Masas en plano inclinado con cuerda tirando, Junio 2024 (G.I.C.)

Enunciado

Dos masas, $m_{1}$ y $m_{2}$, deslizan sobre un plano inclinado un ángulo $\beta$ con la horizontal. El contacto entre las masas y el plano inclinado es liso. Una cuerda tensa ejerce una fuerza ${\vec {F}}_{0}=-F_{0}\,{\vec {\imath }}$ ($F_{0}>0$) sobre la masa 2, como se indica en la figura. Las masas se desplazan siempre juntas hacia arriba, con velocidad constante ${\vec {v}}_{m}=-5v_{0}\,{\vec {\imath }}$ ($v_{0}>0$). Las masas son $m_{1}=5m_{0}$, $m_{2}=10m_{0}$. Las dos masas se tratan como partículas puntuales. La longitud de la rampa del plano inclinado es $L=5L_{0}$. El ángulo $\beta$ verifica

$\mathrm {sen} \,\beta =4/5,\qquad \cos \beta =3/5.$

1. Dibuja el diagrama de fuerzas para la masas. Hazlo por separado para cada una de ellas.
2. Calcula el valor de $F_{0}$ y de la fuerza entre las masas.
3. Si en el instante inicial las dos masas estaban en el punto $A$, ¿cuál es la variación de su energía mecánica cuando llegan al punto $B$?
4. Si $L_{0}=1.00\,\mathrm {m}$, $F_{0}=100\,\mathrm {N}$, y $v_{0}=5.00\,\mathrm {m/s}$, ¿cuanto vale la potencia que ${\vec {F}}_{0}$ transmite a las masas? ¿Y el trabajo realizado por ${\vec {F}}_{0}$ entre los puntos $A$ y $B$?

Solución

Diagrama de fuerzas

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre cada masa. Hay que recordar que, dado que las tratamos como masas puntuales, no importa en que punto del cuadrado que representa cada masa se aplique la fuerza. El contacto con el plano inclinado es liso, por lo que no hay fuerza de rozamiento.

Las fuerzas sobre la masa 1 son, expresadas en los ejes mostrados en la figura,

${\begin{array}{ll}\mathrm {Peso:} &{\vec {P}}_{1}=m_{1}g\,\mathrm {sen} \,\beta \,{\vec {\imath }}-m_{1}g\cos \beta \,{\vec {\jmath }}=4m_{0}g\,{\vec {\imath }}-3m_{0}g\,{\vec {\jmath }},\\\mathrm {Plano:} &{\vec {N}}_{1}=N_{1}\,{\vec {\jmath }},\\\mathrm {Masa\quad 2:} &{\vec {F}}_{2\to 1}=-N_{12}\,{\vec {\imath }}.\end{array}}$

Las fuerzas sobre la masa 2 son, expresadas en los ejes mostrados en la figura,

${\begin{array}{ll}\mathrm {Peso:} &{\vec {P}}_{2}=m_{2}g\,\mathrm {sen} \,\beta \,{\vec {\imath }}-m_{2}g\cos \beta \,{\vec {\jmath }}=8m_{0}g\,{\vec {\imath }}-6m_{0}g\,{\vec {\jmath }},\\\mathrm {Cuerda:} &{\vec {F}}_{0}=-F_{0}\,{\vec {\imath }},\\\mathrm {Plano:} &{\vec {N}}_{2}=N_{2}\,{\vec {\jmath }},\\\mathrm {Masa\quad 1:} &{\vec {F}}_{1\to 2}=-{\vec {F}}_{2\to 1}=N_{12}\,{\vec {\imath }}.\end{array}}$

Valor de las fuerzas

Las dos masas están siempre en contacto, por lo que su velocidad y aceleración son nulas. El problema dice que las masas se mueven con velocidad constante. Por tanto, su aceleración es cero. Aplicamos la Segunda Ley de Newton a cada masa por separado. Para la masa 1

${\vec {P}}_{1}+{\vec {N}}_{1}+{\vec {F}}_{2\to 1}={\vec {0}}\Longrightarrow \left\{{\begin{array}{lclr}X)&\to &4m_{0}g-N_{12}=0&(1)\\Y)&\to &-3m_{0}g+N_{1}=0&(2)\end{array}}\right.$

Para la masa 2

${\vec {P}}_{2}+{\vec {N}}_{2}+{\vec {F}}_{1\to 2}+{\vec {F}}_{0}={\vec {0}}\Longrightarrow \left\{{\begin{array}{lclr}X)&\to &8m_{0}g+N_{12}-F_{0}=0&(3)\\Y)&\to &-6m_{0}g+N_{2}=0&(4)\end{array}}\right.$

Tenemos cuatro ecuaciones para cuatro incógnitas, a saber, $\{F_{0},N_{1},N_{2},N_{12}\}$. Resolviendo obtenemos

${\begin{array}{l}{\vec {F}}_{0}=-12m_{0}g\,{\vec {\imath }},\\{\vec {N}}_{1}=3m_{0}g\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {N}}_{2}=6m_{0}g\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {F}}_{1\to 2}=-{\vec {F}}_{2\to 1}=4m_{0}g\,{\vec {\imath }}.\end{array}}$

Variación de energía mecánica

Como las masas se mueven con velocidad constante, su energía cinética es la misma en todo el recorrido. Por tanto, la variación de energía mecánica se debe únicamente a la variación de energía potencial gravitatoria, que es la única fuerza conservativa que hace trabajo. Tenemos

${\begin{array}{l}\Delta U_{A\to B}^{'1'}=m_{1}gL\,\mathrm {sen} \beta =20m_{0}gL_{0}\to \Delta \left.E_{m}^{'1'}\right|_{A\to B}=20m_{0}gL_{0},\\\Delta U_{A\to B}^{'2'}=m_{2}gL\,\mathrm {sen} \beta =40m_{0}gL_{0}\to \Delta \left.E_{m}^{'2'}\right|_{A\to B}=40m_{0}gL_{0}.\end{array}}$

Por tanto, la variación total de energía mecánica es

${\begin{array}{l}\Delta \left.E_{m}\right|_{A\to B}=\Delta \left.E_{m}^{'1'}\right|_{A\to B}+\Delta \left.E_{m}^{'2'}\right|_{A\to B}=60m_{0}gL_{0}\end{array}}$

La energía mecánica no es constante porque la cuerda hace trabajo, como veremos en el apartado siguiente.

Potencia y trabajo realizado por la cuerda

La potencia instantánea que la cuerda transmite a la masa 2 es

$P={\vec {F}}_{0}\cdot {\vec {v}}_{m}=5F_{0}v_{0}=2.50\,\mathrm {kW} .$

El trabajo que hace la cuerda se puede obtener integrando en el tiempo que tardan las masas en ir de A a B. Como se mueven con velocidad uniforme, este tiempo es

$T={\dfrac {L}{|{\vec {v}}_{m}|}}={\dfrac {5L_{0}}{5v_{0}}}=0.200\,\mathrm {s} =200\,\mathrm {ms} .$

Como la potencia es constante en el tiempo, al integrar obtenemos simplemente

$W=P\,T=500\,\mathrm {J} .$

También puede hacerse observando que se trata de una fuerza constante que actúa sobre una partícula que hace un movimiento rectilíneo. Por tanto

$W={\vec {F}}_{0}\cdot {\vec {L}}=F_{0}L=5F_{0}L_{0}=500\,\mathrm {J} .$