Caso de campo de velocidades de un sólido

Enunciado

El campo de velocidades instantáneo de un sólido rígido tiene la expresión, en el sistema internacional

${\vec {v}}(x,y,z)=\left((7.2+0.8y+1.6z){\vec {\imath }}+(3.6-0.8x+1.6z){\vec {\jmath }}-(7.2+1.6x+1.6y){\vec {k}}\right){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

1. Determine la velocidad angular, ${\vec {\omega }}$, y la velocidad del origen de coordenadas, ${\vec {v}}_{O}$.
2. Halle la velocidad del punto ${\vec {r}}_{1}=(-5.0{\vec {\imath }}-6.0{\vec {k}})\,\mathrm {m}$.
3. ¿Qué tipo de movimiento describe el sólido en este instante?
4. Halle la ecuación del eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (o eje instantáneo de rotación, en su caso).

Velocidad angular y velocidad del origen

La expresión general del campo de velocidades de un sólido rígido es de la forma

${\vec {v}}({\vec {r}})={\vec {v}}_{O}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}$

donde ${\vec {\omega }}$ y ${\vec {v}}_{O}$ son dos vectores independientes de la posición y ${\vec {r}}$ el vector de posición respecto al origen

${\vec {v}}_{O}=v_{0x}{\vec {\imath }}+v_{0y}{\vec {\jmath }}+v_{0z}{\vec {k}}\qquad \qquad {\vec {\omega }}=\omega _{x}{\vec {\imath }}+\omega _{y}{\vec {\jmath }}+\omega _{z}{\vec {k}}\qquad \qquad {\vec {r}}=x{\vec {\imath }}+y{\vec {\jmath }}+z{\vec {k}}$

Sustituyendo y desarrollando esta expresión

${\vec {v}}(x,y,z)=v_{0x}{\vec {\imath }}+v_{0y}{\vec {\jmath }}+v_{0z}{\vec {k}}+\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\\omega _{x}&\omega _{y}&\omega _{z}\\x&y&z\end{matrix}}\right|=$$=(v_{0x}+\omega _{y}z-\omega _{z}y){\vec {\imath }}+(v_{0y}+\omega _{z}x-\omega _{x}z){\vec {\jmath }}+(v_{0z}+\omega _{x}y-\omega _{y}x){\vec {k}}$

Esta expresión debe ser igual a la del enunciado. Dos vectores son iguales cuando son iguales sus respectivas componentes. Igualando una a una queda el sistema

$\left\{{\begin{array}{rcl}v_{0x}+\omega _{y}z-\omega _{z}y&=&7.2+0.8y+1.6z\\v_{0y}+\omega _{z}x-\omega _{x}z&=&3.6-0.8x+1.6z\\v_{0z}+\omega _{x}y-\omega _{y}x&=&-7.2-1.6x-1.6y\end{array}}\right.$

A su vez, los primeros miembros deben ser iguales a los segundos no para un punto concreto, sino para todo punto del espacio, sean cuales sean sus coordenadas. Dicho en términos algebraicos: cada uno de los miembros son polinomios en $(x,y,z)$ y dos polinomios son iguales cuando son iguales sus respectivos coeficientes, es decir, lo que multiplica a x en el primer miembro debe ser lo mismo que lo que multiplica a x en el segundo miembro y el término independiente en el primer miembro debe ser igual al término independiente en el segundo miembro.

Podemos por tanto descomponer aun más el sistema y escribir

$\left\{{\begin{matrix}v_{0x}=7.2&\ &\omega _{y}=1.6&\ &\omega _{z}=-0.8\\v_{0y}=3.6&&\omega _{z}=-0.8&&\omega _{x}=-1.6\\v_{0z}=-7.2&&\omega _{x}=-1.6&&\omega _{y}=1.6\end{matrix}}\right.$

Vemos que algunas de las ecuaciones están repetidas. Para que el sistema tenga solución los resultados de las ecuaciones redundantes deben ser iguales. Por ello, la expresión del campo de velocidades no puede ser la primera que se nos ocurra, sino que debe ser compatible con la solución del sistema. Si no fuera así, tendríamos un campo de velocidades que no puede corresponder a un sólido rígido, pues no verificaría la condición cinemática de rigidez.

