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(Página creada con «= Enunciado = right El disco homogéneo de la figura (sólido "2") tiene masa <math>m</math> y radio <math>R</math>. Está conectado por su centro <math>G</math> con una estructura (sólido "0") formada por dos barras perpendiculares de masas despreciables y longitud <math>R</math> cada una. El disco puede rotar alrededor del eje <math>AG</math>, mientras que el sólido "0" puede rotar respecto a la línea <math>OA</math>. Se e…») |
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Línea 1: | Línea 1: | ||
= Enunciado = | |||
[[File:MR_barra_L_disco_enunciado.png|right]] | |||
El disco homogéneo de la figura (sólido "2") tiene masa <math>m</math> y radio <math>R</math>. | |||
Está conectado por su centro <math>G</math> con una estructura (sólido "0") formada por dos barras | |||
perpendiculares de masas despreciables y longitud <math>R</math> cada una. El disco puede rotar | |||
alrededor del eje <math>AG</math>, mientras que el sólido "0" puede rotar respecto a la línea <math>OA</math>. | |||
Se escoge unos ejes intermedios <math>OX_0Y_0Z_0</math> de modo que | |||
el plano <math>OX_0Y_0</math> contiene siempre al sólido "0" y al centro del disco <math>G</math>. Los ejes | |||
<math>GX_2Y_2Z_2</math> son solidarios con el disco. El eje <math>GY_2</math> es paralelo al eje <math>OY_0</math>, por lo | |||
que el plano <math>GX_2Z_2</math> es siempre paralelo al plano | |||
<math>OX_0Z_0</math> y el eje <math>GX_2</math> | |||
forma un ángulo <math>\psi</math> con la dirección del eje <math>X_1</math>. | |||
El | |||
sistema está sometido a la acción de la gravedad con la dirección y sentido indicada en la figura. | |||
#Determina las reducciones cinemáticas de los movimientos {01}, {20} y {21} en el centro de masas del disco, así como la derivada temporal del {21}. Determina el eje instantáneo de rotación del movimiento {21}. | |||
#Calcula el momento cinético del disco respecto a <math>G</math>, su energía cinética y su energía potencial. | |||
#Encuentra las integrales primeras del movimiento que puedas, justificando porqué lo son. | |||
#Supongamos a partir de ahora que <math>\theta = \pi/2</math> en todo instante.¿Como es la reducción cinemática {21} en <math>G</math> y su derivada temporal? | |||
#En este último caso, calcula la desvinculación global {21} en G. Aplicando los teoremas fundamentales, encuentra la ecuación de movimiento para el grado de libertad restante. | |||
= Solución = | |||
== Reducciones cinemáticas == | |||
=== Movimiento {01} === | |||
La línea <math>OA</math> es fija. Tenemos | |||
<center> | |||
<math> | |||
\vec{v}^{\,O}_{01} = \vec{0}, | |||
\qquad | |||
\vec{\omega}_{01} = \dot{\theta}\,\vec{\imath}_0 | |||
</math> | |||
</center> | |||
La derivada temporal es | |||
<center> | |||
<math> | |||
\vec{a}^{\,O}_{01} = \vec{0},\qquad | |||
\vec{\alpha}_{01} = \ddot{\theta}\,\vec{\imath}_0 | |||
</math> | |||
</center> | |||
=== Movimiento {20} === | |||
Esto es una rotación de eje permanente <math>GY_0</math> | |||
<center> | |||
<math> | |||
\vec{v}^{\,G}_{20} = \vec{0}, | |||
\qquad | |||
\vec{\omega}_{20} = \dot{\psi}\,\vec{\jmath}_0 | |||
</math> | |||
</center> | |||
La derivada temporal es | |||
<center> | |||
<math> | |||
\vec{a}^{\,G}_{20} = \vec{0},\qquad | |||
\vec{\alpha}_{20} = \ddot{\psi}\,\vec{\jmath}_0 | |||
</math> | |||
</center> | |||
=== Movimiento {21} === | |||
Usamos las leyes de composición | |||
<center> | |||
<math> | |||
\begin{array}{l} | |||
