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Teoremas de conservación de un sistema de partículas

De Laplace

Contenido

1 Introducción

La utilidad de las definiciones del centro de masa y las propiedades colectivas del sistema se pone de manifiesto cuando se estudia cómo varían en el tiempo y en qué casos son constantes de movimiento.

2 Conservación de la cantidad de movimiento

Supongamos un sistema de partículas sometidas a fuerzas externas y también interactuantes entre sí, cumpliendo las fuerzas internas la tercera ley de Newton. En este caso, la variación en el tiempo de la cantidad de movimiento total es

\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = m_1\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_1}{\mathrm{d}t}+ m_2\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_2}{\mathrm{d}t}+\cdots = \mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2 + \cdots

esto es, la derivada de la cantidad de movimiento es la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre las partículas del sistema. Esto es consecuencia directa de la definición, pero es poco útil pues requiere conocer también las fuerzas internas que son normalmente desconocidas. Por ello, descomponemos las fuerzas sobre cada partícula en suma de las externas y de las internas

\mathbf{F}_i = \mathbf{F}_{i\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{1\to i}+\mathbf{F}_{2\to i}+\cdots

y la derivada de la cantidad de movimiento queda

\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}=\left(\mathbf{F}_{1\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{2\to 1}+\mathbf{F}_{3\to 1}+\cdots\right)+\left(\mathbf{F}_{2\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{1\to 2}+\mathbf{F}_{3\to 2}+\cdots\right)+\left(\mathbf{F}_{3\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{1\to 3}+\mathbf{F}_{2\to 3}+\cdots\right)+\cdots

Pero, de acuerdo con la tercera ley de Newton

\mathbf{F}_{1\to 2}+\mathbf{F}_{2\to 1} = \mathbf{0}

y análogamente para el resto de pares de partículas. Por tanto, las fuerzas internas se cancelan dos a dos y queda la expresión mucho más útil

\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}= \mathbf{F}_{1\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{2\mathrm{ext}}+\cdots = \sum_i \mathbf{F}_{i\mathrm{ext}}

esto es:

  • la derivada de la cantidad de movimiento es igual a la resultante de las fuerzas externas aplicadas sobre el sistema.
  • En particular: En ausencia de fuerzas externas, la cantidad de movimiento de un sistema de partículas permanece constante.

En términos del centro de masas, la ley de evolución de la cantidad de movimiento se escribe

M\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_C}{\mathrm{d}t} = \sum_i \mathbf{F}_{i\mathrm{ext}}

es decir:

  • El centro de masas de un sistema de partículas se mueve como una sola partícula cuya masa fuera la total del sistema y que se ecnontrara sometida a la resultante de las fuerzas externas ejercidas sobre el sistema.
  • En particular, el centro de masas de un sistema de partículas sometidas exclusivamente a fuerzas internas permanece en reposo o en un estado de movimiento uniforme.

Consideremos el ejemplo siguiente: un proyectil se lanza desde un mortero. El proyectil describe (despreciando la resistencia del aire) una trayectoria parabólica. En cierto punto del vuelo el proyectil explota en multitud de fragmentos. El centro de masas de estos fragmentos continúa el movimiento parabólico inicial.

Este principio imposibilita que, por ejemplo, un grupo de aguerridos astronautas consiga desviar la trayectoria de un cometa simplemente colocando una bomba en él, ya que las fuerzas debidas a la bomba son puramente internas, y el centro de masas continuará su trayectoria inalterada, por mucho que se fragmente el asteroide.

3 Conservación del momento cinético

Derivando igualmente en la expresión del momento cinético de un sistema de partículas obtenemos

\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_1}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_2}{\mathrm{d}t} + \cdots

Para cada partícula la derivada del momento angular es el momento de las fuerzas aplicadas sobre ella:

\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(m_i\mathbf{r}_i\times\mathbf{v}_i\right) = m_i\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_i}{\mathrm{d}t}\times\mathbf{v}_i + m_i\mathbf{r}_i\times\frac{\mathrm{d}\mathbf{v_i}}{\mathrm{d}t} = m_i\overbrace{\mathbf{v}_i\times\mathbf{v}_i}^{=\mathbf{0}} + \mathbf{r}_i\times\left(m_i\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_i}{\mathrm{d}t}\right) = \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i

y, para el momento cinético total

\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}= \sum_{i=1}^N \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i

De nuevo, esta expresión requiere conocer las fuerzas internas del sistema, que son usualmente desconocidas. Por ello, descomponemos de nuevo en sumas de fuerzas externas e internas

\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}= \mathbf{r}_1\times\left(\mathbf{F}_{1\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{2\to 1}+\cdots\right) + \mathbf{r}_2\times\left(\mathbf{F}_{2\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{1\to 2}+\cdots\right)+ \cdots

Pero, según dijimos al principio del artículo, si las fuerzas internas entre dos partículas no solo cumplen la tercera ley de Newton, sino que además son centrales, esto es, van en la dirección de la recta que une las dos partículas se verifica

\mathbf{r}_1\times\mathbf{F}_{2\to 1}+\mathbf{r}_2\times\mathbf{F}_{1\to 2}=\mathbf{0}

Esta condición se cumple en la mayoría de los casos prácticos (fuerzas eléctricas o gravitatorias). En este caso, los momentos de las fuerzas internas se anulan dos a dos y queda

\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}= \sum_{i=1}^N \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_{i\mathrm{ext}}

En palabras:

  • La derivada del momento angular o cinético de un sistema de partículas es igual a la suma de los momentos de las fuerzas externas aplicadas sobre el sistema.
  • En particular, en un sistema de partículas sometido exclusivamente a fuerzas internas, el momento angular permanece constante.

4 Conservación de la energía cinética

Para la energía cinética no existe un teorema tan simple como para la cantidad de movimiento o el momento cinético. Operando del mismo modo que para estas dos cantidades, en sencillo probar que

\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t} = \sum_{i=1}^N \mathbf{v}_i\cdot\mathbf{F}_i

esto es, la derivada de la energía cinética es la potencia desarrollada por todas las fuerzas ejercidas en el sistema. Sin embargo, en este caso, no podemos eliminar las fuerzas internas de la ecuación. La razón es que las fuerzas internas sí pueden variar la energía cinética total.

Un ejemplo sencillo lo tenemos en las fuerzas de rozamiento entre dos partes de un sistema mecánico. La fricción (debida a fuerzas puramente internas) produce calor, que se manifiesta en un aumento de la temperatura del sistema, esto es, en un incremento de la energía cinética total.

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