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Momento de inercia de un sólido compuesto de cuatro barras y un aro

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El sólido de la figura está compuesto de un aro delgado de masa m y radio R, así como de cuatro barras delgadas, cada una de masa m y longitud R, dispuestas como se indica en la figura. Todos los cuerpos son homogéneos.

  1. Calcula el momento de inercia Izz.
  2. Calcula el tensor de inercia en O expresado en los ejes cartesianos de la figura.
  3. Calcula el momento de inercia respecto al eje Δ de la figura.

2 Solución

2.1 Momento de inercia Izz

El momento de inercia pedido es


I_{zz} = \int\limits_V \mathrm{d}m\,a^2

donde la integral se extiende a todo el sólido y a es la distancia de cada punto del sólido al eje OZ. Aplicamos la propiedad distributiva de la suma y separamos la integral en cuatro partes, una por cada barra de longitud R y otra por el aro. Las integrales para las barras son iguales, por simetría.


I_{zz} = 4\int\limits_{barra} \mathrm{d}m\,a^2 + \int\limits_{aro} \mathrm{d}m\,a^2

Para las barras tenemos


I^{barra}_{zz} = \int\limits_{barra} \mathrm{d}m\,a^2 =
\int\limits_{0}^R \dfrac{M}{R}\mathrm{d}y\,y^2
=
\dfrac{1}{3}mR^3.

Para el aro


I^{aro}_{zz} = \int\limits_{aro} \mathrm{d}m\,R^2 = R^2\,\int\limits_{aro} \mathrm{d}m = mR^2

Entonces


I_{zz} = 4\,\dfrac{mR^2}{3} + mR^2 = \dfrac{7}{3}mR^2.

2.2 Tensor de inercia en O

Por simetría, los ejes X e Y son direcciones principales de inercia. El eje Z lo es por ser un sólido plano. Entonces el tensor es diagonal en los ejes de la figura. Aplicando el teorema de los ejes perpendiculares

Izz = Ixx + Iyy

y por simetría

Ixx = Iyy.

Por tanto


I_{xx} = I_{yy} = \dfrac{1}{2}I_{zz} = \dfrac{7}{6}mR^2.

El tensor de inercia es


\overleftrightarrow{I}_O
=
\dfrac{7mR^2}{6}
\left[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right]

2.3 Momento de inercia respecto a Δ

Hemos visto que


I_{xx} = \dfrac{7}{6}mR^2

Aplicando el Teorema de los ejes paralelos tenemos


I_{\Delta} = I_{xx} + 5mR^2 = \dfrac{37}{6}mR^2.

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