Trabajo y energía (CMR)

Trabajo y energía cinética

Trabajo de una fuerza constante

Cuando una fuerza constante se aplica sobre un cuerpo que realiza un desplazamiento $\Delta x$ en la dirección de la fuerza aplicada, se dice que la fuerza realiza un trabajo

$W=F\,\Delta x$

Vemos que las unidades en las que se mide el trabajo son las de una fuerza por una distancia, siendo la unidad SI 1 julio = 1 newton·m.

El trabajo es positivo si la fuerza se aplica en el mismo sentido que se realiza el desplazamiento y negativo si se opone a él. El trabajo es nulo si no hay desplazamiento. Una persona puede ejercer toda la fuerza que quiera contra una pared, hasta agotarse. Si la pared no se mueve, no ha realizado trabajo alguno.

Si la fuerza, como vector que es, posee una dirección diferente al desplazamiento, solo su componente en la dirección de este realiza trabajo

$W=F_{\parallel }\,\Delta x$

Esta cantidad de expresa de manera más sencilla con ayuda del producto escalar

$W={\vec {F}}\cdot \Delta {\vec {r}}$

Vemos que

• El trabajo es una cantidad escalar, con signo.
• No se realiza trabajo si se ejerce una fuerza pero no se produce desplazamiento.
• Una fuerza perpendicular al desplazamiento no realiza trabajo alguno.

Trabajo de una fuerza variable

Si tenemos una partícula que realiza una trayectoria arbitraria, sometida a una fuerza variable con la posición o el tiempo, podemos hallar el trabajo dividiendo el camino en diferenciales casi rectilíneos, calculando el trabajo (diferencial) en cada uno, y sumando (integrando) el resultado.

El trabajo diferencial es igual a

$\delta {}W={\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}$

A partir de aquí obtenemos el trabajo realizado sobre una partícula que se mueve desde un punto A a un punto B recorriendo una curva C como la suma de los trabajos elementales a lo largo de dicha curva

$W_{A\to B}=\int _{\!\!\!\!\!\!\!\!\!C\ A}^{B}\delta W=\int _{\!\!\!\!\!\!\!\!\!C\ A}^{B}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}$

Respecto a la notación, el hecho de que el trabajo diferencial (que no diferencial de trabajo) se represente como $\delta W$ en lugar de $\mathrm {d} W$ se debe justamente al hecho de que es una cantidad que depende del camino, como se estudia en más detalle en Termodinámica.

Trabajo de la superposición de varias fuerzas

Si sobre una partícula actúan varias fuerzas simultáneamente, por el principio de superposición, el trabajo total será igual a la suma de los trabajos individuales

$W_{i}=\int _{\!\!\!\!\!\!\!\!\!C\ A}^{B}{\vec {F}}_{i}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}\qquad \qquad {\vec {F}}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}\qquad W=\sum _{i}W_{i}$

Potencia

A partir del trabajo, se define la potencia desarrollada por la fuerza como el trabajo que realiza durante un tiempo $\mathrm {d} t$, dividido por dicho intervalo

$P={\frac {\delta {}W}{\mathrm {d} t}}={\vec {F}}\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}$

De esta definición resulta que la potencia tiene dimensiones de trabajo partido por tiempo (o fuerza multiplicada por velocidad), siendo su unidad el vatio (W), igual a un 1 J/s.

Energía cinética. Teorema trabajo-energía cinética

Caso de una fuerza constante

En el caso de una partícula sometida a una fuerza neta constante, el resultado es un movimiento con aceleración constante. En este tipo de movimiento se cumple que la velocidad media en un intervalo es igual a la media de la velocidad inicial y final

${\frac {{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}}{2}}{\vec {v}}_{m}={\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}$

y el incremento de la velocidad lo da la aceleración constante

${\vec {v}}_{2}-{\vec {v}}_{1}={\vec {a}}\,\Delta t$

Multiplicando la primera ecuación por la segunda y por la masa de la partícula queda

${\frac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{2}|^{2}-{\frac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{1}|^{2}=m{\vec {a}}\cdot \Delta {\vec {r}}$

que podemos abreviar como

$\Delta K=W\,$

siendo K una cantidad que llamamos energía cinética de la partícula

$K={\frac {1}{2}}m|{\vec {v}}|^{2}$

Vemos que la energía cinética de la partícula es una magnitud escalar, medida en julios en el SI, que da cuenta de la rapidez de la partícula, es decir, indica cómo de rápido se mueve la partícula pero no de hacia donde se mueve.

