Propiedades de un sistema de partículas

Definición de sistema de partículas

En mecánica consideramos un sistema de partículas como un conjunto de $N$ puntos materiales que se mueven por separado, si bien interactúan entre sí y están sometidos a fuerzas externas.

Cada una de las partículas del sistema posee una masa propia, $m_{i}$, siendo $i=1,\ldots ,N$ un índice que sirve para etiquetar individualmente cada una de las partículas. la partícula $i$ está caracterizada por una posición $\mathbf {r} _{i}$ y una velocidad $\mathbf {v} _{i}$. Esta posición y esta velocidad evolucionan de acurdo con las leyes de la dinámica

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{i}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {v} _{i}$    $m_{i}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{i}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} _{i}$    $i=1,\ldots ,N$

siendo $\mathbf {F} _{i}$ la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula $i$. Esta resultante se compone de las fuerzas que cada una de las demás partículas del sistema ejerce sobre $i$, más la resultante de las fuerzas externas aplicadas sobre ella

$\mathbf {F} _{i}=\mathbf {F} _{i\mathrm {ext} }+\mathbf {F} _{1\to i}+\mathbf {F} _{2\to i}+\cdots =\mathbf {F} _{i\mathrm {ext} }+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k\to i}$

Este sumatorio representa la suma sobre las partículas restantes, esto es $k$ va de $1$ hasta $N$, excluyendo el caso $k=i$, ya que admitimos que una partícula no produce fuerza sobre sí misma (equivalentemente, $\mathbf {F} _{i\to i}=\mathbf {0}$).

Suponemos que las interacciones entre las partículas obdecen la 3ª ley de Newton

$\mathbf {F} _{k\to i}=-\mathbf {F} _{i\to k}$

o, lo que es lo mismo

$\mathbf {F} _{k\to i}+\mathbf {F} _{i\to k}=\mathbf {0}$

En la mayoría de los casos se cumplirá además que la fuerza que la partícula $k$ ejerce sobre la $i$ (y por tanto la que la $i$ ejerce sobre la $k$) va en la dirección de la recta que une ambas partículas. Matemáticamente, esto se expresa imponiendo que el vector $\mathbf {F} _{k\to i}$ es paralelo a la posición relativa $\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{k}$, esto es, si

$(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{k})\times \mathbf {F} _{k\to i}=\mathbf {0}$

Eliminando paréntesis y aplicando la tercera ley de Newton esto equivale a la condición

$\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{k\to i}+\mathbf {r} _{k}\times \mathbf {F} _{i\to k}=\mathbf {0}$

Propiedades globales de un sistema

Un sistema de partículas puede contener 2 o 3 partículas, pero también muchos miles de millones de ellas (por ejemplo 1 cm³ de agua contiene $3\times 10^{22}$ moléculas, cada una de las cuales contiene 26 partículas, entre protones, neutrones y electrones). Por ello, en la mayoría de los casos no es posible estudiar un sistema de partículas a partir de la evolución de cada uno de las partículas que lo forman (entre otras cosas, porque desconocemos la posición y la velocidad exacta de cada una).

En su lugar, nos restringimos a considerarlas colectivamente, definiendo propiedades del conjunto, que cumplen sus propias leyes de evolución. Esta reducción es particularmente útil en el caso del sólido rígido, para el cual las magnitudes que vamos a definir a continuación son suficientes para determinar la evolución del sistema completo.

Masa total

La masa total del sistema es la suma de las masas de los partículas que lo componen

$M=m_{1}+m_{2}+\cdots =\sum _{i=1}^{N}m_{i}$

Densidad de masa

Cuando tenemos un sistema de muchos millones de partículas (como en un sólido, o un fluido), no es práctico hacer el sumatorio de las masas individuales. En su lugar se divide el sistema en elementos de volumen, $\Delta \tau$, que son regiones del espacio lo suficientemente pequeñas para tratarlas como diferenciales, pero lo suficientemente grandes como para que contengan miles de partículas. El sistema se considera entonces como continuo, esto es, en lugar de describirse como formado por partículas separadas, se considera constituido por elementos de volumen adyacentes.

Se define entonces la densidad de masa, $\rho$ de un elemento de volumen, como la masa de las partículas que lo forman, dividida por el volumen del elemento

$\rho ={\frac {1}{\Delta \tau }}\sum _{m_{i}\in \Delta \tau }m_{i}$

Dicho de otra forma, la masa de un elemento de volumen es el producto de la densidad de masa por el volumen del elemento

$\Delta m=\sum _{m_{i}\in \Delta \tau }m_{i}=\rho \,\Delta \tau$

La masa total del sistema será la suma de la masa de todos sus elementos

$M=\sum _{\forall \ \Delta m}\Delta m=\sum _{\forall \ \Delta \tau }\rho \,\mathrm {\Delta \tau }$

Una suma de muchas cantidades muy pequeñas no es otra cosa que una integral

$M=\int _{M}\mathrm {d} m=\int _{\tau }\rho \,\mathrm {d} \tau$

Aquí la densidad es una función de la posición porque en un sistema no homogéneo (por ejemplo, el cuerpo humano) la densidad varía de un punto a otro.

