Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Dinámica de masa en varilla articulada (CMR)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un sistema horizontal en el que una partícula P, de masa m, se encuentra unida a una varilla de longitud \ell cuyo otro extremo, A, se halla articulado a una segunda varilla, de longitud b, cuyo segundo extremo, O, está fijo. La varilla OA gira en torno a O con velocidad angular constante Ω, mientras que la varilla AP puede girar libremente en torno a A. Sea θ el ángulo que AP forma con la prolongación de OA.

Archivo:masa-varilla-articulada.png
  1. ¿Qué vínculo hay entre las coordenadas cartesianas de P? Escríbalo en forma geométrica, cinemática y pfaffiana.
  2. Obtenga la ecuación de movimiento para el ángulo θ.
  3. ¿Qué puntos de equilibrio hay para el ángulo θ? ¿Son estables o inestables?

2 Ecuación de vínculo

La ecuación de vínculo sobre P es que su distancia al punto A es constante

|\overrightarrow{AP}|=\ell=\mathrm{cte}

Se trata de escribir esta relación en términos de las coordenadas cartesianas de P.

La posición de A es en todo momento

\overrightarrow{OA}=b\cos(\Omega t)\vec{\imath}_1+b\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}_1

con lo que la ecuación de vínculo se puede escribir en la forma

(x-b\cos(\Omega t))^2+(y-b\,\mathrm{sen}(\Omega t))^2 = \ell^2

Esta sería la forma geométrica.

Obtenemos la forma cinemática derivando esta respecto al tiempo.

2(x-b\cos(\Omega t))(\dot{x}+b\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t))+2(y-b\,\mathrm{sen}(\Omega t))(\dot{y}-b\Omega\cos(\Omega t))=0

Simplificando por 2 y agrupando términos queda

\dot{x}(x-b\cos(\Omega t))+\dot{y}(y-b\,\mathrm{sen}(\Omega t))+b\Omega(x\,\mathrm{sen}(\Omega t)-y\cos(\Omega t))=0

La forma pfaffiana se obteien multiplicando la condición cinemática por dt

\mathrm{d}x(x-b\cos(\Omega t))+\mathrm{d}y(y-b\,\mathrm{sen}(\Omega t))+b\Omega\,\mathrm{d}t(x\,\mathrm{sen}(\Omega t)-y\cos(\Omega t))=0

3 Ecuación de movimiento

Siguiendo los cálculos y la notación del problema “Dos barras articuladas” la posición, velocidad y aceleración de A son

\overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}_2\qquad\qquad \vec{v}^A_{21}=b\Omega\vec{\jmath}_2\qquad\qquad \vec{a}^A_{21}=-b\Omega^2\vec{\imath}_2

Por ser A una articulación entre los sólidos 2 y 3, estos valores corresponden también al movimiento {31}.

Para el punto P tenemos la posición

\overrightarrow{OP}=b\vec{\imath}_2+\ell\vec{\imath}_3

la velocidad

\vec{v}^P_{31}=b\Omega\vec{\jmath}_2+\ell(\Omega+\dot{\theta})\vec{\jmath}_3

y la aceleración

\vec{a}^P_{31}=-b\Omega^2\vec{\imath}_2+\ell\ddot{\theta}\vec{\jmath}_3-\ell(\Omega+\dot{\theta})^2\vec{\jmath}_3

La única fuerza que actúa sobre la masa en P es la tensión de la varilla, de manera que la segunda Ley de Newton queda

m\vec{a}^P_{31}=-F_{T}\vec{\imath}_3

Sustituimos la aceleración de P

-mb\Omega^2\vec{\imath}_2+m\ell\ddot{\theta}\vec{\jmath}_3-m\ell(\Omega+\dot{\theta})^2\vec{\jmath}_3=-F_{T}\vec{\imath}_3

Para eliminar la tensión de los cálculos proyectamos sobre la dirección ortogonal, que en este caso es la de \vec{\jmath}_3. Queda

mb\Omega^2\,\mathrm{sen}(\theta)+m\ell\ddot{\theta}=0

o, equivalentemente,

\ddot{\theta}=-\frac{b\Omega^2}{\ell}\mathrm{sen}(\theta)

Esta es la ecuación de un péndulo simple. Empleando fuerzas ficticias, diríamos que aquí el papel de la gravedad lo desempeña la fuerza centrífuga. Así es como se llegaría a este mismo resultado empleando un sistema de referencia en rotación.

4 Puntos de equilibrio

Al ser la ecuación de movimiento equivalente a un péndulo, al análisis del equilibrio es idéntico.

  • θ = 0 representa un punto de equilibrio estable.
  • θ = π representa un punto de equilibrio inestable.

Es decir, el sistema sería estable con la varilla AP completamente extendida y sería inestable con AP plegada sobre OA.

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
Esta página fue modificada por última vez el 14:11, 9 ene 2021. - Esta página ha sido visitada 40 veces. - Aviso legal - Acerca de Laplace