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Masa en plano inclinado con muelle (Nov. 2018 G.I.C.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una masa m está conectada a un muelle de constante elástica k y longitud natural nula. La masa puede deslizarse por un plano inclinado como se indica en la figura. El muelle se mantiene siem- pre paralelo a la superficie del plano inclinado. La gravedad actúa como se indica en el dibujo.

  1. Si el contacto entre la masa y el plano es liso, ¿para que valor de x la masa está en equilibrio?
  2. Teniendo en cuenta ahora el rozamiento y suponiendo que mg=\sqrt{2}kL, ¿cuál es el rango de posiciones de equilibrio?

2 Solución

2.1 Fuerzas sobre la masa

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la masa: su peso, la fuerza del muelle, la normal del plano y la fuerza de rozamiento. El sentido de todas es conocido, salvo la de rozamiento. La expresión de estas fuerzas es


\begin{array}{l}
\vec{P} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}mg\,\vec{\imath} -\dfrac{1}{\sqrt{2}}mg\,\vec{\jmath},\\
\\
\vec{F}_k = -k\overrightarrow{OA} = -kx\,\vec{\imath},\\
\\
\vec{N} = N\,\vec{\jmath},\\
\\
\vec{F}_R = f\,\vec{\imath}.
\end{array}

Como el vínculo impuesto por el plano inclinado es bilateral debe cumplirse N > 0.

2.2 Equilibrio sin rozamiento

Si suponemos que no hay rozamiento la condición de equilibrio es


\vec{P} + \vec{F}_k + \vec{N}=\vec{0}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lclcl}
X) & \to & \dfrac{1}{\sqrt{2}}mg - kx = 0 & \to & x = \dfrac{mg}{\sqrt{2}k},\\
\\
Y) & \to & -\dfrac{1}{\sqrt{2}}mg + N = 0 & \to & N = \dfrac{1}{\sqrt{2}}mg.
\end{array}
\right.

2.3 Equilibrio con rozamiento

Si suponemos que ahora hay rozamiento, y ademas imponemos que mg=\sqrt{2}kL, la condición de equilibrio es


\vec{P} + \vec{F}_k + \vec{N} + \vec{F}_R=\vec{0}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lcl}
X) & \to & kL - kx + f = 0,,
\\
Y) & \to & -kL + N = 0.
\end{array}
\right.

De la primera expresión obtenemos que, para que haya equilibrio, la fuerza de rozamiento y la fuerza normal del plano deben valer


\vec{N} = kL\,\vec{\jmath},
\qquad\qquad
\vec{F}_R = k(x-L)\,\vec{\imath}.

Para que el equilibrio sea posible el módulo de la fuerza de rozamiento debe ser menor que el valor máximo posible


|\vec{F}_R| \leq \mu |\vec{N}|,

siendo μ el coeficiente de rozamiento estático. Hemos de considerar dos situaciones

x > L

En este caso el módulo de la fuerza de rozamiento es


|\vec{F}_R| = k|x-L| = k(x-L) \leq \mu kL 
\Longrightarrow
x\leq L\,(1+\mu).

x < L

En este caso el módulo de la fuerza de rozamiento es


|\vec{F}_R| = k|x-L| = k(L-x) \leq \mu kL 
\Longrightarrow
x\geq L\,(1-\mu).

Por tanto, para que el equilibrio sea posible debe ocurrir


x\in [L(1-\mu), \, L(1+\mu)].

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