En forma vectorial, podemos escribir el resultado del sistema, en el SI, como

${\vec {v}}_{O}=7.2{\vec {\imath }}+3.6{\vec {\jmath }}-7.2{\vec {k}}\qquad \qquad {\vec {\omega }}=-1.6{\vec {\imath }}+1.6{\vec {\jmath }}-0.8{\vec {k}}$

Velocidad de un punto

La velocidad de cualquier punto del sólido la obtenemos por simple sustitución en la fórmula del enunciado. Tenemos que

$x_{1}=-5.0\,\mathrm {m} \qquad y_{1}=0.0\,\mathrm {m} \qquad z=6.0\,\mathrm {m}$

y a este punto le corresponde la velocidad

${\vec {v}}(-5.0,0.0,-6.0)=\left(-2.4{\vec {\imath }}-2.0{\vec {\jmath }}+0.8{\vec {k}}\right){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Identificación del movimiento

Para identificar el movimiento seguimos el procedimiento establecido:

¿Es nula la velocidad angular?

No. No puede tratarse de un estado de reposo ni de una traslación.

¿Es perpendicular la velocidad angular a la de un punto?

Hallamos el producto escalar

${\vec {v}}_{O}\cdot {\vec {\omega }}=(7.2)(-1.6)+(3.6)(1.6)+(-7.2)(-0.8)=0.0\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

Puesto que sí son ortogonales, la conclusión es que el movimiento instantáneo es una rotación pura.

Eje instantáneo de rotación (y mínimo deslizamiento)

Ecuaciones implícitas

El eje instantáneo de rotación, para una rotación pura, está formado por aquellos puntos cuya velocidad es nula. Esto nos da de manera inmediata las ecuaciones implícitas de este eje: simplemente igualamos a cero la velocidad como función de la posición

$0=(7.2+0.8y+1.6z){\vec {\imath }}+(3.6-0.8x+1.6z){\vec {\jmath }}-(7.2+1.6x+1.6y){\vec {k}}$

Separando en componentes

${\mbox{E.I.R.}}:\left\{{\begin{array}{rcl}7.2+0.8y+1.6z&=&0\\3.6-0.8x+1.6z&=&0\\-(7.2+1.6x+1.6y)&=&0\end{array}}\right.$

Estas ecuaciones son redundantes ya que una recta queda definida por solo dos ecuaciones implícitas. Quedándonos las dos primeras y simplificando obtenemos las ecuaciones del eje

${\mbox{E.I.R.}}:\left\{{\begin{array}{rcl}y+2z&=&-9\\2x-8z&=&9\end{array}}\right.$

Ecuación vectorial

Alternativamente, podemos dar una ecuación para el E.I.R. buscando un punto I que tenga velocidad nula y posteriormente prolongando en la dirección de la velocidad angular. El vector de posición de los puntos E del eje se escribirá entonces

${\overrightarrow {OE}}={\overrightarrow {OI}}+\lambda {\vec {\omega }}\qquad -\infty <\lambda <\infty$

Archivo:Localizacion-eir.png

Para elegir un punto por el que pase el eje, podemos imponer alguna condición adicional. La más sencilla consiste en imponer que ${\overrightarrow {OI}}$ sea perpendicular a la velocidad angular. Cualquier otro punto del eje tendrá esta misma componente perpendicular más una componente paralela a ${\vec {\omega }}$

Para encontrar un punto de velocidad nula debemos resolver la ecuación vectorial

${\vec {v}}_{O}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {OI}}={\vec {0}}$

Multiplicando vectorialmente por la velocidad angular queda

${\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{O}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {OI}})={\vec {0}}$

Desarrollando el doble producto vectorial obtenemos

${\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{O}+\overbrace {({\vec {\omega }}\cdot {\overrightarrow {OI}})} ^{=0}{\vec {\omega }}-|{\vec {\omega }}|^{2}{\overrightarrow {OI}}={\vec {0}}$

Si de aquí despejamos el vector de posición llegamos a

${\overrightarrow {OI}}={\frac {{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{O}}{|{\vec {\omega }}|^{2}}}$

y un punto cualquiera del eje será de la forma

${\overrightarrow {OE}}={\frac {{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{O}}{|{\vec {\omega }}|^{2}}}+\lambda {\vec {\omega }}\qquad -\infty <\lambda <\infty$

En nuestro caso

${\frac {{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{O}}{|{\vec {\omega }}|^{2}}}=(-1.5{\vec {\imath }}-3.0{\vec {\jmath }}-3.0{\vec {k}})\mathrm {m}$

lo que nos da la ecuación vectorial del eje, en el SI

${\overrightarrow {OE}}=(-1.5{\vec {\imath }}-3.0{\vec {\jmath }}-3.0{\vec {k}})+\lambda (-1.6{\vec {\imath }}+1.6{\vec {\jmath }}-0.8{\vec {k}})$

Separando en componentes obtenemos las ecuaciones implícitas del eje

${\mbox{E.I.R.:}}\left\{{\begin{array}{rcl}x&=&-1.5-1.6\lambda \\y&=&-3.0+1.6\lambda \\z&=&-3.0-0.8\lambda \end{array}}\right.$