Partícula en alambre parabólico

Enunciado

Una pequeña anilla de masa m está ensartada en un alambre de forma parabólica, situado en un plano vertical. Esta parábola tiene su vértice en $O(0,0,0)$ y cuando la partícula se halla a una distancia $b$ del eje, su altura es $(b/2)$, con $b$ fijado. Este alambre parabólico se hace girar alrededor del eje con velocidad angular constante Ω. No hay rozamiento entre la anilla y el alambre

1. Escriba las ecuaciones de vínculo para la posición de la anilla, en coordenadas cartesianas y en coordenadas cilíndricas. ¿De qué clase de vínculos se trata?
2. Escriba las ecuaciones de vínculo en forma cinemática y en forma pfaffiana.
3. Escriba las ecuaciones de movimiento para esta partícula, en cartesianas y en polares, incluyendo las fuerzas de reacción vincular necesarias.

Ecuaciones de vínculo

Forma parabólica

La parábola es de la forma, en cilíndricas

$z=A\rho ^{2}\,$

Si imponemos que pase por el punto $(b,b/2)$ queda la ecuación

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Pasando a cartesianas

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o, equivalentemente

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Este es un vínculo geométrico, bilateral, esclerónomo, liso y holónomo.

Rotación

Al estar en rotación, se cumple, en cilíndricas,

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lo que nos da las coordenadas cartesianas

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Eliminamos ρ de estas ecuaciones y queda

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Este es un vínuclo geométrico, bilateral, reónomo, liso y holónomo.

Vínculos en forma cinemática

Forma parabólica

Derivando respecto al tiempo y dividiendo por 2 obtenemos la forma cinemática

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\dot{x}+y\dot{y}-b\dot{z}=0}

y, multiplicando por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}t} su forma pfaffiana

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En cilíndricas partimos de

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que da

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Rotación

Derivando en la ecuación de vínculo

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Multiplicamos por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}t}

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En este caso, en cilíndricas queda claramente más simple

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