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Enunciado

Una barra de longitud $L$ se mueve de modo que su extremo $A$ se desplaza sobre el eje $OY$ con velocidad uniforme $v_{0}$ y el ángulo que forma la barra con el eje $OX$ es $\theta =\omega _{0}t$ . En el instante inicial el punto $A$ estaba en el origen y la barra estaba horizontal, es decir $\theta (0)=0$ .

Escribe la expresión que da el vector de posición del punto $B$ .
Encuentra la aceleración del punto $B$ .
Si se cumple $L\omega _{0}={\sqrt {3}}v_{0}$ , ¿cuánto vale la aceleración tangencial del punto $B$ en el instante $t=\pi /2\omega _{0}$ ?
En ese mismo instante, y con el mismo valor de $L\omega _{0}$ , cuánto vale la curvatura de la trayectoria del punto $B$ ?

Solución

Vector de posición del punto $B$

El vector de posición del punto $B$ puede escribirse como

${\overrightarrow {OB}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AB}}.$

El punto $A$ se mueve sobre el eje $OY$ con velocidad uniforme. Si en el instante inicial estaba en el origen tenemos

${\overrightarrow {OA}}=v_{0}t\,{\vec {\jmath }}.$

El otro vector es

${\overrightarrow {AB}}=L\cos \theta \,{\vec {\imath }}+L\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }},$

donde, según el enunciado, tenemos $\theta =\omega _{0}t$ . Por tanto, el vector pedido es

${\overrightarrow {OB}}=L\cos \theta \,{\vec {\imath }}+(v_{0}t+L\,\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {\jmath }}.$

Aceleración del punto $B$

La velocidad del punto $B$ es

${\vec {v}}_{B}={\dfrac {\mathrm {d} {\overrightarrow {OB}}}{\mathrm {d} t}}=-L{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}+(v_{0}+L{\dot {\theta }}\cos \theta )\,{\vec {\jmath }}=-L\omega _{0}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}+(v_{0}+L\omega _{0}\cos \theta )\,{\vec {\jmath }}.$

Hemos usado ${\dot {\theta }}=\omega _{0}$ . Derivamos otra vez respecto al tiempo para obtener la aceleración

${\vec {a}}_{B}={\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{B}}{\mathrm {d} t}}=-L\omega _{0}{\dot {\theta }}\cos \theta \,{\vec {\imath }}-L\omega _{0}{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}=-L\omega _{0}^{2}\cos \theta \,{\vec {\imath }}-L\omega _{0}^{2}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}$

Aceleración tangencial y curvatura

En el instante indicado, $t=\pi /2\omega _{0}$ , tenemos

$\theta (\pi /2\omega _{0})=\pi /2.$

La velocidad y la aceleración en ese instante son

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{B}=-L\omega _{0}\,{\vec {\imath }}+v_{0}\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {a}}_{B}=-L\omega _{0}^{2}\,{\vec {\jmath }}.\end{array}}$

El enunciado dice que consideremos la situación en que se cumple $L\omega _{0}={\sqrt {3}}v_{0}$ . Entonces

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{B}=-{\sqrt {3}}v_{0}\,{\vec {\imath }}+v_{0}\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {a}}_{B}=-{\sqrt {3}}v_{0}\omega _{0}\,{\vec {\jmath }}.\end{array}}$

El módulo de la velocidad es

$|{\vec {v}}_{B}|={\sqrt {3v_{0}^{2}+v_{0}^{2}}}=2v_{0}.$

La aceleración tangencial es

$a_{T}={\dfrac {{\vec {a}}_{B}\cdot {\vec {v}}_{B}}{|{\vec {v}}_{B}|}}={\dfrac {-{\sqrt {3}}v_{0}^{2}\omega _{0}}{2v_{0}}}=-{\dfrac {{\sqrt {3}}v_{0}\omega _{0}}{2}}.$

La aceleración normal en ese instante es

$a_{N}={\sqrt {|{\vec {a}}_{B}|^{2}-a_{T}^{2}}}={\dfrac {3}{2}}v_{0}\omega _{0}.$

Por lo que la curvatura es

$\kappa ={\dfrac {a_{N}}{|{\vec {v}}_{B}|^{2}}}={\dfrac {3\omega _{0}}{8v_{0}}}.$

