Asociación de dos máquinas térmicas reversibles

Enunciado

Se tiene una máquina de Carnot que opera entre 1500 K y 600 K recibiendo un flujo de calor ${\dot {Q}}_{\mathrm {in} }=960\,\mathrm {W}$. El calor que sale de ella no se desperdicia sino que se usa para alimentar una segunda máquina de Carnot que opera entre 600 K y 300 K. Halle el rendimiento del conjunto, el calor que sale del sistema y el trabajo total que realiza en la unidad de tiempo.

Solución

Consideramos los tres focos térmicos con las temperaturas

$T_{F}=300\,\mathrm {K} \qquad \qquad T_{M}=600\,\mathrm {K} \qquad \qquad T_{C}=1500\,\mathrm {K}$

Al tratarse de máquinas de Carnot ideales, la primera máquina produce un trabajo por unidad de tiempo

${\dot {W}}_{\mathrm {out1} }=\eta _{1}^{\mathrm {rev} }\,{\dot {Q}}_{\mathrm {in1} }=\left(1-{\frac {T_{M}}{T_{C}}}\right){\dot {Q}}_{\mathrm {in1} }$

que numéricamente tiene el valor

${\dot {W}}_{\mathrm {out1} }=\left(1-{\frac {600}{1500}}\right)960\,\mathrm {W} =576\,\mathrm {W}$

El flujo de calor desechado por esta máquina es

${\dot {Q}}_{\mathrm {out} }={\dot {Q}}_{\mathrm {in1} }-{\dot {W}}_{\mathrm {out1} }={\frac {T_{M}}{T_{C}}}\mathrm {Q} _{\mathrm {in1} }$

con el valor

${\dot {Q}}_{\mathrm {out1} }=960\,\mathrm {W} -576\,\mathrm {W} =384\,\mathrm {W}$

Este calor de desecho es el que se usa para alimentar la segunda máquina

${\dot {Q}}_{\mathrm {in2} }={\dot {Q}}_{\mathrm {out1} }={\frac {T_{M}}{T_{C}}}{\dot {Q}}_{\mathrm {in1} }=384\,\mathrm {W}$

La potencia desarrollada por la segunda máquina la da su rendimiento

${\dot {W}}_{\mathrm {out2} }=\eta _{2}^{\mathrm {rev} }{\dot {Q}}_{\mathrm {in2} }=\left(1-{\frac {T_{F}}{T_{M}}}\right){\frac {T_{M}}{T_{C}}}{\dot {Q}}_{\mathrm {in1} }=\left({\frac {T_{M}}{T_{C}}}-{\frac {T_{F}}{T_{C}}}\right){\dot {Q}}_{\mathrm {in1} }$

con el valor numérico

${\dot {W}}_{\mathrm {out2} }=\left(1-{\frac {300}{600}}\right)384\,\mathrm {W} =192\,\mathrm {W}$

El flujo de calor desechado por la segunda máquina es

${\dot {Q}}_{\mathrm {out2} }={\dot {Q}}_{\mathrm {in2} }-{\dot {W}}_{\mathrm {out2} }={\frac {T_{F}}{T_{M}}}{\dot {Q}}_{\mathrm {in2} }={\frac {T_{F}}{T_{M}}}\,{\frac {T_{M}}{T_{C}}}{\dot {Q}}_{\mathrm {in1} }={\frac {T_{F}}{T_{C}}}{\dot {Q}}_{\mathrm {in1} }$

con valor

${\dot {Q}}_{\mathrm {out2} }=384\,\mathrm {W} -192\,\mathrm {W} =192\,\mathrm {W}$

La potencia total desarrollada por el sistema es la suma de las dos individuales

${\dot {W}}_{\mathrm {out} }={\dot {W}}_{\mathrm {out1} }+{\dot {W}}_{\mathrm {out2} }=\left(1-{\frac {T_{M}}{T_{C}}}\right){\dot {Q}}_{\mathrm {in1} }+\left({\frac {T_{M}}{T_{C}}}-{\frac {T_{F}}{T_{C}}}\right){\dot {Q}}_{\mathrm {in1} }=\left(1-{\frac {T_{F}}{T_{C}}}\right){\dot {Q}}_{\mathrm {in1} }$

Vemos que el resultado es exactamente el mismo que el que resultaría de una sola máquina de Carnot que operara entre las dos temperaturas extremas. Esto es así, porque al ser cada una de ellas reversible, el conjunto también lo es. Todas las máquinas reversibles que operan entre las mismas temperaturas tienen el mismo rendimiento por lo que el resultado debe ser el indicado.

El valor numérico de la potencia total es

${\dot {W}}_{\mathrm {out} }=576\,\mathrm {W} +192\,\mathrm {W} =768\,\mathrm {W}$

y el rendimiento de la asociación

$\eta ={\frac {768}{960}}=1-{\frac {300}{1500}}=80\%$