Momento de inercia de un sólido compuesto de cuatro barras y un aro

Enunciado

El sólido de la figura está compuesto de un aro delgado de masa $m$ y radio $R$, así como de cuatro barras delgadas, cada una de masa $m$ y longitud $R$, dispuestas como se indica en la figura. Todos los cuerpos son homogéneos.

1. Calcula el momento de inercia $I_{zz}$.
2. Calcula el tensor de inercia en $O$ expresado en los ejes cartesianos de la figura.
3. Calcula el momento de inercia respecto al eje $\Delta$ de la figura.

Solución

Momento de inercia $I_{zz}$

El momento de inercia pedido es

$I_{zz}=\int \limits _{V}\mathrm {d} m\,a^{2}$

donde la integral se extiende a todo el sólido y $a$ es la distancia de cada punto del sólido al eje $OZ$. Aplicamos la propiedad distributiva de la suma y separamos la integral en cuatro partes, una por cada barra de longitud $R$ y otra por el aro. Las integrales para las barras son iguales, por simetría.

$I_{zz}=4\int \limits _{barra}\mathrm {d} m\,a^{2}+\int \limits _{aro}\mathrm {d} m\,a^{2}$

Para las barras tenemos

$I_{zz}^{barra}=\int \limits _{barra}\mathrm {d} m\,a^{2}=\int \limits _{0}^{R}{\dfrac {M}{R}}\mathrm {d} y\,y^{2}={\dfrac {1}{3}}mR^{3}.$

Para el aro

$I_{zz}^{aro}=\int \limits _{aro}\mathrm {d} m\,R^{2}=R^{2}\,\int \limits _{aro}\mathrm {d} m=mR^{2}$

Entonces

$I_{zz}=4\,{\dfrac {mR^{2}}{3}}+mR^{2}={\dfrac {7}{3}}mR^{2}.$

Tensor de inercia en $O$

Por simetría, los ejes $X$ e $Y$ son direcciones principales de inercia. El eje $Z$ lo es por ser un sólido plano. Entonces el tensor es diagonal en los ejes de la figura. Aplicando el teorema de los ejes perpendiculares

$I_{zz}=I_{xx}+I_{yy}$

y por simetría

$I_{xx}=I_{yy}.$

Por tanto

$I_{xx}=I_{yy}={\dfrac {1}{2}}I_{zz}={\dfrac {7}{6}}mR^{2}.$

El tensor de inercia es

${\overleftrightarrow {I}}_{O}={\dfrac {7mR^{2}}{6}}\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{array}}\right]$

Momento de inercia respecto a $\Delta$

Hemos visto que

$I_{xx}={\dfrac {7}{6}}mR^{2}$

Aplicando el Teorema de los ejes paralelos tenemos

$I_{\Delta }=I_{xx}+5mR^{2}={\dfrac {37}{6}}mR^{2}.$