\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = \dot{\theta}\,\vec{\imath}_0 + \dot{\psi}\,\vec{\jmath}_0 | |||
\\ | |||
\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} = \ddot{\theta}\,\vec{\imath}_0 + \ddot{\psi}\,\vec{\jmath}_0 + \dot{\theta}\dot{\psi}\,\vec{k}_0 | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
</center> | |||
Para las velocidades y aceleraciones absolutas de <math>G</math> tenemos | |||
<center> | |||
<math> | |||
\begin{array}{ll} | |||
\vec{v}^{\,G}_{21} & = \vec{v}^{\,G}_{20} + \vec{v}^{\,G}_{01} = R\dot\theta\,\vec{k}_0\\ | |||
& \vec{v}^{\,G}_{20} = \vec{0}\\ | |||
& \vec{v}^{\,G}_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OG}= (\dot{\theta}\,\vec{\imath}_0)\times(R\,\vec{\imath}_0 + R\vec{\jmath}_0) | |||
= | |||
R\dot\theta\,\vec{k}_0\\ | |||
&\\ | |||
\vec{a}^{\,G}_{21} & = \vec{a}^{\,G}_{20} + \vec{a}^{\,G}_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,G}_{20} = -R\dot{\theta}^2\,\vec{\jmath}_0 + R\ddot\theta\,\vec{k}_0\\ | |||
& \vec{a}^{\,G}_{20} = \vec{0}\\ | |||
& \vec{a}^{\,G}_{01} = \vec{a}^{\,O}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OG} + \vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OG})= -R\dot{\theta}^2\,\vec{\jmath}_0 + R\ddot\theta\,\vec{k}_0\\ | |||
& 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,G}_{20} = \vec{0} | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
</center> | |||
Para localizar un punto del eje <math>\Delta_{21}</math> hacemos | |||
<center> | |||
<math> | |||
\overrightarrow{GI^*}_{21} = \dfrac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^{\,G}_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|^2} | |||
= | |||
\dfrac{R\dot{\theta}}{\dot{\psi}^2+\dot{\theta}^2}\,(\dot{\psi}\,\vec{\imath}_0 -\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_0) | |||
</math> | |||
</center> | |||
El movimiento {21} es una rotación pura pues | |||
<center> | |||
<math> | |||
\vec{\omega}_{21}\neq \vec{0}\,\qquad \vec{\omega}_{21}\cdot\vec{v}^{\,G}_{21}=0 | |||
</math> | |||
</center> | |||
== Cinética == | |||
El tensor de inercia en <math>G</math> es | |||
<center> | |||
<math> | |||
\overset\leftrightarrow{I}_G | |||
= | |||
I | |||
\left[ | |||
\begin{array}{ccc} | |||
1 & 0 & 0\\ | |||
0 & 2 & 0\\ | |||
0 & 0 & 1 | |||
\end{array} | |||
\right]_0 | |||
\qquad\qquad I = mR^2/4 | |||
</math> | |||
</center> | |||
En principio el tensor de inercia debe expresarse en el sistema "2", solidario con el disco. Pero los ejes <math>GY_0</math> y <math>GY_2</math> coinciden, y el disco tiene simetría de revolución alrededor de ellos. Por tanto, cualquier par de ejes perpendiculares a <math>GY0</math> es un par de ejes principales. Por tanto, podemos usar el sistema "0" para calcular el momento cinético. Tenemos entonces | |||
<center> | |||
<math> | |||
\vec{L}_{G} = | |||
\overset\leftrightarrow{I}_G\cdot\vec{\omega}_{21} | |||
= | |||
\overset\leftrightarrow{I}_G | |||
= | |||
I | |||
\left[ | |||
\begin{array}{ccc} | |||
1 & 0 & 0\\ | |||
0 & 2 & 0\\ | |||
0 & 0 & 1 | |||
\end{array} | |||
\right]_0 | |||
\left[ | |||
\begin{array}{c} | |||
\dot{\theta} \\ \dot{\psi} \\ 0 | |||
\end{array} | |||
\right]_0 | |||
= | |||
\left[ | |||
\begin{array}{c} | |||
I\dot{\theta} \\ 2I\dot{\psi} \\ 0 | |||
\end{array} | |||
\right]_0 | |||
</math> | |||
</center> | |||
La energía cinética consta de la parte de traslación del centro de masas y de rotación | |||
<center> | |||
<math> | |||
\begin{array}{l} | |||
