Partícula sobre plano inclinado con dos muelles, Noviembre 2015 (G.I.C.)

Enunciado

Una masa $m$ está obligada a permanecer sobre un plano horizontal que forma un ángulo $\pi /4$ con la horizontal. La masa está conectada a dos muelles con longitud natural nula y constante elástica $k$, anclados en los puntos $A$ y $B$ de la figura. El punto $A$ desliza sobre el eje $OX$ de modo que el muelle anclado en él permanece vertical en todo instante. El sistema está diseñado de modo que $mg=kL/{\sqrt {2}}$.

1. Encuentra la expresión vectorial de las fuerzas que ejercen los muelles, expresadas en los ejes de la figura
2. Suponiendo que todos los contactos son lisos, calcula la posición de equilibrio $d_{0}$
3. Añadimos ahora rozamiento entre la partícula y el plano. Dada una posición $d_{m}$, ¿cuánto vale el módulo de la fuerza de rozamiento?
4. Si el coeficiente de rozamiento estático es $\mu$, ¿cuál es el rango de posiciones posibles de equilibrio de la partícula?

Solución

Fuerzas de los muelles

Son dos muelles con longitud natural nula, por lo que las expresiones vectoriales de las fuerzas son

${\vec {F}}_{A}=-k{\overrightarrow {AP}},\qquad {\vec {F}}_{B}=-k{\overrightarrow {BP}}.$

Vamos a construir los vectores que aparecen. Observando la figura vemos que

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {OP}}=d\cos(\pi /4)\,{\vec {\imath }}+d\,\mathrm {sen} \,(\pi /4)\,{\vec {\jmath }}={\dfrac {d}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {d}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\jmath }}\\\\{\overrightarrow {OA}}=d\cos(\pi /4)\,{\vec {\imath }}={\dfrac {d}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\imath }}\\\\{\overrightarrow {OB}}=L\cos(\pi /4)\,{\vec {\imath }}+L\,\mathrm {sen} \,(\pi /4)\,{\vec {\jmath }}={\dfrac {L}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {L}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\jmath }}\end{array}}$

Entonces

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {OP}}-{\overrightarrow {OA}}={\dfrac {d}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\jmath }}\\\\{\overrightarrow {BP}}=(d-L)\,\left({\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\jmath }}\right)\end{array}}$

Y las fuerzas son

${\begin{array}{l}{\vec {F}}_{A}=-k{\overrightarrow {AP}}=-{\dfrac {kd}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {F}}_{B}=k(L-d)\,\left({\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\jmath }}\right)\end{array}}$

Posición de equilibrio con contactos lisos

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la partícula cuando el vínculo es liso: las dos fuerzas de los muelles, el peso y la fuerza de ligadura del plano inclinado, perpendicular a él. Expresamos estas fuerzas en los ejes indicados

${\begin{array}{l}{\vec {F}}_{A}=-k{\overrightarrow {AP}}=-{\dfrac {kd}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {F}}_{B}=k(L-d)\,\left({\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\jmath }}\right)\\\\{\vec {P}}=-mg\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {N}}=-{\dfrac {N}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {N}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\jmath }}\end{array}}$

La condición de equilibrio es que la suma total de fuerzas sea nula:

${\vec {F}}_{A}+{\vec {F}}_{B}+{\vec {P}}+{\vec {N}}={\vec {0}}$

Esta ecuación vectorial nos proporciona dos ecuaciones escalares, una por cada componente:

${\begin{array}{lcl}(X)&\to &{\dfrac {k(L-d_{0})}{\sqrt {2}}}-{\dfrac {N}{\sqrt {2}}}=0\\\\(Y)&\to &-{\dfrac {kd_{0}}{\sqrt {2}}}+{\dfrac {k(L-d_{0})}{\sqrt {2}}}-mg+{\dfrac {N}{\sqrt {2}}}=0\end{array}}$

Tenemos dos incógnitas: $d_{0}$ y $N$. Restando las dos ecuaciones eliminamos $N$ y obtenemos una ecuación para $d_{0}$. Utilizando que, según el enunciado, $mg=kL/{\sqrt {2}}$, nos queda

$d_{0}=L/3$

La componente de la fuerza normal se obtiene ahora de la primera ecuación

$N=2KL/3$

Inclusión de rozamiento

Al incluir el rozamiento entre la partícula y el plano, hemos de añadir otra fuerza tangente al plano, como se indica en la figura. La expresión de esta fuerza en los ejes es

