Problemas de Geometría de masas del sólido rígido (MR G.I.C.) (Ingeniería Civil)

Problemas del boletín

Aro centrado en el origen

Tenemos un aro homogéneo de masa $M$ y radio $R$ con centro $O$. Se escogen los ejes coordenadas como se indica en la figura.

1. Calcula la matriz de inercia en $O$, usando los ejes indicados en la figura.
2. Calcula el momento de inercia respecto a un eje que pasa por $O$ y forma un ángulo de $\pi /3$ con el eje $OX_{3}$.
3. El aro gira alrededor del eje anterior con un vector rotación ${\vec {\omega }}$ paralelo al eje. Calcula el momento cinético en $O$ y la energía cinética del aro.

Tres barras con simetría

El sistema de la figura es un modelo muy simplificado de hélice de un aerogenerador. Consta de tres barras iguales, de masas $M$ y longitud $L$, soldadas en el punto $O$, de modo que forman un sólo sólido rígido. El ángulo entre las tres barras es el mismo.

1. Calcula el momento de inercia respecto al eje $OZ_{1}$ en $O$.
2. Calcula el tensor de inercia en $O$.
3. El sólido rota alrededor de un eje que pasa por $O$, está contenido en el plano $OX_{1}Z_{1}$ y forma un ángulo $\pi /4$ con el eje $OX_{1}$. Calcula el momento de inercia del sólido alrededor de ese eje.
4. Si el vector de rotación tiene módulo $\omega _{0}$ y apunta hacia los sentidos positivos de los ejes $OX_{1}$ y $OZ_{1}$, calcula el coseno del ángulo que forman el momento cinético y el vector rotación.
5. En este último caso, calcula la energía cinética.

Otros problemas

Momento de inercia de un sólido compuesto de cuatro barras y un aro

El sólido de la figura está compuesto de un aro delgado de masa $m$ y radio $R$, así como de cuatro barras delgadas, cada una de masa $m$ y longitud $R$, dispuestas como se indica en la figura. Todos los cuerpos son homogéneos.

1. Calcula el momento de inercia $I_{zz}$.
2. Calcula el tensor de inercia en $O$ expresado en los ejes cartesianos de la figura.
3. Calcula el momento de inercia respecto al eje $\Delta$ de la figura.

Tensor de inercia de un hexágono

EL sólido rígido de la figura es un hexágono de lado $L$. Cada lado del hexágono tiene una masa $m$.

1. Calcula el tensor de inercia del hexágono en su centro, expresado en los ejes de la figura..
2. Calcula el tensor de inercia en el vértice $A$, expresado en los mismos ejes.
3. Calcula el momento de inercia respecto a un eje paralelo al eje $OX$ y que pase por $A$.