Diferentes movimientos de una esfera

Enunciado

Considérese una esfera de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M} y radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} que se mueve sobre la superficie horizontal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=0} . Consideramos un instante en el que la esfera toca el suelo justo en el origen de coordenadas, O, y tal que en ese momento la velocidad de dicho punto de contacto con el suelo es nula

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_O = \vec{0}}

Para este mismo instante la velocidad de los puntos ${\vec {r}}_{A}=-R{\vec {\imath }}+R{\vec {k}}$ y ${\vec {r}}_{B}=+R{\vec {\imath }}+R{\vec {k}}$ situados en un diámetro horizontal valen respectivamente

${\vec {v}}_{A}=v_{A}{\vec {\jmath }}\qquad {\vec {v}}_{B}=v_{B}{\vec {\jmath }}$

Para los tres casos siguientes:

(a) $v_{A}=+v_{B}$

(b) $v_{A}=0$

(c) $v_{A}=-v_{B}$

1. Indique justificadamente el tipo de movimiento instantáneo que realiza la esfera (traslación, rotación, helicoidal,…)
2. Calcule la velocidad angular del sólido.
3. Halle la velocidad angular de pivotamiento y la de rodadura de la esfera.
4. Dé la ecuación del eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (o de rotación, en su caso).
5. Calcule la velocidad lineal del centro G de la esfera y la del punto D situado en el extremo superior de la esfera.

Tipos de movimiento

En los tres casos se cumple lo siguiente:

• Hay un punto, el de contacto, que tiene velocidad nula

${\vec {v}}_{O}={\vec {0}}$

• Existe al menos un punto que tiene una velocidad no nula

${\vec {v}}_{B}=v_{B}{\vec {\jmath }}$

Por tanto, en los tres casos, el movimiento instantáneo es una rotación alrededor de un eje que pasa por O. (no puede ser uno de reposo, pues hay puntos en movimiento; ni una traslación, por ser diferentes las velocidades; ni helicoidal, por haber alguno con velocidad nula).

Lo que cambiará de un caso a otro es la dirección del eje y el valor de la velocidad angular.

Velocidad angular

Caso (a)

En el primer caso, las velocidades de A y B son iguales

${\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{B}=v_{B}{\vec {\jmath }}$

Esto quiere decir que el eje instantáneo de rotación es paralelo a la recta que pasa por A y B. Dado que

${\overrightarrow {AB}}={\vec {r}}_{B}-{\vec {r}}_{A}=2R{\vec {\imath }}$

la dirección de ${\vec {\omega }}$ es la de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\imath}}

${\vec {\omega }}=\omega {\vec {\imath }}$

El valor de la cantidad escalar $\omega$ lo sacamos de la velocidad de un punto, que puede ser el B

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_B\vec{\jmath}=\vec{v}_B = \overbrace{\vec{v}_O}^{=\vec{0}}+\vec{\omega}\times\overrightarrow{OB} = (\omega\vec{\imath})\times(R\vec{\imath}+R\vec{k})=-\omega R\vec{\jmath}}

de donde

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega = -\frac{v_B}{R}}

A este resultado se puede llegar también geométricamente observando que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}_B| = |\vec{\omega}| d}

siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d=R} la distancia de B al eje instantáneo de rotación (que pasa por O), y toamdno el sentido el dado por la regla de la mano derecha. En forma vectorial, la velocidad angular queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=-\frac{v_B}{R}\vec{\imath}}

Caso (b)

En el segundo caso, la velocidad del punto A es nula. Esto nos permite identificar el EIR: es la recta que pasa por los puntos O y A (ambos con velocidad nula). Puesto que la velocidad angular lleva la dirección del eje instantáneo de rotación, debe ser

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=\omega\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}=\omega \frac{(-R\vec{\imath}+R\vec{k})}{\sqrt{R^2+R^2}}=\omega\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{\imath}+\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{k}\right)}

