Problemas de cinemática del sólido rígido (GIOI)

Caso de campo de velocidades de un sólido

El campo de velocidades instantáneo de un sólido rígido tiene la expresión, en el sistema internacional

${\vec {v}}(x,y,z)=\left((7.2+0.8y+1.6z){\vec {\imath }}+(3.6-0.8x+1.6z){\vec {\jmath }}-(7.2+1.6x+1.6y){\vec {k}}\right){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

1. Determine la velocidad angular, ${\vec {\omega }}$, y la velocidad del origen de coordenadas, ${\vec {v}}_{0}$.
2. Halle la velocidad del punto ${\vec {r}}_{1}=(-5.0{\vec {\imath }}-6.0{\vec {k}})\,\mathrm {m}$.
3. ¿Qué tipo de movimiento describe el sólido en este instante?
4. Halle la ecuación del eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (o eje instantáneo de rotación, en su caso).

Solución

Movimiento conocidas las velocidades de tres puntos

Una esfera centrada en el origen de coordenadas se mueve de forma que, en un instante dado la velocidad del punto $A(1,0,0)$ es ${\vec {v}}_{A}=3{\vec {\imath }}+a{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$, la de $B(0,1,0)$ es ${\vec {v}}_{B}={\vec {\imath }}-6{\vec {\jmath }}+b{\vec {k}}$ y la de $C(0,0,1)$ es ${\vec {v}}_{C}=c{\vec {\imath }}-5{\vec {\jmath }}+3{\vec {k}}$ (todo en las unidades fundamentales del SI). Para este instante, determine, en el orden que crea más oportuno:

1. Los valores de las constantes a, b y c.
2. La velocidad del origen de coordenadas,
3. La velocidad angular del sólido.
4. La velocidad de deslizamiento.
5. El tipo de movimiento que está realizando el sólido.
6. La posición de dos puntos del eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (o eje instantáneo de rotación, en su caso).
7. Si este movimiento es permanente, es decir, la velocidad angular y la velocidad de O en todo momento tienen los valores calculados en (2) y (3), ¿tiene aceleración el punto O? ¿Por qué? Si la respuesta es sí, ¿cuánto vale?

Solución

Rapidez de los puntos de un tornillo

Un tornillo de radio 2 mm y paso de rosca 1 mm avanza impulsado por un destornillador de forma que su punta se mueve a 2 mm/s. Determine la rapidez de los puntos del filete del tornillo.

Solución

Tres casos de movimiento de un sólido

Un sólido se mueve de forma que en un instante dado el origen O tiene una velocidad ${\vec {v}}_{O}$ y su velocidad angular es ${\vec {\omega }}$. Para los casos siguientes:

${\vec {v}}_{O}$	${\vec {\omega }}$
${\vec {\imath }}-2{\vec {\jmath }}+2{\vec {k}}$	${\vec {0}}$
${\vec {\imath }}-2{\vec {\jmath }}+2{\vec {k}}$	$2{\vec {\imath }}-2{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$
${\vec {\imath }}-2{\vec {\jmath }}+2{\vec {k}}$	$2{\vec {\imath }}+2{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$

Determine:

1. Si el estado es de reposo, traslación, rotación o movimiento helicoidal.
2. La velocidad instantánea del punto $A(1,0,0)$ y del $P(1,1,1)$.
3. La velocidad de deslizamiento.
4. La posición, en su caso, del Eje Instantáneo de Rotación y Mínimo Deslizamiento dando un punto por el que pasa y un vector en la dirección del eje.

Solución

Diferentes movimientos de una esfera

Considérese una esfera de masa $M$ y radio $R$ que se mueve sobre la superficie horizontal $z=0$. Consideramos un instante en el que la esfera toca el suelo justo en el origen de coordenadas, O, y tal que en ese momento la velocidad de dicho punto de contacto con el suelo es nula

${\vec {v}}_{O}={\vec {0}}$

Para este mismo instante la velocidad de los puntos ${\vec {r}}_{A}=-R{\vec {\imath }}+R{\vec {k}}$ y ${\vec {r}}_{B}=+R{\vec {\imath }}+R{\vec {k}}$ situados en un diámetro horizontal valen respectivamente

${\vec {v}}_{A}=v_{A}{\vec {\jmath }}\qquad {\vec {v}}_{B}=v_{B}{\vec {\jmath }}$

Para los tres casos siguientes:

• $v_{A}=+v_{B}$
• $v_{A}=0$
• $v_{A}=-v_{B}$

1. Indique justificadamente el tipo de movimiento instantáneo que realiza la esfera (traslación, rotación, helicoidal,…)
2. Calcule la velocidad angular del sólido.
3. Halle la velocidad angular de pivotamiento y la de rodadura de la esfera.
4. Dé la ecuación del eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (o de rotación, en su caso).
5. Calcule la velocidad lineal del centro C de la esfera y la del punto D situado en el extremo superior de la esfera.

