Dinámica de un sistema de partículas

Definición

En mecánica consideramos un sistema de partículas como un conjunto de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N} puntos materiales que se mueven por separado, si bien interactúan entre sí y están sometidos a fuerzas externas.

Cada una de las partículas del sistema posee una masa propia, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_i} , siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i=1,\ldots,N} un índice que sirve para etiquetar individualmente cada una de las partículas. la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i} está caracterizada por una posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{r}_i} y una velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}_i} . Esta posición y esta velocidad evolucionan de acurdo con las leyes de la dinámica

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_i}{\mathrm{d}t}=\mathbf{v}_i}     $m_{i}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{i}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} _{i}$    Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i=1,\ldots ,N}

siendo $\mathbf {F} _{i}$ la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i} . Esta resultante se compone de las fuerzas que cada una de las demás partículas del sistema ejerce sobre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i} , más la resultante de las fuerzas externas aplicadas sobre ella

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf {F} _{i}=\mathbf {F} _{i\mathrm {ext} }+\mathbf {F} _{1\to i}+\mathbf {F} _{2\to i}+\cdots =\mathbf {F} _{i\mathrm {ext} }+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k\to i}}

Este sumatorio representa la suma sobre las partículas restantes, esto es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} va de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1} hasta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N} , excluyendo el caso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k=i} , ya que admitimos que una partícula no produce fuerza sobre sí misma (equivalentemente, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf {F} _{i\to i}=\mathbf {0} } ).

Suponemos que las interacciones entre las partículas obdecen la 3ª ley de Newton

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{F}_{k\to i} = -\mathbf{F}_{i\to k}}

o, lo que es lo mismo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{F}_{k\to i} +\mathbf{F}_{i\to k} = \mathbf{0}}

En la mayoría de los casos se cumplirá además que la fuerza que la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} ejerce sobre la Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i} (y por tanto la que la Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i} ejerce sobre la Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} ) va en la dirección de la recta que une ambas partículas. Matemáticamente, esto se expresa imponiendo que el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{F}_{k\to i}} es paralelo a la posición relativa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k} , esto es, si

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_k)\times\mathbf{F}_{k\to i} = \mathbf{0}}

Eliminando paréntesis y aplicando la tercera ley de Newton esto equivale a la condición

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Propiedades de un sistema de partículas

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Centro de masas

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Cantidad de movimiento

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Momento cinético

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Energía cinética

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Teoremas de conservación de un sistema de partículas

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Colisiones de dos partículas

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Consideremos dos partículas de masas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2} , con velocidades Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}_2} , aisladas de toda influencia exterior, de modo que las únicas fuerzas que pueden sufrir son las que se ejercen la una sobre la otra. Las velocidades de las partículas son tales que colisionan la una con la otra. Después del choque, las masas de las partículas son las mismas, pero sus velocidades son Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}'_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}'_2} .

Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento del sistema formado por las dos partículas será la suma de la cantidad de movimiento de cada una de ellas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{p} = \mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2 = m_1\mathbf{v}_1 + m_2\mathbf{v}_2 }

Derivando respecto al tiempo, tenemos que la variación de la cantidad de movimiento del sistema es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}= \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_1}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_2}{\mathrm{d}t} }

Usando la segunda ley de Newton tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_1}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F}_{2\to1} \qquad \qquad \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_2}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F}_{1\to2} }

Aquí, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{F}_{2\to1}} es la fuerza que la partícula 2 ejerce sobre la 1 y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{F}_{1\to2} } es la fuerza que la partícula 1 ejerce sobre la 2. Si las fuerzas cumplen la Tercera Ley de Newton se cumple que

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Entonces, para dos partículas aisladas que colisionan, la cantidad de movimiento del sistema se conserva

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F}_{2\to1} + \mathbf{F}_{1\to2}=\mathbf{0} \Rightarrow \mathbf{P}=\mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2=\mathbf{cte} }

Por tanto, si las velocidades antes del choque son Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}_1 } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}_2 } , y después del choque son Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}'_1 } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}'_2 } , se tiene

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1\mathbf{v}_1 + m_2\mathbf{v}_2 = m_1\mathbf{v}'_1 + m_2\mathbf{v}'_2 }

Energía cinética

A diferencia de la cantidad de movimiento, la energía cinética del sistema de dos partículas no se conservará en general, ya que las fuerzas internas pueden realizar trabajo y disipar energía (normalmente en forma de calor desprendido).

Cuando hay disipación de energía se dice que la colisión es inelástica. Para medir el grado de disipación se define el coeficiente de restitución

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K = \frac{|\mathbf{v}'_2-\mathbf{v}'_1|}{|\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1|}}

esto es, el cociente entre la velocidad con la que se alejan relativamente las dos masas, y la velocidad con la que se acercan.

Existen dos casos límite en las colisiones:

Colisión elástica

cuando no se disipa energía alguna y la energía cinética final es igual a la inicial. En este caso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K = 1} .

Colisión perfectamente inelástica

cuando las dos partículas se fusionan o empotran en la colisión y tras esta permanecen unidas solidariamente. En ese caso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K=0} y se disipa el máximo posible de energía cinética.

Problemas

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