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Energía cinética de un sistema de partículas

De Laplace

Contenido

1 Definición

La energía cinética del sistema es la suma escalar de las energías cinéticas individuales

K = K_1+K_2+\cdots = \frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2 + \cdots = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^Nm_iv_i^2

2 Descomposición de la energía cinética

Para la energía cinética podemos efectuar una descomposición análoga a la del momento cinético. Escribiendo cada velocidad como suma de la del CM más la relativa

\mathbf{v}_i = \mathbf{v}_C+\mathbf{v}'_i

queda, para la energía cinética individual,

K_i = \frac{1}{2}m_i(\mathbf{v}_C+\mathbf{v}'_i)\cdot(\mathbf{v}_C+\mathbf{v}'_i) = \frac{1}{2}m_iv_C^2+m_i\mathbf{v}_C\cdot\mathbf{v}'_i+\frac{1}{2}m_i{v'_i}^2

y para la energía cinética total

K = \frac{1}{2}(m_1+m_2+\cdots)v_C^2+\left(m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2+\cdots\right)\cdot\mathbf{v}_C +\left(\frac{1}{2}m_1{v'_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v'_2}^2+\cdots\right)

El segundo término se anula por aparecer en él \mathbf{p}'=\mathbf{0}, lo que reduce la energía cinética a

K = \frac{1}{2}Mv_C^2 + K'

con

K' = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^N m_i {v'_i}^2

la energía cinética del sistema relativa al centro de masas.

Esta descomposición se interpreta como que el sistema posee una energía cinética por el movimiento de traslación colectivo, más un término debido al movimiento sobre sí mismo. Esta energía cinética intrínseca, K' es parte de la energía interna del sistema. Puede estar asociada a:

  • Un movimiento organizado. Por ejemplo, en la rotación de la Tierra alrededor de su eje.
  • Un movimiento desorganizado. Por ejemplo, en un gas que se encuentra a una cierta temperatura, el centro de masas puede estar estacionario y sin embargo el gas posee una energía cinética debido al movimiento de las moléculas que lo componen. Esta energía cinética es lo que llamamos agitación térmica.
  • Una combinación de ambos. Este es el caso general. La energía cinética del sistema parte se encuentra en movimientos macroscópicos (rotación o traslación de partes del sistema) y parte en movimientos microscópicos caóticos.

Por la presencia de estos términos microscópicos caóticos la energía cinética total del sistema es normalmente desconocida. En su lugar nos limitamos a la suma del término Mv_C^2/2 con la suma de las energías cinéticas debidas a los movimientos macroscópicos.

3 Conservación de la energía cinética

Para la energía cinética no existe un teorema tan simple como para la cantidad de movimiento o el momento cinético. Operando del mismo modo que para estas dos cantidades, en sencillo probar que

\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t} = \sum_{i=1}^N \mathbf{v}_i\cdot\mathbf{F}_i

esto es, la derivada de la energía cinética es la potencia desarrollada por todas las fuerzas ejercidas en el sistema. Sin embargo, en este caso, no podemos eliminar las fuerzas internas de la ecuación. La razón es que las fuerzas internas sí pueden variar la energía cinética total.

Un ejemplo sencillo lo tenemos en las fuerzas de rozamiento entre dos partes de un sistema mecánico. La fricción (debida a fuerzas puramente internas) produce calor, que se manifiesta en un aumento de la temperatura del sistema, esto es, en un incremento de la energía cinética total.

Dos casos particulares en que sí se conserva la energía cinética son:

Dinámica del sólido rígido
Un sólido rígido se caracteriza porque las distancias entre todas las partículas permanece constante en todo momento. En este caso las fuerzas internas no realizan trabajo y la variación de la energía cinética se debe exclusivamente a las fuerzas externas.
Colisiones elásticas
En las colisiones de dos partículas no se conserva la energía cinética de manera general. Sin embargo, en el caso de choques entre cuerpos rígidos puede aproximarse que la disipación de energía cinética es nula.

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