Problemas de electrostática en el vacío (GIOI)

Carga total de una distribución

Calcule la carga total de las siguientes distribuciones de carga:

1. N cargas de valor q situadas en los vértices de un polígono regular de N lados situado en el plano XY, con centro el origen y cuyo primer vértice se encuentra en ${\vec {r}}_{1}=a{\vec {\imath }}$.
2. Un anillo circular de radio b con una densidad lineal de carga uniforme $\lambda _{0}$.
3. Un anillo circular de radio b con centro el origen y situado en el plano XY, con una densidad lineal de carga $\lambda (\theta )=\lambda _{0}\cos(\theta )$, siendo θ el ángulo del vector de posición con el eje OX.
4. Una superficie esférica de radio a con una densidad de carga uniforme $\sigma _{0}$, rodeada por una superficie esférica concéntrica de radio b con densidad de carga $-\sigma _{0}$.
5. Una esfera maciza de radio b con densidad de carga uniforme $\rho _{0}$.
6. Una esfera maciza de radio $2b$ con una densidad de carga dependiente de la distancia al centro como $\rho (r)=A(b-r)$ ($r<2b$).

Solución

Fuerza entre cargas en un triángulo

Tres cargas puntuales iguales +q se hallan en los vértices de un triángulo equilátero de lado b. Calcule la fuerza eléctrica sobre cada una de ellas.

Suponga que se cambia una de las cargas +q por una carga −q. ¿Cuánto vale en ese caso la fuerza sobre cada una de las tres cargas?

Si se cambia una segunda carga +q por otra carga –q, ¿cuánto pasa a ser la fuerza sobre cada una?

Por último, si se sustituye la última carga +q por otra –q, ¿cuál es ahora la fuerza?

Solución

Cuatro cargas en dos varillas

Se tiene el sistema de 4 cargas de la figura, a la izquierda hay dos cargas iguales +q, unidas por una varilla rígida (sin carga). A la derecha hay otra varilla rígida, en cuyos extremos hay cargas opuestas ±q. Las cuatro cargas forman un cuadrado de lado b.

Para cada varilla, calcule la fuerza resultante y el momento resultante respecto a su centro de masas (centro de cada varilla).

Solución

Fuerzas y momentos sobre un par de cargas

Dos cargas $q_{1}=+q$ y $q_{2}=-q$ se encuentran en los extremos de una varilla que se encuentra inmersa en el campo eléctrico

${\vec {E}}=Ay{\vec {\imath }}+Bx^{2}{\vec {\jmath }}$

• Si los extremos de la varilla se encuentran en ${\vec {r}}_{1}=b{\vec {\imath }}$ y ${\vec {r}}_{2}=-b{\vec {\imath }}$, ¿cuál es el efecto del campo sobre el sistema?
• Si los extremos de la varilla se encuentran en ${\vec {r}}_{1}=b{\vec {\jmath }}$ y ${\vec {r}}_{2}=-b{\vec {\jmath }}$, ¿cuál es el efecto del campo sobre el sistema?

Solución

Campo de dos cargas puntuales

Se tienen dos cargas $q_{1}$ y $q_{2}$ situadas respectivamente en los puntos ${\vec {r}}_{1}=-12{\vec {\imath }}$  (cm) y ${\vec {r}}_{2}=+12{\vec {\imath }}$  (cm). Halle el campo eléctrico en los puntos ${\vec {r}}_{A}={\vec {0}}$, ${\vec {r}}_{B}=28{\vec {\imath }}$, ${\vec {r}}_{C}=9{\vec {\jmath }}$, ${\vec {r}}_{D}=-9{\vec {k}}$, ${\vec {r}}_{E}=12{\vec {\imath }}+32{\vec {\jmath }}$

(todas las distancias en cm) para los cuatro casos siguientes

1. $q_{1}=q_{2}=+1\,\mathrm {nC}$
2. $q_{1}=+1\,\mathrm {nC}$, $q_{2}=-1\,\mathrm {nC}$
3. $q_{1}=+1\,\mathrm {nC} ,q_{2}=+9\,\mathrm {nC}$
4. $q_{1}=+1\,\mathrm {nC} ,q_{2}=-9\,\mathrm {nC}$

Solución