Rapidez de los puntos de un tornillo

Enunciado

Un tornillo de radio 2 mm y paso de rosca 1 mm avanza impulsado por un destornillador de forma que su punta se mueve a 2 mm/s. Determine la rapidez de los puntos del filete del tornillo.

Solución

El tornillo realiza un movimiento helicoidal permanente. La rapidez de los puntos del filete es de la forma

$|{\vec {v}}_{P}|={\sqrt {v_{d}^{2}+\omega ^{2}d^{2}}}$

siendo $v_{d}$ la velocidad de avance del tornillo (2 mm/s), $d$ es la distancia del filete al eje del tornillo (2 mm) y $\omega$ es la velocidad angular, que aun no conocemos.

El valor de $\omega$ lo sacamos de que los puntos del filete describen una hélice, de forma que en el tiempo que dan una vuelta avanzan el paso de rosca $b$ (1 mm). Por tanto

${\frac {2\pi }{\omega }}={\frac {b}{v_{d}}}\qquad \Rightarrow \qquad \omega ={\frac {2\pi v_{d}}{b}}=4\pi \,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$

lo que nos da la rapidez

$|{\vec {v}}_{P}|={\sqrt {2^{2}+(4\pi )^{2}\times 2^{2}}}\,{\frac {\mathrm {mm} }{\mathrm {s} }}=25.2\,{\frac {\mathrm {mm} }{\mathrm {s} }}$

Vemos que la velocidad de estos puntos es mucho mayor que la de avance, y es que recorren una distancia mucho mayor que si se movieran en línea recta.