Solución

Movimiento de un disco dados dos puntos

Un disco de radio R y masa m rueda y desliza sobre el plano horizontal $y=0$ de forma que la velocidad del punto de contacto con el suelo, A, y del diametralmente opuesto, B, son de la forma

${\vec {v}}_{A}=v_{A}{\vec {\imath }}\qquad \qquad {\vec {v}}_{B}=v_{B}{\vec {\imath }}$

siendo $v_{A}$ y $v_{B}$ constantes.

1. Calcule la velocidad angular del disco respecto al suelo.
2. Halle la velocidad del centro del disco, G, así como de los puntos D y E situados en los extremos de un diámetro horizontal.
3. Determine la posición del centro instantáneo de rotación.
4. Halle la aceleración instantánea de A, B, D, E y G.
5. Indique a qué se reducen los resultados anteriores en los casos particulares siguientes:
   1. $v_{A}=-v_{B}$.
   2. $v_{A}=0$.
   3. $v_{A}=v_{B}$.

Solución

Barra que desliza por pared y suelo

Una barra metálica de 1.00 m de longitud resbala apoyada en el suelo y en una pared vertical. En un momento dado su extremo inferior se encuentra a una distancia de 60 cm de la esquina y se mueve con velocidad de 12 cm/s alejándose de la esquina

1. ¿Con qué velocidad se mueve el punto B, extremo superior de la barra?
2. Considerando un sistema de ejes centrado en la esquina, con el suelo como eje OX y la pared como eje OY, ¿dónde se encuentra el C.I.R. de la barra en el instante anteriormente descrito?
3. Si en el mismo instante, la aceleración del punto A es ${\vec {a}}_{A}=21.25\,\mathrm {cm} /\mathrm {s} ^{2}{\vec {\imath }}$, ¿cuál es la aceleración de B?

Solución

Movimiento de un sistema biela-manivela

Un sistema biela-manivela está formado por: una barra fija (el eje “1”); una barra (la manivela “0”) de longitud $b$, articulada en el punto O del eje y que forma un ángulo $\theta (t)$ con él; y una segunda barra (la biela “2”), también de longitud $b$, articulada en el punto A de la manivela y cuyo segundo extremo B está obligado a deslizar por el eje.

1. Halle las velocidades de los puntos A y B de la biela.
2. Determine la velocidad angular de la biela respecto al eje.
3. Localice el centro instantáneo de rotación (CIR) de la biela respecto al eje.
4. Suponga el caso $b=50\,\mathrm {cm}$ y que en un instante dado $\mathrm {tg} (\theta )=0.75$ siendo ${\dot {\theta }}=-2.00\,\mathrm {rad} /\mathrm {s}$. Calcule la velocidades respecto al eje de los puntos A y B de la biela, su velocidad angular y las coordenadas del CIR.

Solución

Dos barras articuladas

Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma longitud h situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él con velocidad angular constante Ω respecto a un sistema de ejes fijos OXY. La segunda barra está articulada en el extremo A de la primera y gira respecto de los mismos ejes fijos con una velocidad angular 2Ω.

1. En el instante $t=0$ el sistema está completamente extendido a lo largo del eje $OX$. Para este instante
   1. Calcule la velocidad del punto de articulación A y del extremo libre B de la segunda barra.
   2. Localice la posición del centro instantáneo de rotación del movimiento de la segunda barra respecto a los ejes fijos.
   3. Halle la aceleración de A y de B.
2. Considere ahora el instante $t=\pi /\Omega$. Para este instante
   1. Determine la posición del extremo B así como la velocidad de este punto en ese instante.
   2. Determine la posición del CIR de la barra AB en ese momento.
   3. Halle la aceleración de A y la de B en ese instante.
3. Calcule la posición del CIR de la barra AB para cualquier instante t.

