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Energía y leyes de conservación (CMR)

De Laplace

Integrales primeras

Una constante de movimiento (también llamada integral primera) es una magnitud función de la posición, velocidad de la partícula (o de las partículas, si hay más de una) cuyo valor es constante, pese a que la posición y la velocidad sí son variables en el tiempo

\forall t\qquad C(\vec{r},\vec{v},t)=C_0=\mathrm{cte.}

El valor concreto de una constante de movimiento puede calcularse a partir de las condiciones iniciales (o de los valores de la posición y velocidad en cualquier instante)

C(\vec{r},\vec{v})=C_0=C(\vec{r}_0,\vec{v}_0)\,

En términos de las coordenadas generalizadas una integral primera será una función del tipo

C(q_i,\dot{q}_i,t)=C_0

Y el que sea constante se manifiesta en que su derivada respecto al tiempo debe anularse

0 =\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}t}=\sum_i\frac{\partial C}{\partial q_i}\dot{q}_i+\sum_i\frac{\partial C}{\partial \dot{q}_i}\ddot{q}_i+\frac{\partial C}{\partial t}=0

Aquí, las segundas derivadas respecto al tiempo pueden sustituirse por sus expresiones obtenidas de las ecuaciones de movimiento, quedando una relación entre las coordenadas y sus derivadas. Por ello, la determinación de integrales primeras es muchas veces un arte en el que a partir de combinaciones de las ecuaciones de movimiento se consigue llegar a magnitudes conservadas.

La utilidad de las integrales primeras es que como su nombre indica, son integrales de las ecuaciones de movimiento, permitiendo reducir las ecuaciones a primeras derivadas en lugar de segundas derivadas.

El ejemplo más conocido de constante de movimiento, que veremos más adelante, es el de la energía mecánica. Cuando un cuerpo cae, su posición varía y su velocidad aumenta, pero la energía mecánica, que es una cierta combinación de la posición y la velocidad, permanece constante.

Las integrales primeras pueden tener una interpretación física directa (como la energía o el momento cinético) o ser combinaciones más o menos abstractas válidas para un solo problema concreto. A continuación estudiaremos tres magnitudes, construidas a partir de la posición y la velocidad, cuyas leyes de evolución pueden determinarse a partir de las leyes de Newton. Estas cantidades, si se dan las condiciones adecuadas, son constantes de movimiento, y por tanto son las primeras candidatas cuando en un problema se buscan integrales primeras. Estas magnitudes son:

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