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Enunciado

El semiaro de la figura, de radio $R$ , está articulado en $O$ , de modo que rota alrededor de él. En el extremo $A$ del seimaro se encuentra conectada una barra $AP$ , de longitud $L$ , que es siempre tangente al semiaro en $A$ . El ángulo que forma la línea $OA$ con el eje $OX$ es $\theta (t)$ .

Escribe el vector de posición del punto $A$
Escribe el vector de posición del punto $P$
¿Cuál es el valor de $L$ para que los puntos $O$ , $B$ y $P$ estén alineados en todo instante?
La celeridad del punto $P$ es $|{\vec {v_{P}}}|=v_{0}$ , constante en el tiempo. Si en el instante inicial $\theta (0)=0$ , ¿cómo es la ley horaria $\theta (t)$ ?
Supongamos ahora que la ley horaria es de la forma $\theta (t)=\omega _{0}t$ , con $\omega _{0}$ constante. Escribe el vector tangente en el instante inicial.
¿Cómo es el radio de curvatura de la trayectoria del punto $P$ en todo instante?

Solución

Vectores de posición de los puntos $A$ y $P$

En la figura se indica donde aparece el ángulo $\theta$ . El vector de posición del punto $A$ es

${\overrightarrow {OA}}=2R\,\cos \theta \,{\vec {\imath }}+2R\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}$

Construimos el vector ${\overrightarrow {OP}}$ como la suma

${\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AP}}$

Del dibujo vemos que

${\overrightarrow {AP}}=L\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}-L\cos \theta \,{\vec {\jmath }}$

Por tanto el vector pedido es

${\overrightarrow {OP}}=(2R\cos \theta +L\,\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {\imath }}+(2R\mathrm {sen} \,\theta -L\cos \theta )\,{\vec {\jmath }}$

Condición para que $O$ , $B$ y $P$ estén siempre alineados

Para que esto ocurra debe cumplirse

${\overrightarrow {OB}}\parallel {\overrightarrow {OP}}$

El vector de posición del punto $B$ es ${\overrightarrow {OB}}={\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {CB}}$ . Tenemos

${\overrightarrow {OC}}=R\cos \theta \,{\vec {\imath }}+R\,\mathrm {sen} \theta \,{\vec {\jmath }}$

y

${\overrightarrow {CB}}=R\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}-R\cos \theta \,{\vec {\jmath }}$

Por tanto

${\overrightarrow {OB}}=(R\cos \theta +R\,\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {\imath }}+(R\,\mathrm {sen} \theta -R\cos \theta )\,{\vec {\jmath }}$

Para que los vectores ${\overrightarrow {OP}}$ y ${\overrightarrow {OB}}$ sean paralelos el ratio de sus componentes deben ser el mismo:

${\dfrac {2R\cos \theta +L\,\mathrm {sen} \,\theta }{R\cos \theta +R\,\mathrm {sen} \,\theta }}={\dfrac {2R\mathrm {sen} \,\theta -L\cos \theta }{R\,\mathrm {sen} \theta -R\cos \theta }}$

Esta condición también se puede obtener imponiendo la condición ${\overrightarrow {OB}}\times {\overrightarrow {OP}}={\vec {0}}$ . Aquí ya se puede ver que si $L=2R$ , los numeradores son el doble de los denominadores, con lo que se cumple la condición. Si esto se nos pasa, proseguimos multiplicando en aspa

$2R^{2}\,\mathrm {sen} \,\theta \cos \theta -2R^{2}\cos ^{2}\theta +LR\,\mathrm {sen} ^{2}\theta -LR\,\mathrm {sen} \,\theta \cos \theta =2R^{2}\,\mathrm {sen} \,\theta \cos \theta -LR\cos ^{2}\theta +2R^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}\theta -LR\,\mathrm {sen} \,\theta \cos \theta$

Los términos con productos de senos y cosenos se van. Agrupando los otros y usando que $\cos ^{2}\theta +\,\mathrm {sen} ^{2}\theta =1$ obtenemos