Solución

Ejemplo gráfico de movimiento plano

En un movimiento plano, se tiene que la velocidad instantánea de dos puntos A y B es la ilustrada en la figura (para la posición, la cuadrícula representa cm y para la velocidad cm/s)

1. En dicho instante, ¿cuál es la velocidad del origen de coordenadas O?
2. ¿Dónde se encuentra el centro instantáneo de rotación?

Solución

Cuatro posibles movimientos de una barra

De las siguientes cuatro figuras, solo una representa velocidades posibles de los extremos A y B de una barra rígida que realiza un movimiento plano.

A	B
C	D

1. ¿Cuál?
2. Para la barra anterior, ¿dónde se encuentra su centro instantáneo de rotación, según la cuadrícula de la figura?
3. ¿Cuánto vale, en rad/s, la velocidad angular instantánea de este movimiento, si la cuadrícula representa m en distancias y m/s en velocidades?

Solución

Barra apoyada en escalón

Una barra desciende apoyada en el suelo y en un escalón de 24 cm de altura. En un momento dado el extremo inferior A se halla a 18 cm de la esquina y se mueve con una rapidez de 2.0 cm/s. Para ese instante…

1. empleando los ejes de la figura ¿qué velocidad tiene el punto B de la barra, el de apoyo en el escalón?
2. ¿Dónde se localiza el centro instantáneo de rotación de la barra?
3. ¿Cuánto vale la velocidad angular de la barra?

Solución

Disco articulado en varilla

Se tiene una varilla horizontal de masa despreciable y longitud 2R. Un extremo de la varilla se encuentra fijo en el origen de coordenadas, O. La varilla gira en torno al eje OZ con velocidad angular constante ${\vec {\omega }}_{1}=3\Omega {\vec {k}}$. En el otro extremo, G, de la varilla se encuentra ensartado un disco homogéneo de masa m y radio R, también horizontal. El disco gira con velocidad angular constante ${\vec {\omega }}_{2}=2\Omega {\vec {k}}$ alrededor de un eje paralelo a OZ por G. En un momento dado, la varilla se encuentra alineada con el eje OX. Para ese instante…

1. ¿Cuánto vale la velocidad de B, el punto del disco situado en el extremo del disco opuesto a O?
2. ¿Cuánto vale la aceleración de B, el punto del disco situado en el extremo del disco opuesto a O?
3. ¿Dónde se encuentra el centro instantáneo de rotación del disco?

Solución

Engranaje planetario

Un engranaje planetario es un sistema plano en el que tenemos un disco central (el sol) concéntrico con un anillo exterior (la corona). Entre el sol y la corona se encuentran varios discos (los planetas) cuyos centros está unidos por un armazón (el portador o carrier). Los engranajes son ruedas dentadas, de forma que cada disco rueda sin deslizar sobre el resto. Supongamos que el sol tiene radio 2R y gira con velocidad angular Ω y que la corona tiene radio 4R y está fija (figura 9). En estas condiciones:

1. ¿Cuánto vale la proporción entre la velocidad angular del carrier y la del sol? (Sugerencia, analice cómo se mueve el centro de un planeta).
2. ¿Cuál es la velocidad angular de los planetas?
3. El engranaje planetario sirve también como transmisión para invertir el giro. Para ello, suponga que se permite que la corona gira, pero se bloquea la posición del carrier. Calcule la proporción entre la velocidad de giro de la corona y la del sol.

Solución

Tres discos engranados

Se tiene un engranaje plano formado por tres discos de la misma masa m y el mismo radio R (“1”, “2” y “3”), cuyos centros están unidos por una varilla articulada en cada centro. La varilla tiene masa despreciable. El disco “1” está inmóvil en todo momento. El disco “2” rueda sin deslizar sobre el “1” y el “3” rueda sin deslizar por el “2”. La varilla “4” que pasa por los tres centros gira respecto a O, el centro de “1”, con velocidad angular constante Ω Calcule:

1. La velocidad lineal de los puntos C y D, centros de los discos “2” y “3”.
2. La velocidad angular de giro del disco “2”, $\omega _{2}$.
3. La velocidad lineal del punto B de contacto de los discos “2” y “3”.
4. La velocidad angular del disco “3”, $\omega _{3}$.
5. La aceleración del punto B del disco “2” y la del punto B del disco “3”.

Solución