuánto vale x1? Una forma de hallarlo es considerar, temporalmente, que en el punto de unión tenemos una pequeña masa m0
Esa masa está unida a dos muelles, uno de constante k_1, unido a la pared, y otro de constante k_2, unido a la masa m. La 2ª ley de Newton, para esta masa intermedia se leerá
Si ahora consideramos que esa masa en realidad no está ahí, esto equivale a hacer 
y por tanto
F1 = F2 = Festo es, la fuerza se transmite a lo largo de la asociación, de forma que la fuerza que la masa ejerce sobre el muelle 2 es la misma que la que éste hace sobre el muelle 1 y ´la que éste hace sobre el punto de anclaje.
Por tanto
{{qquad}No se pudo entender (error de sintaxis): }x_2 = -\frac{F_2}{k_2}=-\frac{F}{k_2}
y la constante equivalente a la asociación en serie cumple
Resumiendo, de forma análoga a como ocurre con los condensadores en los circuitos:
- Si los muelles están en serie
