Posible máquina térmica

Enunciado

Un inventor mantiene que ha desarrollado una máquina térmica que recibe 700 kJ de calor desde un foco térmico a 500 K y produce 300 kJ de trabajo neto transfiriendo el calor sobrante a un foco térmico a 290 K. ¿Es razonable?

Solución

A partir del teorema de Carnot

El rendimiento de la supuesta máquina inventada es

$\eta ={\frac {W_{\mathrm {out} }}{Q_{\mathrm {in} }}}={\frac {300\,\mathrm {kJ} }{700\,\mathrm {kJ} }}={\frac {3}{7}}=42.9\%$

De acuerdo con el teorema de Carnot, el rendimiento máximo posible es el de una máquina de Carnot reversible que trabaje entre las dos temperaturas indicadas. Este es

$\eta ^{\mathrm {rev} }=1-{\frac {T_{F}}{T_{C}}}=1-{\frac {290\,\mathrm {K} }{500\,\mathrm {K} }}={\frac {21}{50}}=42.0\%$

Puesto que el rendimiento alegado es superior al máximo posible, concluimos que la invención es fraudulenta.

A partir de la variación en la entropía

Otra forma de descartar el invento es calculando la variación en la entropía del universo.

La variación de entropía del universo es la suma de la del sistema más la del ambiente.

$\Delta S_{u}=\Delta S_{\mathrm {sis} }+\Delta S_{\mathrm {amb} }\,$

La variación de la entropía del sistema es nula, por ser la entropía una función de estado y desarrollar la máquina un proceso cíclico.

$\Delta S_{\mathrm {sis} }=0\,$    (proceso cíclico)

La variación en el ambiente es doble. Por un lado se reduce la entropía del foco caliente, puesto que se saca calor de él (a una temperatura $T_{C}$), y por otro se aumenta la del foco frío, al que se entrega calor (a una temperatura $T_{F}$).

$\Delta S_{\mathrm {amb} }=-{\frac {Q_{\mathrm {in} }}{T_{C}}}+{\frac {Q_{\mathrm {out} }}{T_{F}}}$

(aquí los subíndices in y out se refieren a la máquina; el calor que sale del foco caliente entra en la máquina, por lo que lo etiquetamos como $Q_{\mathrm {in} }$). Sustituyendo los valores

$T_{C}=500\,\mathrm {K}$    $Q_{C}=Q_{\mathrm {in} }=700\,\mathrm {kJ}$    $T_{F}=290\,\mathrm {K}$    $|Q_{F}|=Q_{\mathrm {out} }=400\,\mathrm {kJ}$

queda la variación de entropía

$\Delta S_{\mathrm {amb} }=-{\frac {700\,\mathrm {kJ} }{500\,\mathrm {K} }}+{\frac {400\,\mathrm {kJ} }{290\,\mathrm {K} }}=-20.7\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}$

La variación de entropía del universo será

$\Delta S_{u}=\Delta S_{\mathrm {sis} }+\Delta S_{\mathrm {amb} }=0\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}-20.7\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}=-20.7\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}<0$

Este resultado significa que la supuesta máquina reduce la entropía del universo, lo cual es imposible.