Problemas de dinámica vectorial (CMR)

Barra con centro deslizando sobre eje

Una barra homogénea delgada (sólido "2") de masa $M$ y longitud $2L$ se mueve de modo que su centro se encuentra siempre sobre el eje $OZ_{1}$. La barra tiene dos grados de libertad de rotación. El sistema auxiliar $OX_{0}Y_{0}Z_{0}$ se define de modo que la barra esté siempre contenida en el plano $OX_{0}Z_{0}$. La barra está sometida a la acción de la gravedad, como se indica en la figura. El contacto de la barra con el eje $OZ_{1}$ es liso.

1. Calcula las reducciones cinematicas en el centro de la barra de los tres movimientos que se pueden definir en el problema.
2. Encuentra la expresión del momento cinético de la barra respecto de su centro.
3. Encuentra la expresión de la energía cinética de la barra.
4. Escribe la Lagrangiana del sistema, así como una integral primera que no sea la energía mecánica.
5. En el instante inicial, el centro de la barra se encuentra en el punto $O$ y los valores iniciales de las coordenadas angulares son $\theta (0)=\pi /2$ y $\phi (0)=0$. La barra se encuentra en reposo. Se ejerce una percusión ${\hat {\vec {F}}}={\hat {F}}_{0}\,({\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {k}}_{0})$ aplicada en el punto $B$. Determina los valores de las velocidades generalizadas justo después de la percusión.

Masa en plano inclinado

Una partícula de masa m desliza sin rozamiento por un plano inclinado móvil, de masa $m_{0}$, altura h y ángulo de inclinación β, sometida a la fuerza de la gravedad y las fuerzas de reacción. No hay fricción entre la cuña y el suelo horizontal

1. Suponga que $m_{0}\to {}\infty$. Para este caso, calcule la aceleración que adquiere la masa m y la cuña m_0, tanto en módulo como en forma vectorial en el sistema de referencia ligado al suelo. Calcule la fuerza de reacción que ejerce la cuña sobre la masa y el suelo sobre la cuña.
2. Suponga ahora que $m_{0}\to {}0$. Responda a las mismas cuestiones que en el apartado anterior.
3. Responda a las mismas cuestiones para una masa $m_{0}$ ni nula ni infinita. ¿Se reduce a los dos casos anteriores?
4. Demuestre que en este sistema se conserva la energía mecánica y la componente horizontal de la cantidad de movimiento.
5. Suponga ahora que existe un coeficiente de rozamiento μ entre la masa y la cuña.
   1. ¿Cómo queda la solución general en ese caso?
   2. ¿Se conserva la energía mecánica?
   3. ¿Y la componente horizontal de la cantidad de movimiento?

Solución

Oscilador armónico en el plano

Una partícula se mueve en tres dimensiones de forma tal que verifica la ecuación del oscilador armónico $m{\vec {a}}=-k{\vec {r}}$ con $k=m\omega _{0}^{2}$ y $\omega _{0}=2.0\,\mathrm {rad} /\mathrm {s}$ . Su posición inicial es ${\vec {r}}_{0}=5{\vec {\imath }}\ (\mathrm {m} )$

1. Para el caso ${\vec {v}}_{0}={\vec {0}}\,\mathrm {m} /\mathrm {s}$ . ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?
2. Para el caso ${\vec {v}}_{0}=10{\vec {\jmath }}\,\mathrm {m} /\mathrm {s}$, ¿cómo es la trayectoria? ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?
3. Suponga ahora que ${\vec {v}}_{0}=8{\vec {\jmath }}\,\mathrm {m} /\mathrm {s}$ , ¿cómo es ahora la trayectoria de la partícula? ¿Cuál es la mínima distancia del origen a la que pasa la partícula?
4. Demuestre que en todos los casos la cantidad calculada en coordenadas polares $m\rho ^{2}\theta {\vec {k}}$ es constante.

Anilla ensartada en dos varillas

Para el sistema de la anilla ensartada en dos varillas, calcule la fuerza que cada una de las barras ejerce cada instante sobre la anilla, suponiendo ésta de masa m,

1. despreciando el peso,
2. considerando el peso en la dirección de OY negativo.

Suponga que no hay rozamiento, por lo que cada barra solo puede ejercer fuerza perpendicularmente a sí misma, no a lo largo de ella.

Solución

Sistema de poleas y masas

Se tiene el sistema de poleas y masas de la figura.

