Juego con bola y caja, Junio 2024 (G.I.C.)

Enunciado

La figura ilustra un juego muy simple. Se trata de golpear una bola de masa $m$ con un taco en reposo en $t=0$, de modo que, justo después del impacto, se mueve con velocidad ${\vec {v}}_{0}$ horizontal, como se muestra en la figura. Después del impacto, la bola se mueve en caída libre, con rozamiento del aire despreciable. Se gana en el juego si se consigue que la bola entre en la caja $BC$ de la figura. En lo que sigue, modelaremos la bola como una partícula puntual de masa $m$.

1. Escribe las expresiones de los vectores ${\vec {v}}(t)$ y ${\vec {r}}(t)$ que describen la posición de la bola en cada instante de tiempo.
2. Encuentra el instante de tiempo, $t_{h}$, para el cual la distancia de la bola al suelo (el eje OX) es $h$.
3. Encuentra que condiciones debe cumplir $|{\vec {v}}_{0}|$ para ganar el juego.
4. Si la velocidad de salida de la partícula es $v_{0}=1.0\,\mathrm {m/s}$, y su masa es $m=1.00\,\mathrm {kg}$, ¿cuál es el impulso mecánico impartido por el taco a la partícula?

Solución

Movimiento de la bola

La bola se mueve en caída libre con una aceleración

${\vec {a}}=0\,{\vec {\imath }}-g\,{\vec {\jmath }}.$

Vemos que el movimiento horizontal es un MRU y el movimiento vertical es un MRUA. Las condiciones iniciales para la velocidad son

${\vec {v}}(0)=v_{0}\,{\vec {\imath }}+0\,{\vec {\jmath }}.$

Por tanto, la velocidad de la bola en cada instante de tiempo es

${\vec {v}}(t)=v_{0}\,{\vec {\imath }}-gt\,{\vec {\jmath }}.$

Las condiciones iniciales para el vector de posición son

${\vec {r}}(0)=0\,{\vec {\imath }}+2h\,{\vec {\jmath }}.$

Por tanto, la posición de la bola en cada instante de tiempo viene dada por el vector

${\vec {r}}(t)=v_{0}t\,{\vec {\imath }}+\left(2h-{\dfrac {1}{2}}gt^{2}\right)\,{\vec {\jmath }}.$

Instante en que la distancia de la bola al suelo es h

Para que la distancia de la bola al suelo, es decir, al eje $OX$ sea $h$, debe cumplirse

$y(t_{h})=h\Longrightarrow 2h-{\dfrac {1}{2}}gt_{h}^{2}=h\Longrightarrow t_{h}={\sqrt {\dfrac {2h}{g}}}.$

Condiciones para ganar el juego

Para que la bola entre en la caja, es necesario que en el instante $t_{h}$ calculado en el apartado anterior, la coordenada $x$ de la bola sea tal que esta se encuentre entre los puntos $B$ y $C$. Es decir

$x_{B}\leq x(t_{h})\leq x_{C}.$

Utilizando los resultados de los dos apartados anteriores obtenemos

$x(t_{h})=v_{0}t_{h}=v_{0}{\sqrt {\dfrac {2h}{g}}}.$

De la primera condición obtenemos

$x_{B}\leq x(t_{h})\Longrightarrow h\leq v_{0}{\sqrt {\dfrac {2h}{g}}}\Longrightarrow v_{0}\geq {\sqrt {\dfrac {gh}{2}}}.$

De la condición con $C$ tenemos

$x_{C}\geq x(t_{h})\Longrightarrow 2h\geq v_{0}{\sqrt {\dfrac {2h}{g}}}\Longrightarrow v_{0}\leq {\sqrt {2gh}}.$

Por tanto, las condiciones que debe cumplir la rapidez inicial de la bola son

${\sqrt {\dfrac {gh}{2}}}\leq v_{0}\leq {\sqrt {2gh}}.$

Impulso mecánico en la impulsión inicial

En el instante inicial, la bola pasa del reposo a tener una velocidad ${\vec {v}}_{0}$. Por tanto, el impulso mecánico realizado sobre la bola es

${\vec {I}}=\Delta {\vec {p}}=m\Delta {\vec {v}}=m{\vec {v}}_{0}=1.0\,\mathrm {kg\,m/s} .$