Centro de masas

El centro de masas (CM) de un sistema de partículas es una media ponderada, según la masa individual, de las posiciones de todas las partículas que lo componen

$\mathbf {r} _{C}={\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}+\cdots ...}{m_{1}++m_{2}+\cdots }}={\frac {\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {r} _{i}}{M}}$

Equivalentemente se cumple

$M\mathbf {r} _{C}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}$

En el caso de un sistema continuo, habrá que sumar para todos los elementos que lo componen

$\mathbf {r} _{C}={\frac {1}{M}}\int _{M}\mathbf {r} \,\mathrm {d} m={\frac {1}{M}}\int _{\tau }\mathbf {r} \,\rho \,\mathrm {d} \tau$

Velocidad del centro de masas

El centro de masas no es un punto fijo, sino que puede desplazarse cuando lo hacen las partículas del sistema. Obtenemos su velocidad derivando la definición respecto al tiempo

$\mathbf {v} _{C}={\frac {\mathrm {d} \mathrm {r} _{C}}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{M}}\left(m_{1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}}{\mathrm {d} t}}+m_{1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}}{\mathrm {d} t}}+\cdots \right)={\frac {m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots ...}{M}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {v} _{i}}{M}}$

Posición relativa al centro de masas

Una vez definida la posición del centro de masas, interesa indicar dónde están situadas las partículas respecto al CM. Esto se consigue definiendo la posición relativa

$\mathbf {r} '_{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{C}$

De manera análoga se define la velocidad relativa al CM

$\mathbf {v} '_{i}=\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{C}$

Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento (o momento lineal) del sistema es la suma de las cantidades de movimiento de cada una de las partículas

$\mathbf {p} =\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}+\cdots =m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots =\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {v} _{i}$

La cantidad de movimiento se relaciona directamente con el centro de masas del sistema. Derivando respecto al tiempo la relación

$M\mathbf {r} _{C}=m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}+\cdots$

obtenemos

$M{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{C}}{\mathrm {d} t}}=m_{1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}}{\mathrm {d} t}}+m_{2}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}}{\mathrm {d} t}}+\cdots =m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots =\mathbf {p}$

esto es

$\mathbf {p} =M\mathbf {v} _{C}$

En palabras: la cantidad de movimiento del sistema equivale a la que tendría una sola partícula material que concentrara toda la masa del sistema y que se moviera como el centro de masas de éste.

De la relación entre cantidad de movimiento y centro de masas se llega a que la cantidad de movimiento del sistema respecto al centro de masas es siempre nula

$\mathbf {p} '=m_{1}\mathbf {v} '_{1}+m_{2}\mathbf {v} '_{2}+\cdots =m_{1}(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{C})+m_{2}(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{C})+\cdots =$$(m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots )-(m_{1}+m_{2}+\cdots )\mathbf {v} _{C}=\mathbf {p} -M\mathbf {v} _{C}=\mathbf {0}$

Esto permite redefinir el centro de masas como aquel punto (variable) desde el cual la cantidad de movimiento del sistema es nula en todo momento. Cuando un sistema de partículas se estudia empleando este punto como origen del sistema de referencia se dice que se está estudiando desde el sistema centro de masas. Hay que señalar que, puesto que el centro de masas no se moverá en general de manera uniforme, el sistema centro de masas no es un sistema inercial.

Momento angular (o cinético)

De manera análoga a la cantidad de movimiento, se define el momento cinético (o angular) de un sistema de partículas como la suma vectorial de los momentos cinéticos individuales

$\mathbf {L} =\mathbf {L} _{1}+\mathbf {L} _{2}+\cdots =m_{1}\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {r} _{2}+\cdots =\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}$

Descomposición del momento angular

Las ecuaciones de la dinámica de sistemas se simplificarían notablemente si el momento angular, como el lineal, equivaliera al de una partícula puntual que concentrara toda la masa. No es así.

Para relacionar el momento angular con el centro de masa, descomponemos cada posición y cada velocidad en suma de la del centrode masa más la posición o velocidad relativas

$\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{C}+\mathbf {r} '_{i}\,$    $\mathbf {v} _{i}=\mathbf {v} _{C}+\mathbf {v} '_{i}\,$

Con esta descomposición, el momento angular de cada partícula se separa en cuatro términos

$\mathbf {L} _{i}=m_{i}(\mathbf {r} _{C}+\mathbf {r} '_{i})\times (\mathbf {v} _{C}+\mathbf {v} '_{i})=m_{i}\mathbf {r} _{C}\times \mathbf {v} _{C}+m_{i}\mathbf {r} '_{i}\times \mathbf {v} _{C}+m_{i}\mathbf {r} _{C}\times \mathbf {v} '_{i}+m_{i}\mathbf {r} '_{i}\times \mathbf {v} '_{i}$

Al sumar los momentos cinéticos individuales para obtener el momento angular total nos quedan cuatro sumas, en cada una de las cuales podemos sacar factor común la posición o la velocidad del CM, que es una cantidad que no depende del índice $i$