1. ¿Cuál es la ecuación de vínculo entre las coordenadas de las tres masas?
2. Calcule la aceleración de cada una de las masas
3. Calcule la tensión de la cuerda y la fuerza que realizan los soportes de las dos poleas pequeñas.

Solución

Doble máquina de Atwood

La doble máquina de Atwood de la figura está formada por tres masas unidas a través de dos cuerdas ideales (inextensibles y sin masa) y dos poleas también ideales (de masa despreciable y sin rozamiento).

1. Escriba las ecuaciones de vínculo para las posiciones de las tres masas, medidas verticalmente hacia abajo desde la posición del centro de la polea grande. Escriba estos mismos vínculos en forma cinemática.
2. Determine la aceleración de cada una de las masas, así como las tensiones de las dos cuerdas.

Péndulo simple

Un péndulo simple está formado por una masa m unida a una varilla rígida de longitud $\ell$, unida por su otro extremo a un punto fijo O mediante una articulación esférica. La masa está sometida a la acción del peso.

1. Considere, en primer lugar, el movimiento en un plano vertical. Determine la ecuación de movimiento para el ángulo θ que la varilla forma con la vertical. ¿Qué puntos de equilibrio existen? ¿Son estables o inestables?
2. Considere el caso de un péndulo cónico, el cual gira con velocidad angular constante ${\dot {\phi }}=\Omega$ alrededor del eje vertical. ¿Cuál debe ser la relación entre Ω y el ángulo con la vertical, θ, para que este movimiento sea posible? ¿Puede conseguirse un movimiento circular sea cual sea Ω?
3. Suponga ahora el movimiento general, en el cual puede cambiar tanto θ como el ángulo $\phi \,$, de giro alrededor del eje vertical. A partir de la 2ª ley de Newton, obtenga las ecuaciones de movimiento para estos dos ángulos. Esto puede hacerse de diferentes maneras:
   1. Empleando coordenadas esféricas.
   2. Empleando un sistema de referencia en rotación alrededor del eje vertical, y empleando las fuerzas ficticias necesarias.
   3. Considerando una composición de movimientos mediante tres sistemas de referencia: uno fijo “1”, uno intermedio “2” que gira alrededor del eje vertical un ángulo φ y uno ligado “3” que gira respecto a un eje horizontal un ángulo θ.
4. Considerando el caso general, con movimiento en las dos coordenadas $\phi \,$ y θ, suponga que con un motor se fuerza a una rotación constante ${\dot {\phi }}=\Omega$. En ese caso, ¿cómo queda la ecuación para θ? ¿Qué puntos de equilibrio hay? ¿Son estables o inestables?

Solución

Caja en pendiente

Una caja cúbica de gran masa desciende sin rozamiento por un plano inclinado un ángulo β. En el interior de la caja se encuentra un péndulo (de masa mucho menor que la de la caja) que cuelga de su techo.

1. Si el péndulo no oscila, determine el ángulo θ que forma el péndulo con la vertical.
2. Suponga ahora que entre la caja y el plano hay una fricción dinámica de coeficiente μ. Determine el ángulo de inclinación en ese caso.
3. Para los dos casos anteriores, supóngase que el péndulo se separa ligeramente de su posición de equilibrio, ¿cuál será la frecuencia de las oscilaciones que experimenta?

Anilla ensartada en un aro giratorio

Una pequeña anilla de masa m está ensartada en un aro vertical de radio R que puede girar alrededor del eje OZ (este sistema equivale a un péndulo simple formado por una masa m unida a una varilla rígida de longitud R, unida por su otro extremo a un punto fijo O mediante una articulación esférica). La masa está sometida a la acción del peso.

