Barras articuladas con articulación en esquina, Junio 2024 (G.I.C.)

Enunciado

La barra "2", de longitud ${\sqrt {2}}L_{0}$, está articulada en el punto fijo $B$, perteneciente al sólido "1". La barra "0", de longitud $2{\sqrt {2}}L_{0}$, se articula en el punto $A$ de la barra "2", mientras que su otro extremo desliza sobre el eje fijo $OX_{1}$ con velocidad constante ${\vec {v}}_{0}$, como se indica en la figura. Las preguntas que siguen se refieren al instante y los ángulos indicados en la figura.

1. Escribe la expresión de los vectores ${\overrightarrow {OA}}$, ${\overrightarrow {AB}}$ y ${\overrightarrow {OB}}$.
2. Encuentra la posición de los C.I.R. de los movimientos {01}, {20} y {21} por métodos gráficos y analíticos.
3. Determina reducciones cinemáticas de los tres movimientos anteriores. Puedes elegir el punto en el que expresar estas reducciones.
4. Suponiendo que ${\vec {\omega }}_{21}=2\omega _{0}\,{\vec {k}}$, ${\vec {\omega }}_{20}={\vec {\omega }}_{01}=\omega _{0}\,{\vec {k}}$, calcula las aceleraciones angulares de los tres movimientos. (Estas no son las respuestas de la pregunta 3)

Solución

Vectores geométricos y posiciones de los CIR

Observando el dibujo tenemos

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {OA}}=2L_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}+2L_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1},\\{\overrightarrow {AB}}=L_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}-L_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1},\\{\overrightarrow {OB}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AB}}=3L_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}+L_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1}.\end{array}}$

En el dibujo también podemos ver la posición de los CIR. Tenemos que $B=I_{21}$, pues la barra "2" se articula en el sólido "1" en ese punto. También, $A=I_{20}$ pues la barra "2" se articula en la barra "0" en ese punto. Por el teorema de los tres centros, el CIR $I_{01}$ debe estar en la línea que une los otros dos CIR. Además, el punto $O$ de la barra "0" se mueve deslizando sobre el eje $OX_{1}$. Por tanto, la velocidad ${\vec {v}}_{01}^{\,O}$ es paralela a ese eje, y el CIR del movimiento {01} debe estar en la línea perpendicular a ${\vec {v}}_{01}^{\,O}$ trazada por el punto $O$. El punto de corte se indica en la figura.

Los vectores de posición son

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {OI}}_{01}=4L_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1},\\{\overrightarrow {OI}}_{20}={\overrightarrow {OA}}=2L_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}+2L_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1},\\{\overrightarrow {OI}}_{21}={\overrightarrow {OB}}=3L_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}+L_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1},\\\end{array}}$

Reducciones cinemáticas

Son todos movimientos planos. Por tanto los vectores rotación tienen la forma

${\vec {\omega }}_{01}=\omega _{01}\,{\vec {k}},\qquad {\vec {\omega }}_{20}=\omega _{20}\,{\vec {k}},\qquad {\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}\,{\vec {k}}.$

Para el movimiento {01} tenemos la posición del CIR y la velocidad en el punto $O$. Usando el teorema de Chasles tenemos

${\vec {v}}_{01}^{\,O}={\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {I_{0}1O}}=(\omega _{01}{\vec {k}})\times (-4L_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1})=4\omega _{01}L_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}.$

Como debe ser igual a ${\vec {v}}_{01}^{\,O}=v_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}$, tenemos, para el movimiento {01}

${\vec {v}}_{01}^{\,O}=v_{0}\,{\vec {\imath }}_{1},\qquad {\vec {\omega }}_{01}={\dfrac {v_{0}}{4L_{0}}}\,{\vec {k}}.$

Aplicamos la composición {21} = {20} + {01} en B.

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {v}}_{20}^{\,B}+{\vec {v}}_{01}^{\,B}.\\\qquad {\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {0}}\\\qquad {\vec {v}}_{20}^{\,B}={\vec {v}}_{20}^{\,A}+{\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {AB}}=\omega _{20}L_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}+\omega _{20}L_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1},\\\\\qquad {\vec {v}}_{01}^{\,B}={\vec {v}}_{01}^{\,O}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OB}}={\dfrac {3}{4}}v_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}+{\dfrac {3}{4}}v_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1}.\end{array}}$

Por tanto, para el movimiento {20} obtenemos

${\vec {v}}_{20}^{\,A}={\vec {0}},\qquad {\vec {\omega }}_{20}=-{\dfrac {3v_{0}}{4L_{0}}}\,{\vec {k}}.$

Finalmente, usando ${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}$, obtenemos para el movimiento {21}

${\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {0}},\qquad {\vec {\omega }}_{21}=-{\dfrac {v_{0}}{2L_{0}}}\,{\vec {k}}.$

Aceleraciones

De la información del enunciado , sabemos que

${\vec {a}}_{01}^{\,O}={\vec {0}},\qquad {\vec {a}}_{20}^{\,A}={\vec {0}},\qquad {\vec {a}}_{21}^{\,B}={\vec {0}}.$

Son todos movimientos planos. Por tanto los vectores rotación tienen la forma

${\vec {\alpha }}_{01}=\alpha _{01}\,{\vec {k}},\qquad {\vec {\alpha }}_{20}=\alpha _{20}\,{\vec {k}},\qquad {\vec {\alpha }}_{21}=\alpha _{21}\,{\vec {k}}.$

Aplicamos el Teorema de Coriolis en A

${\vec {a}}_{21}^{\,A}={\vec {a}}_{20}^{\,A}+{\vec {a}}_{01}^{\,A}+2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,A}.$

El primer y tercer términos en el lado derecho son nulos. Es decir

${\vec {a}}_{21}^{\,A}={\vec {a}}_{01}^{\,A}.$

La ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {01} nos da

${\vec {a}}_{01}^{\,A}={\vec {a}}_{01}^{\,O}+{\vec {\alpha }}_{01}\times {\overrightarrow {OA}}-|{\vec {\omega }}_{01}|^{2}{\overrightarrow {OA}}=(-2\omega _{0}^{2}-2\alpha _{01})L_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}+(2\alpha _{01}-2\omega _{0}^{2})L_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

La ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21} nos da

${\vec {a}}_{21}^{\,A}={\vec {a}}_{21}^{\,B}+{\vec {\alpha }}_{21}\times {\overrightarrow {BA}}-|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}{\overrightarrow {BA}}=(4\omega _{0}^{2}-\alpha _{21})L_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}+(-\alpha _{21}-4\omega _{0}^{2})L_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

En ambos casos hemos usado las velocidades angulares proporcionadas en el enunciado del tercer apartado. Igualando las componentes de los vectores obtenemos dos ecuaciones para dos incógnitas

$\left.{\begin{array}{l}4\omega _{0}^{2}-\alpha _{21}=-2\omega _{0}^{2}-2\alpha _{01},\\-4\omega _{0}^{2}-\alpha _{21}=-2\omega _{0}^{2}+2\alpha _{01}.\end{array}}\right|\Longrightarrow {\begin{array}{l}{\vec {\alpha }}_{21}=2\omega _{0}^{2}\,{\vec {k}},\\{\vec {\alpha }}_{01}=-2\omega _{0}^{2}\,{\vec {k}}.\end{array}}$

Por último, usando la ley de composición de velocidades angulares para el movimiento plano tenemos

${\vec {\alpha }}_{20}={\vec {\alpha }}_{21}-{\vec {\alpha }}_{01}=4\omega _{0}^{2}\,{\vec {k}}.$