${\vec {F}}_{R}={\dfrac {f}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {f}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\jmath }}$

La condición de equilibrio ahora es

${\vec {F}}_{A}+{\vec {F}}_{B}+{\vec {P}}+{\vec {N}}+{\vec {F}}_{R}={\vec {0}}$

De nuevo obtenemos dos ecuaciones escalares, una por componente

${\begin{array}{lcl}(X)&\to &{\dfrac {k(L-d)}{\sqrt {2}}}-{\dfrac {N}{\sqrt {2}}}+{\dfrac {f}{\sqrt {2}}}=0\\\\(Y)&\to &-{\dfrac {kd}{\sqrt {2}}}+{\dfrac {k(L-d)}{\sqrt {2}}}-mg+{\dfrac {N}{\sqrt {2}}}+{\dfrac {f}{\sqrt {2}}}=0\end{array}}$

Ahora tenemos tres incógnitas, a saber, $d$, $N$ y $f$. Pero sólo tenemos dos ecuaciones. Esto se debe a que, al incluir el rozamiento, hay varias posiciones posibles de equilibro, por lo que el sistema de ecuaciones no tiene solución única. Sin embargo, para una posición fijada $d_{m}$, si podemos averiguar las componentes, y por tanto los módulos, de las fuerzas de ligadura y de rozamiento. Si $d=d_{m}$ es un dato, restamos las dos ecuaciones para eliminar $N$. De este modo obtenemos

$f={\dfrac {k}{2}}\,(3d_{m}-L)$

y para $N$ tenemos

$N={\dfrac {k}{2}}\,(L+d_{m})$

Los vectores correspondientes son

${\begin{array}{l}{\vec {N}}={\dfrac {k(L+d_{m})}{2{\sqrt {2}}}}\,(-{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }})\\\\{\vec {F}}_{R}={\dfrac {k(3d_{m}-L)}{2{\sqrt {2}}}}\,({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }})\end{array}}$

Ahora podemos averiguar el intervalo de posiciones posibles de equilibro. Dada una posición $d_{m}$, para que el equilibrio sea posible debe cumplirse

$|{\vec {F}}_{R}|\leq \mu |{\vec {N}}|$

siendo $\mu$ el coeficiente de rozamiento estático. Los módulos son

${\begin{array}{l}|{\vec {N}}|={\dfrac {k(L+d_{m})}{2}}\\\\|{\vec {F}}_{R}|={\dfrac {k}{2}}\,|3d_{m}-L|\end{array}}$

Hemos de tratar con cuidado el módulo de la fuerza de rozamiento. La expresión dentro del valor absoluto puede ser positiva o negativa, según los valores relativos de $d_{m}$ y $L$. Consideramos dos situaciones

$3d_{m}>L\Longrightarrow |{\vec {F}}_{R}|={\dfrac {k}{2}}(3d_{m}-L)$

En este caso para que la posición pueda ser de equilibrio debe cumplirse

${\dfrac {k}{2}}(3d_{m}-L)\leq \mu {\dfrac {k(L+d_{m})}{2}}$

De aquí obtenemos una condición de máximo para $d_{m}$

$d_{m}\leq {\dfrac {1+\mu }{3-\mu }}\,L$

La otra situación ocurre cuando

$3d_{m}<L\Longrightarrow |{\vec {F}}_{R}|=-{\dfrac {k}{2}}(3d_{m}-L)={\dfrac {k}{2}}(L-3d_{m})$

Ahora la condición de equilibrio se traduce en

${\dfrac {k}{2}}(L-3d_{m})\leq \mu {\dfrac {k(L+d_{m})}{2}}$

Y obtenemos una condición de mínimo para $d_{m}$

$d_{m}\geq {\dfrac {1-\mu }{3+\mu }}\,L$

Entonces, para que una posición $d_{m}$ pueda ser de equilibrio, debe cumplirse la condición

$d_{m}\in \left[{\dfrac {1-\mu }{3+\mu }}\,L,{\dfrac {1+\mu }{3-\mu }}\,L\right]$

Físicamente, el hecho de tener que considerar dos situaciones para el módulo de la fuerza de rozamiento corresponde a que el sentido de la fuerza de rozamiento no está determinado a priori. Si el muelle de arriba domina la fuerza de rozamiento apunta en el sentido negativo del eje $X$. Si dominan el peso y el muelle de abajo, la fuerza de rozamiento apunta hacia el sentido positivo del eje $X$.