1. Considere, en primer lugar, el movimiento en un plano vertical. Determine la ecuación de movimiento para el ángulo θ que la anilla forma con la vertical. ¿Qué puntos de equilibrio existen? ¿Son estables o inestables?
2. Considere el caso de que el aro gira con velocidad angular constante ${\dot {\phi }}=\Omega$ alrededor del eje vertical. ¿Cuál debe ser la relación entre Ω y el ángulo con la vertical, θ, para que la anilla ni suba ni baje en el aro, describiendo una circunferencia horizontal? ¿Puede conseguirse un movimiento circular sea cual sea Ω?
3. Suponga ahora el movimiento general, en el cual puede cambiar tanto θ como el ángulo ϕ, de giro alrededor del eje vertical. A partir de la 2ª ley de Newton, obtenga las ecuaciones de movimiento para estos dos ángulos. Esto puede hacerse de diferentes maneras:
   1. Empleando un sistema de referencia en rotación alrededor del eje vertical, y empleando las fuerzas ficticias necesarias.
   2. Considerando una composición de movimientos mediante tres sistemas de referencia: uno fijo “1”, uno intermedio “2” que gira alrededor del eje vertical un ángulo ϕ y uno ligado “3” que gira respecto a un eje horizontal un ángulo θ.
4. Considerando el caso general, con movimiento en las dos coordenadas ϕ y θ, suponga que con un motor se fuerza a una rotación constante ${\dot {\phi }}=\Omega$. En ese caso, ¿cómo queda la ecuación para θ? ¿Qué puntos de equilibrio hay? ¿Son estables o inestables?

Solución

Partícula en cono

Una partícula está obligada a moverse por la superficie interior de un cono que tiene su vértice en el origen y que tiene un semiángulo de apertura β, es decir, la superficie del cono es, en cilíndricas $z=\rho /\tan(\beta )$. La partícula se mueve sin rozamiento por esta superficie y se halla sometida a la acción de la gravedad, que va en la dirección y sentido del eje OZ negativo

1. Obtenga las ecuaciones de movimiento para esta partícula, empleando como coordenadas las cilíndricas, introduciendo las fuerzas de reacción oportunas.
2. Reduzca este sistema a dos ecuaciones, una para la distancia al vértice, $r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}$ y otra para el ángulo θ, de manera que no aparezcan ρ, z ni la tensión.
3. ¿A qué velocidad debe moverse la partícula si se desea que describa un movimiento circular horizontal, a una altura H respecto al vértice? ¿Cuánto vale la fuerza de reacción en ese caso?
4. Supongamos que parte de una altura H con una velocidad horizontal menor que la del apartado anterior. ¿Cuánto vale la mínima altura a la que llega la partícula?

Solución

Alambre parabólico

Una pequeña anilla de masa m está ensartada en un alambre de forma parabólica, situado en un plano vertical. Esta parábola tiene su vértice en $O(0,0,0)$ y cuando la partícula se halla a una distancia $b$ del eje, su altura es $(b/2)$, con $b$ fijado. Este alambre parabólico se hace girar alrededor del eje con velocidad angular constante Ω. No hay rozamiento entre la anilla y el alambre

1. Escriba las ecuaciones de vínculo para la posición de la anilla, en coordenadas cartesianas y en coordenadas cilíndricas. ¿De qué clase de vínculos se trata?
2. Escriba las ecuaciones de vínculo en forma cinemática y en forma pfaffiana.
3. Escriba las ecuaciones de movimiento para esta partícula, en cartesianas y en polares, incluyendo las fuerzas de reacción vincular necesarias.

Solución

Varilla apoyada en una esquina

Dos masas iguales m están unidas por una varilla rígida ideal de longitud b. La varilla está apoyada en el suelo y en una pared vertical, formando la varilla un ángulo θ con la vertical. Todo el sistema está contenido en el plano vertical OXY

1. Suponga que el sistema está en equilibrio. Calcule el mínimo valor que debe tener el coeficiente de rozamiento μ entre la varilla y el suelo para que esto ocurra. Para esta situación, ¿cuánto valen las reacciones normales del suelo y la pared, la fuerza de rozamiento y la tensión de la varilla?
2. Suponga que no existe rozamiento y que la varilla va cayendo apoyada en el suelo y la pared. Para el momento en que la varilla forma un ángulo θ con la vertical y este ángulo varía con una velocidad ${\dot {\theta }}$, ¿cuánto valen las reacciones y la tensión?
3. Determine la ecuación de movimiento para la varilla.
4. Si inicialmente la varilla se encuentra en reposo en posición vertical y a partir de ahí comienza a deslizar, ¿para qué ángulo se separa de la pared?

Solución

Esfera apoyada en el suelo

Una esfera de radio R rueda y pivota sin deslizar sobre una superficie horizontal $z=-R$. las coordenadas del centro de la esfera $G(x,y,0)$ están vinculadas a la rotación de la bola por la condición de no deslizamiento.