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@@ Línea 1: / Línea 1: @@
+= Enunciado =
+[[Archivo:F1GIC-barra-rotando-enunciado.png|right|250px]]
+Una barra de longitud <math>L</math> se mueve de modo que su extremo <math>A</math> se desplaza sobre el eje <math>OY</math> con velocidad uniforme <math>v_0</math> y el ángulo que forma la barra con
+el eje <math>OX</math> es <math>\theta=\omega_0 t</math>. En el instante inicial el punto <math>A</math> estaba en el origen y la barra estaba horizontal, es decir <math>\theta(0)=0</math>.
+# Escribe la expresión que da el vector de posición del punto <math>B</math>.
+# Encuentra la aceleración del punto <math>B</math>.
+#Si se cumple <math>L\omega_0=\sqrt{3}v_0</math>,  ¿cuánto vale la aceleración tangencial del punto <math>B</math> en el instante <math>t=\pi/2\omega_0</math>?
+#En ese mismo instante, y con el mismo valor de <math>L\omega_0</math>,  cuánto vale la curvatura de la trayectoria del punto <math>B</math>?
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+== Vector de posición del punto <math>B</math> ==
+El vector de posición del punto <math>B</math> puede escribirse como
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+</center>
+El punto <math>A</math> se mueve sobre el eje <math>OY</math> con velocidad uniforme. Si en el instante inicial estaba en el origen tenemos
+<center>
+<math>
+\overrightarrow{OA} = v_0t\,\vec{\jmath}.
+</math>
+</center>
+El otro vector es
+<center>
+<math>
+\overrightarrow{AB} = L\cos\theta\,\vec{\imath} + L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath},
+</math>
+</center>
+donde, según el enunciado, tenemos <math>\theta=\omega_0 t</math>. Por tanto, el vector pedido es
+<center>
+<math>
+\overrightarrow{OB} = L\cos\theta\,\vec{\imath} + (v_0t + L\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\jmath}.
+</math>
+</center>
+== Aceleración del punto <math>B</math> ==
+La velocidad del punto <math>B</math> es
+<center>
+<math>
+\vec{v}_B = \dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OB}}{\mathrm{d}t} =
+-L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + (v_0 + L\dot{\theta}\cos\theta)\,\vec{\jmath}
+=
+-L\omega_0\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + (v_0 + L\omega_0\cos\theta)\,\vec{\jmath}.
+</math>
+</center>
+Hemos usado <math>\dot{\theta}=\omega_0</math>. Derivamos otra vez respecto al tiempo para obtener la
+aceleración
+<center>
+<math>
+\vec{a}_B = \dfrac{\mathrm{d}\vec{v}_B}{\mathrm{d}t} =
+-L\omega_0\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\imath} - L\omega_0\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}
+=
+-L\omega_0^2\cos\theta\,\vec{\imath} - L\omega_0^2\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}
+</math>
+</center>
+== Aceleración tangencial y curvatura ==
+En el instante indicado, <math>t=\pi/2\omega_0</math>, tenemos
+<center>
+<math>
+\theta(\pi/2\omega_0) = \pi/2.
+</math>
+</center>
+La velocidad y la aceleración en ese instante son
+<center>
+<math>
+\begin{array}{l}
+\vec{v}_B = -L\omega_0\,\vec{\imath} + v_0\,\vec{\jmath},\\
+\vec{a}_B = -L\omega_0^2\,\vec{\jmath}.
+\end{array}
+</math>
+</center>
+El enunciado dice que consideremos la situación en que se cumple <math>L\omega_0=\sqrt{3}v_0</math>. Entonces
+<center>
+<math>
+\begin{array}{l}
+\vec{v}_B = -\sqrt{3}v_0\,\vec{\imath} + v_0\,\vec{\jmath},\\
+\vec{a}_B = -\sqrt{3}v_0\omega_0\,\vec{\jmath}.
+\end{array}
+</math>
+</center>
+El módulo de la velocidad es
+<center>
+<math>
+|\vec{v}_B| = \sqrt{3v_0^2 + v_0^2} = 2v_0.
+</math>
+</center>
+La aceleración tangencial es
+<center>
+<math>
+a_T = \dfrac{\vec{a}_B\cdot\vec{v}_B}{|\vec{v}_B|} = \dfrac{-\sqrt{3}v_0^2\omega_0}{2v_0} =
+-\dfrac{\sqrt{3}v_0\omega_0}{2}.
+</math>
+</center>
+La aceleración normal en ese instante es
+<center>
+<math>
+a_N = \sqrt{|\vec{a}_B|^2-a_T^2} = \dfrac{3}{2}v_0\omega_0.
+</math>
+</center>
+Por lo que la curvatura es
+<center>
+<math>
+\kappa = \dfrac{a_N}{|\vec{v}_B|^2} = \dfrac{3\omega_0}{8v_0}.
+</math>
+</center>
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