Caso de una fuerza variable

Si tenemos una trayectoria arbitraria que va del punto A al punto B y la partícula está sometida a una fuerza neta variable, simplemente dividimos el camino en pequeñas porciones en cada una de las cuales puede suponerse la fuerza prácticamente constante. Para cada uno de estos diferenciales de camino se cumplirá

$\mathrm {d} K=\mathrm {d} \left({\frac {1}{2}}m|{\vec {v}}|^{2}\right)={\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=\delta {}W$

y sumando para todas las porciones obtenemos la relación

$\int _{A}^{B}\mathrm {d} K=\int _{\!\!\!\!\!\!\!\!\!C\ A}^{B}\delta {}W\qquad \rightarrow \qquad \Delta K=W_{A\to B}$

La identidad

$W_{A\to B}=\Delta K\,$

se conoce como teorema trabajo-energía cinética (o teorema de las fuerzas vivas).

Interpretación

El teorema de las fuerzas vivas

$W_{A\to B}=K(B)-K(A)\,$

requiere una cierta interpretación ya que se presta a confusiones. Lo enunciamos primero con palabras:

El trabajo realizado entre dos puntos por la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual al incremento de la energía cinética entre dichos dos puntos

Es decir, si se hace un trabajo positivo sobre la partícula, su energía cinética aumenta, esto es, se mueve más rápido. Si por contra el trabajo es negativo, oponiéndose al movimiento, la energía cinética disminuye y la partícula se mueve más despacio.

Si la partícula tiene en el punto B la misma rapidez que en el punto A, su energía cinética no ha cambiado y por tanto el trabajo neto realizado sobre ella es nulo, independientemente de que haya existido una fuerza actuando sobre ella, acelerándola en los puntos intermedios.

Hay que remarcar que el teorema de las fuerzas vivas habla de la fuerza neta, esto es, la resultante de las fuerzas aplicadas. Si sobre una partícula actúan varias fuerzas simultáneamente, cada una de ellas realizará un trabajo, pero cada uno de ellos no es igual a la variación de la energía cinética, solo su suma lo es.

${\vec {F}}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}\qquad \rightarrow \qquad W=\sum _{i}W_{i}=\Delta K\,$

También hay que remarcar otro aspecto de la expresión del teorema. Puede aparecer extraño que de la relación

$\mathrm {d} K=\delta {}W\,$

no se deduzca la igualdad entre dos incrementos. La razón es profunda y se relaciona con conceptos más generales que se estudian en termodinámica. La idea es la siguiente:

• La energía cinética es una función de estado: esto quiere decir que conocido el estado de la partícula (su posición y su velocidad instantáneas), podemos hallar su energía cinética

$K={\frac {1}{2}}m|{\vec {v}}|^{2}$

y su valor es uno solo. Podemos imaginar que la partícula, por moverse con la rapidez que lo hace, almacena una cierta cantidad de energía cinética. Por ello, el incremento de K es igual a su valor en B menos su valor en A.

• El trabajo no es una función de estado, sino que depende del camino: no nos basta con saber qué posición y que velocidad tiene la partícula en un momento dado, sino que necesitamos saber qué curva ha descrito (por ello se indica una C en la integral correspondiente) y qué fuerza ha actuado sobre ella en cada punto del camino. El trabajo es por sí mismo una integral. No es el incremento ni la variación de nada. No podemos decir que la partícula almacena un trabajo.

Por ello, los dos diferenciales anteriores son de distinto tipo y se representan con letras diferentes, el de la energía con $\mathrm {d}$ y el del trabajo con $\delta$. El diferencial de energía es un incremento muy pequeño de una función. El trabajo diferencial es una cantidad muy pequeña de trabajo realizado.

Así, el teorema de las fuerzas vivas representa que un trabajo realizado sobre una partícula se “almacena” en forma de energía cinética.

Forma diferencial del teorema

A partir de la relación entre los diferenciales podemos escribir el teorema de las fuerzas vivas como una relación entre derivadas en lugar de integrales.

$\mathrm {d} K={\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}$

Dividiendo por el diferencial de tiempo empleado en realizar el desplazamiento

${\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}={\vec {F}}\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}=P$

esto es, en cada instante, la derivada respecto al tiempo de la energía cinética es igual a la potencia neta realizada sobre la partícula.

Aplicación a colisiones

Cuando se produce una colisión, una partícula experimenta una fuerza muy intensa durante un periodo de tiempo muy corto. Esta fuerza es capaz de producir un cambio neto en la cantidad de movimiento (el impulso). También puede producir un incremento en la energía cinética

$\Delta K=\int _{t_{0}}^{t_{0}+\epsilon }{\vec {F}}\cdot {\vec {v}}\,\mathrm {d} t$

Así, en el caso de una colisión oblicua contra una pared estacionaria en $z=0$ tenemos las velocidades antes y después del choque

${\vec {v}}_{i}=v_{x0}{\vec {\imath }}+v_{z0}{\vec {k}}\qquad \qquad {\vec {v}}_{f}=v_{x0}{\vec {\imath }}-v_{z0}{\vec {k}}$

y por tanto el incremento de la energía cinética en este caso es nulo

$\Delta K={\frac {1}{2}}m\left(v_{x0}^{2}+v_{z0}^{2}\right)-{\frac {1}{2}}m\left(v_{x0}^{2}+v_{z0}^{2}\right)=0$

Por ello se dice que tenemos una colisión elástica.