$LR=2R^{2}\Longrightarrow L=2R.$

Ley horaria $\theta (t)$

Ahora consideramos que el ángulo $\theta$ es una función del tiempo $\theta (t)$ . Derivamos el vector de posición ${\overrightarrow {OP}}$ respecto del tiempo utilizando la regla de la cadena

${\vec {v}}_{P}(t)={\dot {\overrightarrow {OP}}}={\dfrac {\mathrm {d} {\overrightarrow {OP}}}{\mathrm {d} \theta }}{\dfrac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\dot {\theta }}\,[(-2R\,\mathrm {sen} \,\theta +L\cos \theta )\,{\vec {\imath }}+(2R\cos \theta +L\,\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {\jmath }}\,]$

Calculamos el módulo de este vector

$|{\vec {v}}_{P}|={\dot {\theta }}{\sqrt {4R^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}\theta +L^{2}\cos ^{2}\theta -2LR\cos \theta \,\mathrm {sen} \,\theta +4R^{2}\cos ^{2}\theta +L^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}\theta +2LR\cos \theta \,\mathrm {sen} \,\theta }}={\dot {\theta }}{\sqrt {4R^{2}+L^{2}}}$

Igualamos este módulo a $v_{0}$ , con lo que obtenemos una ecuación diferencial para $\theta (t)$

$v_{0}={\dot {\theta }}{\sqrt {4R^{2}+L^{2}}}\Longrightarrow {\dfrac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\dfrac {v_{0}}{\sqrt {4R^{2}+L^{2}}}}$

Pasamos $\mathrm {d} t$ a la derecha e integramos, imponiendo las condiciones iniciales en los límites de la integral

$\int \limits _{0}^{\theta (t)}\mathrm {d} \theta =\int \limits _{0}^{t}{\dfrac {v_{0}}{\sqrt {4R^{2}+L^{2}}}}\,\mathrm {d} t$

y obtenemos

$\theta (t)={\dfrac {v_{0}}{\sqrt {4R^{2}+L^{2}}}}\,t$

Vector tangente en el instante inicial

El vector tangente puede calcularse a partir del vector velocidad

${\vec {T}}(t)={\dfrac {{\vec {v}}_{P}(t)}{|{\vec {v}}_{P}|}}$

Como nos lo piden en el instante inicial, usamos la condición inicial $\theta (0)=0$ para simplificar el vector velocidad

${\vec {v}}_{P}(0)={\dot {\theta }}(0)\,(L\,{\vec {\imath }}+2R\,{\vec {\jmath }})$

El módulo de este vector es

$|{\vec {v}}_{P}(0)|={\dot {\theta }}(0){\sqrt {L^{2}+4R^{2}}}$

Por tanto el vector tangente en $t=0$ es

${\vec {T}}(0)={\dfrac {1}{\sqrt {L^{2}+4R^{2}}}}\,\left(L\,{\vec {\imath }}+2R\,{\vec {\jmath }}\right)$

Radio de curvatura

La distancia del punto $P$ al punto $O$ es siempre la misma, el módulo del vector ${\overrightarrow {OP}}$ . Como además es una curva plana, pues está siempre en el plano $OXY$ , la trayectoria es una circunferencia. El radio de curvatura es siempre el mismo e igual al radio de la circunferencia:

