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Ejemplo gráfico de movimiento plano

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

En un movimiento plano, se tiene que la velocidad instantánea de dos puntos A y B es la ilustrada en la figura (para la posición, la cuadrícula representa cm y para la velocidad cm/s)

  1. En dicho instante, ¿cuál es la velocidad del origen de coordenadas O?
  2. ¿Dónde se encuentra el centro instantáneo de rotación?

2 Nota sobre unidades

En lo que sigue, todas las distancias se miden en cm, las velocidades en cm/s y las velocidades angulares en rad/s.

3 Velocidad del origen

Podemos hallar la velocidad del punto O:

  • Aplicando la condición cinemática de rigidez
  • Mediante la fórmula del campo de velocidades
  • Gráfica o analíticamente una vez localizado el CIR

3.1 Condición de rigidez

La velocidad del origen la podemos escribir como

\vec{v}_O = v_{Ox}\vec{\imath}+v_{Oy}\vec{\jmath}

Esta velocidad debe cumplir, junto con la del punto A, la condición de rigidez o de equiproyectividad

\vec{v}_O\cdot\overrightarrow{OA}=\vec{v}_A\cdot\overrightarrow{OA}

donde

\overrightarrow{OA}=\vec{r}_A-\vec{r}_O=4\vec{\jmath}\qquad\qquad\vec{v}_A=-2\,\vec{\imath}

lo que nos da una componente de la velocidad del origen

\left\{\begin{array}{rcl}\vec{v}_O\cdot\overrightarrow{OA}&=&(v_{Ox}\vec{\imath}+v_{Oy}\vec{\jmath})\cdot(4\vec{\jmath})= 4v_{Oy} \\ \vec{v}_A\cdot\overrightarrow{OA}&=&(-2\,\vec{\imath})\cdot(4\vec{\jmath})=0\end{array}\right.\qquad\Rightarrow\qquad v_{Oy}=0

De manera análoga, tenemos, para el punto B

\overrightarrow{OB}=\vec{r}_A-\vec{r}_O=4\vec{\imath}\qquad\qquad\vec{v}_B=2\,\vec{\imath}+4\vec{\jmath}

y

\left\{\begin{array}{rcl}\vec{v}_O\cdot\overrightarrow{OB}&=&(v_{Ox}\vec{\imath}+v_{Oy}\vec{\jmath})\cdot(4\vec{\imath})= 4v_{Ox} \\ \vec{v}_B\cdot\overrightarrow{OB}&=&(2\,\vec{\imath}+4\vec{\jmath})\cdot(4\vec{\imath})=8\end{array}\right.\qquad\Rightarrow\qquad v_{Ox}=2

Combinando los dos resultados podemos expresar la velocidad del origen en forma vectorial

\vec{v}_O=2\vec{\imath}

3.2 Mediante el campo de velocidades

Calculamos en primer lugar la velocidad angular. Puesto que se trata de un movimiento plano, la velocidad angular es ortogonal a él

\vec{\omega}=\omega\vec{k}

Relacionamos ahora las velocidades de A y B

\vec{v}_B=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}

siendo

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=4\vec{\imath}-4\vec{\jmath}

lo que nos da

2\vec{\imath}+4\vec{\jmath} = -2\vec{\imath}+(\omega\vec{k})\times(4\vec{\imath}-4\vec{\jmath}) = (-2+4\omega)\vec{\imath}+4\omega\vec{\jmath}

Igualando componente a componente

2 = -2+4\omega\qquad\qquad 4 = 4\omega\qquad\Rightarrow\qquad \omega = 1

Las dos ecuaciones tienen la misma solución, porque si no no se cumpliría la condición de rigidez. Por tanto

\vec{\omega}=\vec{k}

Una vez que tenemos la velocidad angular, hallamos la velocidad del punto O a partir de la de A

\vec{v}_O = \vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AO}=-2\vec{\imath}+(\vec{k}\times(-4\vec{\jmath})=(-2+4)\vec{\imath}=2\vec{\imath}

4 Centro instantáneo de rotación

La posición del CIR la podemos determinar tanto analítica como geométricamente.

4.1 Determinación analítica

En un movimiento plano, la posición del CIR respecto a un punto A del que conocemos la velocidad es

\overrightarrow{AI}=\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_A}{|\vec{\omega}|^2}

En nuestro caso, empleando la velocidad angular que ya calculamos

\overrightarrow{AI}=\frac{\vec{k}\times(-2\vec{\imath})}{1}=-2\vec{\jmath}

Esta es la posición respecto al punto A. Respecto al origen de coordenadas será

\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AI}=4\vec{\jmath}-2\vec{\jmath} = 2\vec{\jmath}

4.2 Determinación geométrica

Para hallar geométricamente la posición del CIR observamos que, para todo punto P se cumple

\vec{v}_P = \vec{\omega}\times\overrightarrow{IP}

la velocidad de cada punto es ortogonal al vector de posición relativo respecto al CIR.

Trazamos entonces las perpendiculares a las velocidades \vec{v}_A y \vec{v}_B por los puntos respectivos. El CIR se halla en la interesección de estas dos perpendiculares. En este caso este punto tiene por vector de posición

\overrightarrow{OI}=2\vec{\jmath}
Archivo:ejemplo-calculo-cir.png

4.3 Velocidad del origen

Una vez que tenemos localizado el CIR y conocemos la velocidad angular, podemos hallar la velocidad de cualquier punto. Para el origen de coordenadas

\vec{v}_O = \vec{\omega}\times\overrightarrow{IO}=\vec{k}\times(-2\vec{\jmath})=2\vec{\imath}

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