Tercera Convocatoria Ordinaria 2012/13 (G.I.C.)

Enunciado

La barra de la figura forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal y está apoyada sobre una pared inclinada $\pi /4$. El peso de la barra está aplicado en su centro. El contacto en el punto $A$ es liso, mientras que en el punto $B$ es rugoso con un coeficiente de rozamiento estático $\mu$.

1. Dibuja el diagrama de sólido libre de la barra.
2. Considerando el ángulo $\alpha$ como un dato, calcula las fuerzas sobre la barra en los puntos $A$ y $B$.
3. ¿Para que valores del ángulo $\alpha$ es posible el equilibrio?

Solución

Diagrama de sólido libre

El contacto en A es liso, por lo que la fuerza de reacción vincular es normal a la superficie. El contacto en B es rugoso, es decir, en B actúa una fuerza de reacción vincular normal al suelo y una fuerza de rozamiento paralelo a él. En el dibujo hemos usado el teorema de las tres fuerzas. Agrupando la fuerza de reacción vincular y de rozamiento en B, la barra está sometida a tres fuerzas coplanarias, por lo que sus rectas soporte deben cruzarse en un punto.

Fuerzas en equilibrio

Cuando la barra está en equilibrio la fuerza neta sobre ella es cero y el momento neto es nulo respecto a cualquier punto. Una vez que hemos identificado las fuerzas sobre la barra, buscamos su expresión en el sistema de ejes que hemos escogido. Tenemos

${\begin{array}{l}{\vec {P}}=-P\,{\vec {\jmath }}\\{\vec {N}}^{A}=N^{A}\cos(\pi /4)\,{\vec {\imath }}+N^{A}\,\mathrm {sen} \,(\pi /4)\,{\vec {\jmath }}={\dfrac {N^{A}}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {N^{A}}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\jmath }}\\{\vec {N}}^{B}=N^{B}\,{\vec {\jmath }}\\{\vec {F}}_{R}^{B}=-F_{R}^{B}\,{\vec {\imath }}\end{array}}$

Aplicamos la condición de que la fuerza neta es nula

${\vec {P}}+{\vec {N}}^{A}+{\vec {N}}^{B}+{\vec {F}}_{R}^{B}={\vec {0}}\Longrightarrow \left|{\begin{array}{l}N^{A}-{\sqrt {2}}\,F_{R}^{B}=0\\\\N^{A}+{\sqrt {2}}\,N^{B}={\sqrt {2}}\,P\end{array}}\right.$

Ahora calculamos los momentos de las fuerzas respecto a B. Las únicas fuerzas con momento no nulo son el peso y ${\vec {N}}^{A}$.

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {BG}}\times {\vec {P}}=(-{\dfrac {L}{2}}\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+{\dfrac {L}{2}}\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\jmath }})\times (-P\,{\vec {\jmath }})={\dfrac {P\,L}{2}}\cos \alpha \,{\vec {k}}\\\\{\overrightarrow {BA}}\times {\vec {N}}^{A}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\-L\cos \alpha &L\,\mathrm {sen} \,\alpha &0\\N^{A}/{\sqrt {2}}&N^{A}/{\sqrt {2}}&0\end{array}}\right|=-{\dfrac {N^{A}\,L}{\sqrt {2}}}\,(\mathrm {sen} \,\alpha +\cos \alpha )\,{\vec {k}}\end{array}}$

La suma de estos dos momentos debe ser nula

${\overrightarrow {BG}}\times {\vec {P}}+{\overrightarrow {BA}}\times {\vec {N}}^{A}\Longrightarrow N^{A}={\dfrac {P}{\sqrt {2}}}\,{\dfrac {\cos \alpha }{\mathrm {sen} \,\alpha +\cos \alpha }}$

Introduciendo esta expresión en las ecuaciones obtenidas previamente, tenemos

${\begin{array}{l}N^{A}={\dfrac {P}{\sqrt {2}}}\,{\dfrac {\cos \alpha }{\mathrm {sen} \,\alpha +\cos \alpha }}\\\\N^{B}=P\,{\dfrac {2\,\mathrm {sen} \,\alpha +\cos \alpha }{2(\mathrm {sen} \,\alpha +\cos \alpha )}}\\\\F_{R}^{B}={\dfrac {P}{2}}\,{\dfrac {\cos \alpha }{\mathrm {sen} \,\alpha +\cos \alpha }}\end{array}}$

Análisis del equilibrio

El equilibrio se rompe cuando el extremo en B desliza. Para que esto no ocurra la fuerza de rozamiento necesaria para mantener el equilibrio debe ser menor o igual que su valor máximo. Si el coeficiente de rozamiento estático es $\mu$ tenemos

$|F_{R}^{B}|\leq \mu \,|N^{B}|\Longrightarrow {\dfrac {P}{2}}\,{\dfrac {\cos \alpha }{\mathrm {sen} \,\alpha +\cos \alpha }}\leq \mu \,P\,{\dfrac {2\,\mathrm {sen} \,\alpha +\cos \alpha }{2(\mathrm {sen} \,\alpha +\cos \alpha )}}$

Operando llegamos a la condición

$\tan \alpha \geq {\dfrac {1-\mu }{2\mu }}$

Esta condición puede escribirse así

$\tan {\alpha }\geq \tan \alpha _{c}\Longrightarrow \alpha >\alpha _{c}$

con

$\alpha _{c}=\arctan \left({\dfrac {1-\mu }{2\mu }}\right)$

El ángulo $\alpha$ es mayor que cero y menor que $\pi /4$. Para que pueda existir equilibrio, el valor de $\alpha _{c}$ debe ser menor que el mayor valor posible de $\alpha$. Eso marca un valor mínimo del coeficiente de rozamiento estático

$\arctan \left({\dfrac {1-\mu _{min}}{2\mu _{min}}}\right)=\pi /4\Longrightarrow \mu _{min}={\dfrac {1}{1+2\tan(\pi /4)}}=0.547.$

Si $\mu <\mu _{min}$ no hay equilibrio para ningún ángulo.

Por otra parte, si $\alpha _{c}=0$, habría equilibrio para todos los valores posibles de $\alpha$. El coeficiente de rozamiento estático para $\alpha _{c}=0$ es

${\dfrac {1-\mu _{0}}{2\mu _{0}}}=\tan(0)=0\Longrightarrow \mu _{0}=1.$

Es decir, si $\mu \geq 1$ todos los valores de $\alpha$ entre 0 y $\pi /4$ son de equilibrio.