1. Suponiendo una velocidad angular genérica ${\vec {\omega }}=\omega _{x}{\vec {\imath }}+\omega _{y}{\vec {\jmath }}+\omega _{z}{\vec {k}}$ escriba los vínculos cinemáticos entre la velocidad de G y la angular.
2. Si la velocidad angular se escribe en términos de los ángulos de Euler, ¿cómo quedan los vínculos entre las coordenadas {x,y,ϕ,θ,ψ}?
3. Si la velocidad angular se escribe en términos de los ángulos de Tait-Bryan, ¿cómo quedan los vínculos entre las coordenadas {x,y,ϕ,θ,ψ}?

Solución

Dos masas unidas sobre una cuchilla

Dos masas iguales m están unidas por una varilla rígida ideal de longitud b. La varilla reposa sobre un plano horizontal. una de masas (la “2) puede deslizar sin rozamiento sobre el plano, pero la “1” está montada sobre una cuchilla que la obliga a desplazarse solo en la dirección paralela a la propia varilla

1. ¿Qué vínculos ligan las posiciones y velocidades de las partículas?
2. ¿Hacia dónde van dirigidas las fuerzas de reacción vincular?
3. Escriba el sistema de ecuaciones de movimiento y de vínculos para este sistema empleando como variables las coordenadas cartesianas de la masa 1 y el ángulo que la varilla forma con el eje OX. Sugerencia: emplee tanto el sistema de referencia fijo “1” como el “2” ligado a la varilla.
4. Introduciendo las variables adecuadas, reduzca este problema a un sistema de ecuaciones de primer orden.

Solución

Partícula en un tubo

Una partícula de masa m se encuentra en el interior de un tubo estrecho, el cual se halla en todo momento contenido en el plano OXY girando con velocidad angular ω constante alrededor del eje OZ

1. Halle la ecuación diferencial que debe satisfacer la coordenada radial ρ sabiendo que el tubo no puede ejercer fuerza en la dirección longitudinal (no hay rozamiento).
2. Calcule la solución de esta ecuación de movimiento si la partícula se encuentra inicialmente a una distancia A del eje de giro con velocidad radial nula.
3. Halle la fuerza ejercida por el tubo para una posición y velocidades arbitrarias y para la solución anterior.
4. Si se analiza este movimiento desde un sistema de referencia ligado al tubo ¿qué fuerzas actúan sobre la partícula? ¿Cuál de ellas acelera a la partícula? ¿Por qué aparece una fuerza del tubo sobre la partícula?

Solución

Varilla articulada

Se tiene un sistema horizontal en el que una partícula P, de masa m, se encuentra unida a una varilla de longitud $\ell$ cuyo otro extremo, A, se halla articulado a una segunda varilla, de longitud b, cuyo segundo extremo, O, está fijo. La varilla OA gira en torno a O con velocidad angular constante Ω, mientras que la varilla AP puede girar libremente en torno a A. Sea θ el ángulo que AP forma con la prolongación de OA.

1. ¿Qué vínculo hay entre las coordenadas cartesianas de P?
2. Obtenga la ecuación de movimiento para el ángulo θ.
   1. Empleando un sistema de referencia exterior fijo.
   2. Empleando un sistema de referencia giratorio unido a la barra OA.
3. ¿Qué puntos de equilibrio hay para el ángulo θ? ¿Son estables o inestables?

Solución

Masa y muelle en plataforma

Una masa m se ata a un muelle horizontal de constante k y longitud natural $\ell _{0}$. El muelle está montado sobre una plataforma horizontal con un motor que permite un desplazamiento horizontal controlado. La masa puede deslizar sin rozamiento sobre la plataforma.

1. Suponga, en primer lugar, que la plataforma se mueve a velocidad constante hacia adelante. En la posición de equilibrio de la masa, ¿está comprimido el muelle? ¿Cuánto? ¿Y si se mueve hacia atrás a velocidad constante?
2. Suponga ahora que la plataforma avanza aceleradamente, siendo $a_{0}$ su aceleración, ¿cuánto mide el muelle en la posición de equilibrio? Si se le pega un golpe a la masa, ¿con qué frecuencia oscila? Analice este caso tanto desde el punto de vista de un observador externo inercial como de un observador no inercial montado en la plataforma.
3. ¿Cómo queda el balance de energía cinética y potencial en este segundo caso para el observador montado en la plataforma y el inercial exterior a ella?

Solución