T_{T} = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,}_{21}|^2 = \dfrac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2\\ \\ | |||
T_{R} = \dfrac{1}{2}\vec{L}_G\cdot\vec{\omega}_{21} = \dfrac{1}{2}I(\dot{\theta}^2+2I\dot{\psi}^2) | |||
\\ \\ | |||
T = T_{T} + T_R = \dfrac{1}{8}mR^2(5\dot{\theta}^2+2\dot{\psi}^2) | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
</center> | |||
Para la energía potencial gravitatoria tomamos como origen el plano <math>OX_1Y_1</math>. Tenemos | |||
<center> | |||
<math> | |||
U = mgR\,\mathrm{sen}\,\theta | |||
</math> | |||
</center> | |||
== Integrales primeras del movimiento == | |||
Las fuerzas y pares vinculares no hacen trabajo. Sólo el peso hace trabajo. Entonces se conserva la energía mecánica. | |||
<center> | |||
<math> | |||
E = T + U = \dfrac{1}{8}mR^2(5\dot{\theta}^2+2\dot{\psi}^2) + mgR\,\mathrm{sen}\,\theta = \mathrm{cte} | |||
</math> | |||
</center> | |||
Las fuerzas que actúan sobre el disco son el peso y la fuerza vincular de la barra, ambas aplicadas en <math>G</math>. Hay un par de fuerzas vincular ejercido por la barra | |||
<center> | |||
<math> | |||
\vec{\Gamma}_{20} = [\Gamma_x, 0, \Gamma_z]_0 | |||
</math> | |||
</center> | |||
Así pues, las fuerzas sobre el disco cortan al eje <math>GY_0</math> y el par vincular no tiene componente sobre este eje. Entonces, la proyección del momento angular sobre ese eje se conserva | |||
<center> | |||
<math> | |||
\vec{L}_G\cdot\vec{\jmath}_0 = \dfrac{1}{2}mR^2\dot{\psi}=\mathrm{cte} \Longrightarrow \dot{\psi}=\mathrm{cte} | |||
</math> | |||
</center> | |||
== Caso <math>\theta=\pi/2</math> == | |||
En esta situación los ejes del sistema "0" coinciden con los del "1". Tenemos | |||
<center> | |||
<math> | |||
\dot{\theta} = \ddot{\theta}=0 | |||
</math> | |||
</center> | |||
La reducción cinemática pedida es | |||
<center> | |||
<math> | |||
\vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{0}, \quad \vec{\omega}_{21} = \dot{\psi}\,\vec{\jmath}_0 | |||
</math> | |||
</center> | |||
Su derivada es | |||
<center> | |||
<math> | |||
\vec{a}^{\,G}_{21} = \vec{0}, \quad \vec{\alpha}_{21} = \ddot{\psi}\,\vec{\jmath}_0 | |||
</math> | |||
</center> | |||
El movimiento es simplemente una rotación alrededor de su eje de simetría fijo. | |||
=== Desvinculación global y ecuación de movimiento === | |||
De la reducción cinemática obtenemos que la reducción vincular en este caso simplificado es | |||
<center> | |||
<math> | |||
\vec{\Phi}^{\,G}_{21} = [ G_x, G_y, G_z]_0, \qquad | |||
\vec{\Gamma}_{21} = [\Gamma_x, 0, \Gamma_z]_0 | |||
</math> | |||
</center> | |||
Podemos obtener una ecuación para el grado de libertad de movimiento aplicando el Teorema del Momento Cinético en el centro de masas del disco | |||
<center> | |||
<math> | |||
\dot{\vec{L}}_G = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_G}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{M}^{\,G}_{neto} = \vec{\Gamma}_{21} | |||
</math> | |||
</center> | |||
En este caso los sistemas "0" y "1" coinciden en todo instante de tiempo. Por tanto | |||
<center> | |||
<math> | |||
\dot{\vec{L}}_G = \dfrac{1}{2}mR^2\ddot{\psi}\,\vec{\jmath}_{0,1} | |||
</math> | |||
</center> | |||
Como la componente en <math>\vec{\jmath}_{0,1}</math> del par neto es nula, tenemos | |||
<center> | |||
<math> | |||
\ddot{\psi}=0 \Longrightarrow \dot{\psi}= \dot{\psi}(0) = \mathrm{cte} | |||
</math> | |||
</center> | |||
[[Categoría:Problemas de Dinámica Vectorial del Sólido Rígido]] | |||
[[Categoría:Problemas de examen de Mecánica Racional]] |