Aplicando ahora esta velocidad al cálculo de la velocidad de B

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_B\vec{\jmath}=\vec{\omega}\times\overrightarrow{OB}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -\omega/\sqrt{2} & 0 & \omega/\sqrt{2} \\ R & 0 & R \end{matrix}\right| = \sqrt{2}\omega R\vec{\jmath}}

De aquí

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega = \frac{v_B}{R\sqrt{2}}}

y en forma vectorial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=\frac{v_B}{2R}\left(-\vec{\imath}+\vec{k}\right)}

Método alternativo

A este mismo resultado se puede llegar sin conocer previamente la dirección de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}} . Si suponemos una velocidad angular arbitraria

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=\omega_x\vec{\imath}+\omega_y\vec{\jmath}+\omega_z\vec{k}}

y aplicándola al cálculo de la velocidad de A queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{0}=\vec{\omega}\times\overrightarrow{OA}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z\\ -R & 0 & R \end{matrix}\right| = (R\omega_y)\vec{\imath}-R(\omega_x+\omega_z)\vec{\jmath}+\omega_yR\vec{k}}

Puesto que este vector debe ser nulo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_y = 0 \qquad\qquad \omega_x+\omega_z=0\qquad\Rightarrow\qquad \omega_z=-\omega_x}

Hallamos ahora la velocidad de B

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_B\vec{\jmath}=\vec{\omega}\times\overrightarrow{OB}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & 0 & -\omega_x \\ R & 0 & R \end{matrix}\right| = -2\omega_x R\vec{\jmath}}

De aquí

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_x = -\frac{v_B}{2R}\qquad\qquad \omega_y = 0\qquad\qquad \omega_z = \frac{v_B}{2R}}

y en forma vectorial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=\frac{v_B}{2R}\left(-\vec{\imath}+\vec{k}\right)}

como habíamos dicho.

Caso (c)

En el tercer caso, las velocidades de los puntos A y B son opuestas.

Como en el caso anterior, podemos suponer una velocidad angular genérica

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=\omega_x\vec{\imath}+\omega_y\vec{\jmath}+\omega_z\vec{k}}

y la aplicamos al cálculo de las velocidades de A y B. Para el punto A

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -v_B\vec{\jmath}=\vec{\omega}\times\overrightarrow{OA}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z\\ -R & 0 & R \end{matrix}\right| = (R\omega_y)\vec{\imath}-R(\omega_x+\omega_z)\vec{\jmath}+\omega_yR\vec{k}}

Igualando componente a componente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_y=0\qquad\qquad \omega_x+\omega_z=\frac{v_B}{R}}

Para el punto B

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_B\vec{\jmath}=\vec{\omega}\times\overrightarrow{OB}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z\\ R & 0 & R \end{matrix}\right| = (R\omega_y)\vec{\imath}-R(-\omega_x+\omega_z)\vec{\jmath}+\omega_yR\vec{k}}

que nos da ahora

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_y=0\qquad\qquad -\omega_x+\omega_z=\frac{v_B}{R}}

De estas ecuaciones y las anteriores nos queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_x = 0\qquad\qquad \omega_y=0\qquad\qquad \omega_z=\frac{v_B}{R}}

y en forma vectorial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=\frac{v_B}{R}\vec{k}}

Este resultado también se podía haber previsto por razonamientos geométricos. Dada la simetría de las velocidades, es fácil ver que la esfera está girando alrededor de un eje vertical que pasa por el punto de apoyo (es decir, está pivotando). Al estar los puntos A y B en lados opuestos del eje y a la misma distancia de éste, resultan velocidades del mismo módulo y dirección, pero de sentido opuesto.

