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Rapidez de los puntos de un tornillo

De Laplace

1 Enunciado

Un tornillo de radio 2 mm y paso de rosca 1 mm avanza impulsado por un destornillador de forma que su punta se mueve a 2 mm/s. Determine la rapidez de los puntos del filete del tornillo.

Archivo:tornillo.png

2 Solución

El tornillo realiza un movimiento helicoidal permanente. La rapidez de los puntos del filete es de la forma

|\vec{v}_P| = \sqrt{v_d^2+\omega^2 d^2}

siendo vd la velocidad de avance del tornillo (2 mm/s), d es la distancia del filete al eje del tornillo (2 mm) y ω es la velocidad angular, que aun no conocemos.

El valor de ω lo sacamos de que los puntos del filete describen una hélice, de forma que en el tiempo que dan una vuelta avanzan el paso de rosca b (1 mm). Por tanto

\frac{2\pi}{\omega} = \frac{b}{v_d}\qquad \Rightarrow\qquad\omega = \frac{2\pi v_d}{b}=4\pi\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}

lo que nos da la rapidez

|\vec{v}_P| = \sqrt{2^2+(4\pi)^2\times 2^2}\,\frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s}} = 25.2\,\frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s}}

Vemos que la velocidad de estos puntos es mucho mayor que la de avance, y es que recorren una distancia mucho mayor que si se movieran en línea recta.

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