Revisión actual - 12:44 8 nov 2023
Enunciado
El disco homogéneo de la figura (sólido "2") tiene masa y radio . Está conectado por su centro con una estructura (sólido "0") formada por dos barras perpendiculares de masas despreciables y longitud cada una. El disco puede rotar alrededor del eje , mientras que el sólido "0" puede rotar respecto a la línea . Se escoge unos ejes intermedios de modo que el plano contiene siempre al sólido "0" y al centro del disco . Los ejes son solidarios con el disco. El eje es paralelo al eje , por lo que el plano es siempre paralelo al plano y el eje forma un ángulo con la dirección del eje . El sistema está sometido a la acción de la gravedad con la dirección y sentido indicada en la figura.
- Determina las reducciones cinemáticas de los movimientos {01}, {20} y {21} en el centro de masas del disco, así como la derivada temporal del {21}. Determina el eje instantáneo de rotación del movimiento {21}.
- Calcula el momento cinético del disco respecto a , su energía cinética y su energía potencial.
- Encuentra las integrales primeras del movimiento que puedas, justificando porqué lo son.
- Supongamos a partir de ahora que en todo instante.¿Como es la reducción cinemática {21} en y su derivada temporal?
- En este último caso, calcula la desvinculación global {21} en G. Aplicando los teoremas fundamentales, encuentra la ecuación de movimiento para el grado de libertad restante.
Solución
Reducciones cinemáticas
Movimiento {01}
La línea es fija. Tenemos
La derivada temporal es
Movimiento {20}
Esto es una rotación de eje permanente
La derivada temporal es
Movimiento {21}
Usamos las leyes de composición
Para las velocidades y aceleraciones absolutas de tenemos
Para localizar un punto del eje hacemos
El movimiento {21} es una rotación pura pues
Cinética
El tensor de inercia en es
En principio el tensor de inercia debe expresarse en el sistema "2", solidario con el disco. Pero los ejes y coinciden, y el disco tiene simetría de revolución alrededor de ellos. Por tanto, cualquier par de ejes perpendiculares a es un par de ejes principales. Por tanto, podemos usar el sistema "0" para calcular el momento cinético. Tenemos entonces
La energía cinética consta de la parte de traslación del centro de masas y de rotación
Para la energía potencial gravitatoria tomamos como origen el plano . Tenemos
Integrales primeras del movimiento
Las fuerzas y pares vinculares no hacen trabajo. Sólo el peso hace trabajo. Entonces se conserva la energía mecánica.
Las fuerzas que actúan sobre el disco son el peso y la fuerza vincular de la barra, ambas aplicadas en . Hay un par de fuerzas vincular ejercido por la barra
Así pues, las fuerzas sobre el disco cortan al eje y el par vincular no tiene componente sobre este eje. Entonces, la proyección del momento angular sobre ese eje se conserva
Caso
En esta situación los ejes del sistema "0" coinciden con los del "1". Tenemos
La reducción cinemática pedida es
Su derivada es
El movimiento es simplemente una rotación alrededor de su eje de simetría fijo.
Desvinculación global y ecuación de movimiento
De la reducción cinemática obtenemos que la reducción vincular en este caso simplificado es
Podemos obtener una ecuación para el grado de libertad de movimiento aplicando el Teorema del Momento Cinético en el centro de masas del disco
En este caso los sistemas "0" y "1" coinciden en todo instante de tiempo. Por tanto
Como la componente en del par neto es nula, tenemos
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