$R_{\kappa }=|{\overrightarrow {OP}}|={\sqrt {L^{2}+4R^{2}}}$

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@@ Línea 1: / Línea 1: @@
+== Enunciado ==
+[[Imagen:Semiaro_barra_tangente_enunciado_PPC_2015.png|right]]
+El semiaro de la figura, de radio <math>R</math>, está articulado en <math>O</math>, de modo que rota alrededor de él. En el extremo <math>A</math> del seimaro se encuentra conectada una barra <math>AP</math>, de longitud <math>L</math>, que es siempre tangente al semiaro en <math>A</math>. El ángulo que forma la línea <math>OA</math> con el eje <math>OX</math> es <math>\theta(t)</math>.
+#Escribe el vector de posición del punto <math>A</math>
+#Escribe el vector de posición del punto <math>P</math>
+#¿Cuál es el valor de <math>L</math> para que los puntos <math>O</math>, <math>B</math> y <math>P</math> estén alineados en todo instante?
+#La celeridad del punto <math>P</math> es <math>|\vec{v_P}|=v_0</math>, constante en el tiempo.  Si en el instante inicial <math>\theta(0)=0</math>, ¿cómo es la ley horaria <math>\theta(t)</math>?
+#Supongamos ahora  que la ley horaria es de la forma <math>\theta(t)=\omega_0t</math>, con <math>\omega_0</math> constante. Escribe el vector tangente en el instante inicial.
+#¿Cómo es el radio de curvatura de la trayectoria del punto <math>P</math> en todo instante?
+== Solución ==
+=== Vectores de posición de los puntos <math>A </math> y <math>P </math>===
+[[Imagen:Semiaro_barra_tangente_vectores_PPC_2015.png|right]]
+En la figura se indica donde aparece el ángulo <math>\theta </math>. El vector de posición del punto <math>A </math> es
+<center>
+<math>
+\overrightarrow{OA} = 2R\,\cos\theta\,\vec{\imath} + 2R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}
+</math>
+</center>
+Construimos el vector <math>\overrightarrow{OP} </math> como la suma
+<center>
+<math>
+\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP}
+</math>
+</center>
+Del dibujo vemos que
+<center>
+<math>
+\overrightarrow{AP} = L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} - L\cos\theta\,\vec{\jmath}
+</math>
+</center>
+Por tanto el vector pedido es
+<center>
+<math>
+\overrightarrow{OP} = (2R\cos\theta + L\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath} + (2R\mathrm{sen}\,\theta - L\cos\theta)\,\vec{\jmath}
+</math>
+</center>
+=== Condición para que <math>O </math>, <math>B </math> y <math>P </math> estén siempre alineados ===
+Para que esto ocurra debe cumplirse
+<center>
+<math>
+\overrightarrow{OB}\parallel \overrightarrow{OP}
+</math>
+</center>
+El vector de posición del punto <math>B </math> es <math>\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CB} </math>. Tenemos
+<center>
+<math>
+\overrightarrow{OC} = R\cos\theta\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\theta\,\vec{\jmath}
+</math>
+</center>
+y
+<center>
+<math>
+\overrightarrow{CB} = R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} - R\cos\theta\,\vec{\jmath}
+</math>
+</center>
+Por tanto
+<center>
+<math>
+\overrightarrow{OB} = (R\cos\theta + R\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath} + (R\,\mathrm{sen}\theta - R\cos\theta)\,\vec{\jmath}
+</math>
+</center>
+Para que los vectores <math>\overrightarrow{OP} </math> y <math>\overrightarrow{OB} </math> sean paralelos el ratio de sus componentes deben ser el mismo:
+<center>
+<math>
+\dfrac{2R\cos\theta + L\,\mathrm{sen}\,\theta}{R\cos\theta + R\,\mathrm{sen}\,\theta}
+=
+\dfrac{2R\mathrm{sen}\,\theta - L\cos\theta}{R\,\mathrm{sen}\theta - R\cos\theta}
+</math>
+</center>
+Esta condición también se puede obtener imponiendo la condición <math>\overrightarrow{OB}\times\overrightarrow{OP}=\vec{0} </math>.
