Tres barras con simetría, Noviembre 2015 (MR G.I.C.)

Enunciado

El sistema de la figura es un modelo muy simplificado de hélice de un aerogenerador. Consta de tres barras iguales, de masas $M$ y longitud $L$, soldadas en el punto $O$, de modo que forman un sólo sólido rígido. El ángulo entre las tres barras es el mismo.

1. Calcula el momento de inercia respecto al eje $OZ_{1}$ en $O$.
2. Calcula el tensor de inercia en $O$.
3. El sólido rota alrededor de un eje que pasa por $O$, está contenido en el plano $OX_{1}Z_{1}$ y forma un ángulo $\pi /4$ con el eje $OX_{1}$. Calcula el momento de inercia del sólido alrededor de ese eje.
4. Si el vector de rotación tiene módulo $\omega _{0}$ y apunta hacia los sentidos positivos de los ejes $OX_{1}$ y $OZ_{1}$, calcula el coseno del ángulo que forman el momento cinético y el vector rotación.
5. En este último caso, calcula la energía cinética.

Solución

Momento de inercia

El momento de inercia de un sólido respecto a un eje es

$I=\int \,\mathrm {d} m\,a^{2}$

donde $a$ es la distancia de cada punto del sólido al eje. En este caso, la integral se compone de tres integrales, una para cada barra:

$I=3\int \limits _{\mathrm {barra} }\,\mathrm {d} m\,a^{2}$

Pero para cada barra la integral es el momento de inercia respecto de un eje perpendicular a ella que pasa por su extremo:

$\int \limits _{\mathrm {barra} }\,\mathrm {d} m\,a^{2}={\dfrac {1}{3}}ML^{2}$

Por tanto el momento de inercia pedido es

$I=3{\dfrac {1}{3}}ML^{2}=ML^{2}$

Tensor de inercia en O

El sistema es plano, por lo que el eje $OZ_{1}$ es eje principal de inercia. Además tiene simetría respecto al eje $OZ_{1}$, pues en ángulo entre las barras es el mismo. Por tanto, todas las direcciones en el plano $O_{1}X_{1}Y_{1}$ son direcciones principales de inercia, y el tensor de inercia en $O$ es diagonal cuando se expresa en los ejes de la figura.

Por ser el sistema plano

$I_{33}=I_{11}+I_{22}$

A causa de la simetría $I_{11}=I_{22}$, por lo que

$I_{11}=I_{22}={\dfrac {1}{2}}I_{33}={\dfrac {1}{2}}I={\dfrac {1}{2}}ML^{2}$

El tensor de inercia pedido es

${\overleftrightarrow {I}}_{O}={\dfrac {ML^{2}}{2}}\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{array}}\right]$

Momento de inercia respecto a un eje de rotación

Por lo que dice el enunciado el vector rotación es

${\vec {\omega }}=\omega _{0}\,\left[{\dfrac {1}{\sqrt {2}}},0,{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\right]$

Un vector unitario en esa dirección es

${\vec {n}}=\left[{\dfrac {1}{\sqrt {2}}},0,{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\right]$

El momento de inercia respecto del eje es

$I_{\Delta }={\vec {n}}\cdot {\overleftrightarrow {I}}_{O}\cdot {\vec {n}}={\dfrac {ML^{2}}{2}}\left[{\dfrac {1}{\sqrt {2}}},0,{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\right]\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\\0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\end{array}}\right]={\dfrac {3}{4}}ML^{2}$

Ángulo entre los vectores rotación y momento cinético

Como $O$ es un punto fijo, el momento cinético del sólido es

${\vec {L}}_{O}={\overleftrightarrow {I}}_{O}\cdot {\vec {\omega }}={\dfrac {ML^{2}}{2}}\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\\0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\end{array}}\right]={\dfrac {ML^{2}}{2}}\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\\0\\{\sqrt {2}}\end{array}}\right]$

El coseno del ángulo entre los vectores rotación y momento cinético es

$\cos \alpha ={\dfrac {{\vec {L}}_{O}\cdot {\vec {\omega }}}{|{\vec {L}}_{O}||{\vec {\omega }}|}}={\dfrac {3}{\sqrt {10}}}$

Energía cinética

Al ser un punto fijo, la energía cinética del sólido es

$T={\dfrac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot {\overleftrightarrow {I}}_{O}\cdot {\vec {\omega }}={\dfrac {ML^{2}\omega _{0}^{2}}{2}}\left[{\dfrac {1}{\sqrt {2}}},0,{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\right]\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\\0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\end{array}}\right]={\dfrac {3}{8}}ML^{2}\omega _{0}^{2}$