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| ==Enunciado==
| | F1-GIC-2021-22-SPC-Fuerzas |
| [[Archivo:2-hilos-tensos.png|right]]
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| Una partícula <math>P\,</math>, de masa <math>m\,</math>, describe con celeridad constante una circunferencia horizontal de radio <math>R\,</math> y centro en <math>O\,</math>. La partícula realiza dicho movimiento circular y uniforme bajo la acción de su propio peso (<math>m\vec{g}\,</math>) y de las dos fuerzas (<math>\vec{\Phi}_{A}\,</math> y <math>\vec{\Phi}_{B}\,</math>) que le ejercen,
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| respectivamente, sendos hilos tensos de idéntica longitud y anclados en los puntos <math>A\,</math> y <math>B\,</math> del eje <math>OZ\,</math> (puntos equidistantes del punto <math>O\,</math>).
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| Sea <math>\theta\,</math> el ángulo que forma cada uno de los dos hilos con el plano horizontal durante el movimiento de <math>P\,</math> (ver figura).
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| Se sabe que el módulo de la fuerza ejercida por el hilo superior (el anclado en <math>B\,</math>) es el cuádruple del módulo de la fuerza ejercida por el hilo inferior (el anclado en <math>A\,</math>):
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| <center><math>
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| |\vec{\Phi}_{B}|=4\,|\vec{\Phi}_{A}|
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| </math></center>
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| Se pide:
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| # El módulo <math>|\vec{\Phi}_{A}|\,</math> de la fuerza ejercida por el hilo inferior.
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| # El módulo <math>|\,\vec{\omega}\,|\,</math> de la velocidad angular de la partícula <math>P\,</math>.
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| ==Solución==
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| [[Archivo:2-hilos-tensos-sol.png|right]]
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| La partícula <math>P\,</math> describe una circunferencia de radio <math>R\,</math> bajo la acción de tres fuerzas: su peso <math>m\vec{g}\,</math>, la tensión <math>\vec{\Phi}_{A}\,</math> del hilo inferior y la tensión <math>\vec{\Phi}_{B}\,</math> del hilo superior. Utilizaremos el triedro intrínseco <math>\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\}\,</math> de la circunferencia para expresar las magnitudes vectoriales.
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| El peso es una fuerza activa y, como tal, es conocida a priori:
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| <center><math>
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| m\vec{g}=-mg\,\vec{B}
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| </math></center>
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| Sin embargo, las tensiones de los hilos son fuerzas de reacción vincular, de módulos respectivos <math>|\vec{\Phi}_{A}|\,</math> y <math>|\vec{\Phi}_{B}|=4\,|\vec{\Phi}_{A}|\,</math> en principio desconocidos, con direcciones a lo largo de los respectivos hilos y con sentidos hacia los puntos de anclaje de los mismos:
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| <center><math>
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| \vec{\Phi}_{A}=|\Phi_{A}|[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{N}-\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{B}\,]\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
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| \vec{\Phi}_{B}=|\Phi_{B}|[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{N}+\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{B}\,]=4\,|\vec{\Phi}_{A}|[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{N}+\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{B}\,]
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| </math></center>
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| Dado que el movimiento circular de <math>P\,</math> es uniforme (celeridad <math>v\,</math> constante), su aceleración sólo va a tener componente normal:
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| <center><math>
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| \left.\begin{array}{l} a_t=\displaystyle\frac{dv}{dt}=0 \\ \\ a_n=\displaystyle\frac{v^{\, 2}}{R}=|\,\vec{\omega}\,|^{\, 2}R
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| \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \vec{a}=a_t\,\vec{T}+a_n\,\vec{N}=|\,\vec{\omega}\,|^{\, 2}R\,\,\vec{N}
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| </math></center>
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| donde se ha utilizado la relación entre celeridad y módulo de la velocidad angular propia de un movimiento circular (<math>v=|\,\vec{\omega}\,|R\,</math>).
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| Aplicando la segunda ley de Newton, y proyectándola sobre las direcciones normal y binormal, se llega a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (<math>|\vec{\Phi}_{A}|\,</math> y <math>|\,\vec{\omega}\,|\,</math>):
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| <center><math>
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| m\vec{g}\,+\,\vec{\Phi}_{A}\,+\,\vec{\Phi}_{B}=m\vec{a}\,\,\rightarrow\,\,\left\{\begin{array}{lll} |\vec{\Phi}_{A}|\,\mathrm{cos}(\theta)+4\,|\vec{\Phi}_{A}|\,\mathrm{cos}(\theta)=m|\,\vec{\omega}\,|^{\, 2}R & \,\rightarrow\, & 5\,|\vec{\Phi}_{A}|\,\mathrm{cos}(\theta)=m|\,\vec{\omega}\,|^{\, 2}R \\ \\ -mg-|\vec{\Phi}_{A}|\,\mathrm{sen}(\theta)+4\,|\vec{\Phi}_{A}|\,\mathrm{sen}(\theta)=0 & \,\rightarrow\, & -mg+3\,|\vec{\Phi}_{A}|\,\mathrm{sen}(\theta)=0 \end{array}\right.
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| </math></center>
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| Resolviendo el sistema, obtenemos los valores del módulo <math>|\vec{\Phi}_{A}|\,</math> de la fuerza ejercida por el hilo inferior y del módulo <math>|\,\vec{\omega}\,|\,</math> de la velocidad angular de la partícula:
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| <center><math>
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| |\vec{\Phi}_{A}|=\frac{mg}{3\,\mathrm{sen}(\theta)}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
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| |\,\vec{\omega}\,|=\sqrt{\frac{5\,g\,\mathrm{cotg}(\theta)}{3\,R}}
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| </math></center>
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| [[Categoría:Problemas de Dinámica del Punto (GITI)]]
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