$\mathbf {L} =\mathbf {L} _{1}+\mathbf {L} _{2}+\cdots =\left(m_{1}+m_{2}+\cdots \right)\mathbf {r} _{C}\times \mathbf {v} _{C}+\left(m_{1}\mathbf {r} '_{1}+m_{2}\mathbf {r} '_{2}+\cdots \right)\times \mathbf {v} _{C}+$ $+\mathbf {r} _{C}\times \left(m_{1}\mathbf {v} '_{1}+m_{2}\mathbf {v} '_{2}+\cdots \right)+\left(m_{1}\mathbf {r} '_{1}\times \mathbf {v} '_{1}+m_{2}\mathbf {r} '_{2}\times \mathbf {v} '_{2}+\cdots \right)$

Ahora bien, de la definición de centro de masas se deduce que

$m_{1}\mathbf {r} '_{1}+m_{2}\mathbf {r} '_{2}+\cdots =m_{1}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{C})+m_{2}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{C})+\cdots =\left(m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}+\cdots \right)-\left(m_{1}+m_{2}+\cdots \right)\mathbf {r} _{C}=M\mathbf {r} _{C}-M\mathbf {r} _{C}=\mathbf {0}$

y, del mismo modo,

$m_{1}\mathbf {v} '_{1}+m_{2}\mathbf {v} '_{2}+\cdots =\mathbf {p} '=\mathbf {0}$

Por tanto, el segundo y el tercer término en la expresión del momento cinético total se anulan y la expresión se reduce a

$\mathbf {L} =M\mathbf {r} _{C}\times \mathbf {v} _{C}+\mathbf {L} '$

donde

$\mathbf {L} '=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {r} '_{i}\times \mathbf {v} '_{i}$

es el momento angular relativo al centro de masas.

Según esto, el momento angular o cinético de un sistema de partículas se compone de dos contribuciones: el momento angular que tendría una partícula que contuviera toda la masa y se moviera como el centro de masas del sistema, más el momento angular que tienen las partículas por moverse alrededor del centro de masas.

Un ejemplo físico sencillo de esta descomposición lo tenemos en el momento angular de la Tierra en cuanto planeta del Sistema Solar. Su momento angular se compone de una parte debida al movimiento de traslación alrededor del Sol (lo que se conoce como momento angular orbital), que sería el primer término, más otra parte debida al movimiento de rotación alrededor de su eje (el llamado momento angular intrínseco), que sería $\mathbf {L} '$.

Energía cinética

La energía cinética del sistema es la suma escalar de las energías cinéticas individuales

$K=K_{1}+K_{2}+\cdots ={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}+\cdots ={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}m_{i}v_{i}^{2}$

Descomposición de la energía cinética

Para la energía cinética podemos efectuar una descomposición análoga a la del momento cinético. Escribiendo cada velocidad como suma de la del CM más la relativa

$\mathbf {v} _{i}=\mathbf {v} _{C}+\mathbf {v} '_{i}$

queda, para la energía cinética individual,

$K_{i}={\frac {1}{2}}m_{i}(\mathbf {v} _{C}+\mathbf {v} '_{i})\cdot (\mathbf {v} _{C}+\mathbf {v} '_{i})={\frac {1}{2}}m_{i}v_{C}^{2}+mi\mathbf {v} _{C}\cdot \mathbf {v} '_{i}+{\frac {1}{2}}m_{i}{v'}_{i}^{2}$

y para la energía cinética total

$K={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2}+\cdots )v_{C}^{2}+\left(m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots \right)\cdot \mathbf {v} _{C}+\left({\frac {1}{2}}m_{1}{v'}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}{v'}_{2}^{2}+\cdots \right)$

El segundo término se anula por aparecer en él $\mathbf {p} '=\mathbf {0}$, lo que reduce la energía cinética a

$K={\frac {1}{2}}Mv_{C}^{2}+K'$

con

$K'={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}m_{i}{v'}_{i}^{2}$

la energía cinética del sistema relativa al centro de masas.

Esta descomposición se interpreta como que el sistema posee una energía cinética por el movimiento de traslación colectivo, más un término debido al movimiento sobre sí mismo. Esta energía cinética intrínseca, $K'$ es parte de la energía interna del sistema. Puede estar asociada a:

• un movimiento organizado. Por ejemplo, en la rotación de la Tierra alrededor de su eje.
• un movimiento desorganizado. Por ejemplo, en un gas que se encuentra a una cierta temperatura, el centro de masas puede estar estacionario y sin embargo el gas posee una energía cinética debido al movimiento de las moléculas que lo componen. Esta energía cinética es lo que llamamos agitación térmica.
• una combinación de ambos. Este es el caso general. La energía cinética del sistema parte se encuentra en movimientos macroscópicos (rotación o traslación de partes del sistema) y parte en movimientos microscópicos caóticos.

Por la presencia de estos términos microscópicos caóticos la energía cinética total del sistema es normalmente desconocida. En su lugar nos limitamos a la suma del término $Mv_{C}^{2}/2$ con la suma de las energías cinéticas debidas a los movimientos macroscópicos.