Pivotamiento y rodadura

Caso (a)

Puesto que en el primer caso la velocidad es puramente tangencial a la superficie, el movimiento que describe la esfera es de rodadura, sin deslizamiento ni pivotamiento, siendo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_r = \vec{\omega}=-\frac{v_B}{R}\vec{\imath}\qquad \qquad \vec{\omega}_p=\vec{0}}

Caso (b)

En el segundo caso, la velocidad angular tiene tanto componente tangencial como perpendicular, por lo que hay tanto rodadura como pivotamiento, siendo las respectivas velocidades angulares

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_r=-\frac{v_B}{2R}\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{\omega}_p = \frac{v_B}{2R}\vec{k}}

Caso (c)

En el tercer caso la velocidad angular es puramente perpendicular al plano de contacto, por lo que el movimiento relativo es de pivotamiento, sin rodadura ni deslizamiento.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_r = \vec{0}\qquad\qquad \vec{\omega}_p=\frac{v_B}{R}\vec{k}}

Eje instantáneo de rotación

Según hemos dicho, en los tres casos, el movimiento instantáneo es de rotación. No tenemos entonces un EIRMD, sino simplemente un EIR. Además sabemos que la velocidad del punto de contacto, O, es nula, por lo que el EIR pasa por él. Queda simplemente escribir su dirección, que la da la velocidad angular.

Caso (a)

En el primer caso, la velocidad horizontal es tangente al plano, según la dirección del vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\imath}} . Por tanto, el eje es simplemente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}=\lambda\vec{\omega}=-\frac{\lambda v_B}{R}\vec{\imath}}

o, puesto que la definición de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda} es arbitraria, podemos escribirlo más sencillamente

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En forma implícita

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Es decir, el EIR coincide con el eje OX.

Caso (b)

En el segundo caso, según indicamos antes, el EIR es la recta que pasa por O y por A, dos puntos con velocidad nula. Su ecuación es

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o, de forma más sencilla

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En forma implícita

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Caso (c)

En el tercer caso, la velocidad angular es puramente vertical, por lo que el EIR es simplemente el eje OZ

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En forma implícita

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = y = 0\,}

Velocidad de dos puntos

Caso (a)

Una vez que tenemos la velocidad de un punto y la velocidad angular podemos hallar la velocidad instantánea de cualquier otro.

El centro de la esfera se encuentra en la posición, respecto al origen O

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siendo su velocidad lineal instantánea

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Resulta una velocidad igual a la de los puntos A y B, ya que el centro de la esfera se encuentra sobre la recta que pasa por estos dos puntos.

Para el punto D

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OD}=2R\vec{k}}

y resulta una velocidad que es el doble de la del punto G

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Caso (b)

En el segundo caso operamos de manera análoga. Para el punto G

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_G = \vec{\omega}\times\overrightarrow{OG}=\left(-\frac{v_B}{2R}\vec{\imath}+\frac{v_B}{2R}\vec{k}\right)\times\left(R\vec{k}\right)=\frac{v_B}{2}\vec{\jmath}}

La velocidad es menor que la de B, por estar más cerca del EIR.

Para el punto D

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_D = \vec{\omega}\times\overrightarrow{OD}=\left(-\frac{v_B}{2R}\vec{\imath}+\frac{v_B}{2R}\vec{k}\right)\times\left(2R\vec{k}\right)=v_B\vec{\jmath}}

El punto D está a la misma distancia del eje que B, por lo que tiene la misma velocidad.

Caso (c)

En el tercer caso, tanto G como D se encuentran en el propio eje instantáneo de rotación, por lo que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_G = \vec{0}\qquad\qquad \vec{v}_D=\vec{0}}

Representación gráfica

Podemos ilustrar los tres casos.

Caso(a)

En el primer caso, el EIR es el eje OX. En esta dirección apunta la velocidad angular. los puntos A, B y G están sobre una recta paralela a este eje por lo que todos tienen la misma velocidad. El punto D está al doble de distancia, por lo que su velocidad es también doble.

Caso(b)

En el segundo caso, el EIR es oblicuo, pasando por O y A. El punto G está a la mitad de distancia del eje que B, por lo que su velocidad es la mitad que la de B. El punto D, en cambio, está a la misma distancia que B, por lo que tiene la misma velocidad.

Caso(c)

En el tercer caso, el EIR es vertical, pasando por O, G y D. A y B que están en sendos lados del eje, tienen velocidades opuestas.

Este problema continúa en el problema de dinámica “Propiedades dinámicas de una esfera en movimiento”, donde se calculan los valores de las tres magnitudes dinámicas más usuales.