+Aquí ya se puede ver que si <math>L=2R </math>, los numeradores son el doble de los denominadores, con lo que se cumple la condición. Si esto se nos pasa, proseguimos
+multiplicando en aspa
+<center>
+<math>
+R^2\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta - 2R^2\cos^2\theta + LR\,\mathrm{sen}^2\theta - LR\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta = 2R^2\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta - LR\cos^2\theta + 2R^2\,\mathrm{sen}^2\theta - LR\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta
+</math>
+</center>
+Los términos con productos de senos y cosenos se van. Agrupando los otros y usando que <math>\cos^2\theta +\,\mathrm{sen}^2\theta=1</math> obtenemos
+<center>
+<math>
+LR = 2R^2 \Longrightarrow L = 2R.
+</math>
+</center>
+=== Ley horaria <math>\theta(t) </math>===
+Ahora consideramos que el ángulo <math>\theta </math> es una función del tiempo <math>\theta(t) </math>. Derivamos el vector de posición <math>\overrightarrow{OP} </math> respecto del tiempo utilizando la regla de la cadena
+<center>
+<math>
+\vec{v}_P(t) = \dot{\overrightarrow{OP}}
+=
+\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OP}}{\mathrm{d}\theta}\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}
+=
+\dot{\theta}\,[(-2R\,\mathrm{sen}\,\theta+L\cos\theta)\,\vec{\imath} + (2R\cos\theta + L\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\jmath}\,]
+</math>
+</center>
+Calculamos el módulo de este vector
+<center>
+<math>
+|\vec{v}_P| = \dot{\theta} \sqrt{4R^2\,\mathrm{sen}^2\theta + L^2\cos^2\theta - 2LR\cos\theta\,\mathrm{sen}\,\theta + 4R^2\cos^2\theta + L^2\,\mathrm{sen}^2\theta + 2LR\cos\theta\,\mathrm{sen}\,\theta}
+=
+\dot{\theta}\sqrt{4R^2+L^2}
+</math>
+</center>
+Igualamos este módulo a <math>v_0 </math>, con lo que obtenemos una ecuación diferencial para <math>\theta(t) </math>
+<center>
+<math>
+v_0 = \dot{\theta}\sqrt{4R^2+L^2}
+\Longrightarrow
+\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \dfrac{v_0}{\sqrt{4R^2+L^2}}
+</math>
+</center>
+Pasamos <math>\mathrm{d}t </math> a la derecha e integramos, imponiendo las condiciones iniciales en los límites de la integral
+<center>
+<math>
+\int\limits_0^{\theta(t)}\mathrm{d}\theta = \int\limits_0^t\dfrac{v_0}{\sqrt{4R^2+L^2}}
+\,\mathrm{d}t
+</math>
+</center>
+y obtenemos
+<center>
+<math>
+\theta(t) = \dfrac{v_0}{\sqrt{4R^2+L^2}}\,t
+</math>
+</center>
+=== Vector tangente en el instante inicial ===
+El vector tangente puede calcularse a partir del vector velocidad
+<center>
+<math>
+\vec{T}(t) = \dfrac{\vec{v}_P(t)}{|\vec{v}_P|}
+</math>
+</center>
+Como nos lo piden en el instante inicial, usamos la condición inicial <math>\theta(0)=0 </math> para simplificar el vector velocidad
+<center>
+<math>
+\vec{v}_P(0) = \dot{\theta}(0)\,( L\,\vec{\imath} + 2R\,\vec{\jmath})
+</math>
+</center>
+El módulo de este vector es
+<center>
+<math>
+|\vec{v}_P(0)| = \dot{\theta}(0)\sqrt{L^2+4R^2}
+</math>
+</center>
+Por tanto el vector tangente en <math>t=0 </math> es
+<center>
+<math>
+\vec{T}(0) = \dfrac{1}{\sqrt{L^2+4R^2}}\,\left(L\,\vec{\imath} + 2R\,\vec{\jmath}\right)
+</math>
+</center>
+=== Radio de curvatura ===
+La distancia del punto <math>P </math> al punto <math>O </math> es siempre la misma, el módulo del vector <math>\overrightarrow{OP} </math>. Como además es una curva plana, pues está siempre en el plano <math>OXY </math>, la trayectoria es una circunferencia. El radio de curvatura es siempre el mismo e igual al radio de la circunferencia:
+<center>
+<math>
+R_{\kappa} = |\overrightarrow{OP}| = \sqrt{L^2 + 4R^2}
+</math>
+</center>
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