Segunda Convocatoria 2023/24 (G.I.E.R.M.)

Juego con bola y caja

La figura ilustra un juego muy simple. Se trata de golpear una bola de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} con un taco en reposo en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} , de modo que, justo después del impacto, se mueve con velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_0} horizontal, como se muestra en la figura. Después del impacto, la bola se mueve en caída libre, con rozamiento del aire despreciable. Se gana en el juego si se consigue que la bola entre en la caja Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle BC} de la figura. En lo que sigue, modelaremos la bola como una partícula puntual de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} .

1. Escribe las expresiones de los vectores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(t)} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(t)} que describen la posición de la bola en cada instante de tiempo.
2. Encuentra el instante de tiempo, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_h} , para el cual la distancia de la bola al suelo (el eje OX) es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h} .
3. Encuentra que condiciones debe cumplir Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}_0|} para ganar el juego.
4. Si la velocidad de salida de la partícula es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0 = 1.0\,\mathrm{m/s}} , y su masa es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m=1.00\,\mathrm{kg}} , ¿cuál es el impulso mecánico impartido por el taco a la partícula?

Masas en plano inclinado con cuerda tirando

Dos masas, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2} , deslizan sobre un plano inclinado un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta} con la horizontal. El contacto entre las masas y el plano inclinado es liso. Una cuerda tensa ejerce una fuerza ${\vec {F}}_{0}=-F_{0}\,{\vec {\imath }}$ ($F_{0}>0$) sobre la masa 2, como se indica en la figura. Las masas se desplazan siempre juntas hacia arriba, con velocidad constante ${\vec {v}}_{m}=-5v_{0}\,{\vec {\imath }}$ ($v_{0}>0$). Las masas son $m_{1}=5m_{0}$, $m_{2}=10m_{0}$. Las dos masas se tratan como partículas puntuales. La longitud de la rampa del plano inclinado es $L=5L_{0}$. El ángulo $\beta$ verifica

$\mathrm {sen} \,\beta =4/5,\qquad \cos \beta =3/5.$

1. Dibuja el diagrama de fuerzas para la masas. Hazlo por separado para cada una de ellas.
2. Calcula el valor de $F_{0}$ y de la fuerza entre las masas.
3. Si en el instante inicial las dos masas estaban en el punto $A$, ¿cuál es la variación de su energía mecánica cuando llegan al punto $B$?
4. Si $L_{0}=1.00\,\mathrm {m}$, $F_{0}=100\,\mathrm {N}$, y $v_{0}=5.00\,\mathrm {m/s}$, ¿cuanto vale la potencia que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_0} transmite a las masas? ¿Y el trabajo realizado por ${\vec {F}}_{0}$ entre los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} ?

Barras articuladas con articulación en esquina

La barra "2", de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{2}L_0} , está articulada en el punto fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} , perteneciente al sólido "1". La barra "0", de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\sqrt{2}L_0} , se articula en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} de la barra "2", mientras que su otro extremo desliza sobre el eje fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} con velocidad constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_0} , como se indica en la figura. Las preguntas que siguen se refieren al instante y los ángulos indicados en la figura.

1. Escribe la expresión de los vectores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OB}} .
2. Encuentra la posición de los C.I.R. de los movimientos {01}, {20} y {21} por métodos gráficos y analíticos.
3. Determina reducciones cinemáticas de los tres movimientos anteriores. Puedes elegir el punto en el que expresar estas reducciones.
4. Suponiendo que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21} = 2\omega_0\,\vec{k}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20} =\vec{\omega}_{01} = \omega_0\,\vec{k}} , calcula las aceleraciones angulares de los tres movimientos. (Estas no son las respuestas de la pregunta 3)

Colapso de una estrella

Cuando una estrella agota el combustible que mantiene su proceso interno de fusión nuclear, es incapaz de vencer el efecto de la gravedad e implosiona, disminuyendo su radio. En el caso de una estrella como nuestro Sol al final del proceso queda una enana blanca. Supondremos que durante este proceso la estrella es un sistema aislado, de modo que no hay ninguna fuerza ni momento de fuerza externo actuando sobre ella. Supondremos también que la masa de la estrella no cambia en el proceso, y que su forma es siempre esférica.

1. Calcula el cambio de la velocidad angular de rotación de la estrella en el proceso, y por qué cambia.
2. Supongamos que tenemos una estrella similar a nuestro Sol, de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_S = 2.00\times10^{30}\,\mathrm{kg}} y radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_S = 7.00\times10^8\,\mathrm{m}} . Su período de rotación es de 30 días. Si el radio de la enana blanca final es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_b=7000\, \mathrm{km}} , ¿cuál es su velocidad angular de rotación final? ¿Y el período de rotación?

Dato: El momento de inercia de una esfera maciza de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} y masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M} alrededor de un eje que pase por su centro es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I=2MR^2/5} .