En el caso de un choque frontal contra una pared en movimiento las velocidades inicial y final valen

${\vec {v}}_{i}=v_{0}{\vec {\imath }}\qquad \qquad {\vec {v}}_{f}=(2V-v_{0}){\vec {\imath }}$

por lo que resulta un incremento de energía cinética que no será nulo en general

$\Delta K={\frac {1}{2}}m(2V-v_{0})^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}=2mV(V-v_{0})$

Se anulará si la pared está en reposo (caso anterior) o si la partícula se mueve con la misma velocidad que la pared (con lo que no llegan a chocar).

Teorema de conservación de la energía cinética

Este teorema implica, entre otras resultados, que

“Una partícula sometida a una fuerza puramente normal a su trayectoria (o nula) en todo momento mantiene constante su energía cinética y por tanto se mueve de manera uniforme (aunque la dirección de movimiento sea cambiante).”

Ejemplo de fuerzas permanentemente normales a la trayectoria son:

• La fuerza magnética ${\vec {F}}_{m}=q{\vec {v}}\times {\vec {B}}$
• La fuerza de Coriolis que aparece en sistemas no inerciales.
• Las fuerzas de reacción vincular debidas a vínculos lisos (sin rozamiento) y esclerónomos (independientes del tiempo).

Esta última propiedad es especialmente importante porque permite aplicar el teorema de conservación de la energía mecánica a partículas vinculadas, sin necesidad de considerar las fuerzas de reacción a la hora de calcular la energía. Por ejemplo, puede hallarse la velocidad de una masa que desciende por un plano inclinado empleando razonamientos energéticos sin incluir la reacción normal al plano.

Ejemplos

Trabajo debido al peso

El peso de un cuerpo es una fuerza constante, por lo que se aplica directamente el resultado anterior, sin necesidad de hacer integral alguna

$W={\vec {F}}\cdot \Delta {\vec {r}}=-mg{\vec {k}}\cdot \Delta r$

Teniendo en cuenta la expresión del vector de posición en cartesianas

${\vec {r}}=x{\vec {\imath }}+y{\vec {\jmath }}+z{\vec {k}}$

nos queda, para el trabajo

$W=-mg\,\Delta z=mg(z_{i}-z_{f})\,$

Este trabajo es igual al aumento de la energía cinética

$\Delta K={\frac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{f}|^{2}-{\frac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{i}|^{2}$

Igualando ambas cantidades

${\frac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{f}|^{2}-{\frac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{i}|^{2}=mg(z_{i}-z_{f})$

En el caso particular de un objeto que cae desde una altura h, partiendo del reposo, y llega hasta el suelo

${\frac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{f}|^{2}-{\frac {1}{2}}m\overbrace {|{\vec {v}}_{i}|^{2}} ^{=0}=mg(\overbrace {z_{i}} ^{=h}-\overbrace {z_{f}} ^{=0})$

Nos queda, para la rapidez de impacto

${\frac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{f}|^{2}=mgh\qquad \Rightarrow \qquad |{\vec {v}}_{f}|={\sqrt {2gh}}$

Obsérvese que el resultado es independiente de que el objeto caiga verticalmente o describiendo una parábola.

Trabajo de un oscilador armónico

El teorema de las fuerzas vivas posee numerosas aplicaciones, ya que permite determinar celeridades sin necesidad de resolver la ecuación de movimiento.

Consideremos el caso de un oscilador armónico que se libera desde el reposo a una distancia A del punto de equilibrio. ¿Que rapidez tiene la masa cuando pasa por éste? ¿Qué trabajo se realiza entre el punto inicial y el de máxima elongación al otro lado de la posición de equilibrio?

El trabajo que realiza la fuerza recuperadora entre la posición inicial y la de equilibrio vale

${\vec {F}}=-kx{\vec {\imath }}\qquad \mathrm {d} {\vec {r}}=\mathrm {d} x{\vec {\imath }}\qquad \Rightarrow \qquad W=\int _{A}^{0}(-kx{\vec {\imath }})\cdot (\mathrm {d} x{\vec {\imath }})=-k\int _{A}^{0}x\,\mathrm {d} x={\frac {kA^{2}}{2}}$

Este trabajo es igual al incremento de energía cinética

${\frac {1}{2}}kA^{2}=\Delta K={\frac {1}{2}}m|{\vec {v}}(x=0)|^{2}-{\frac {1}{2}}m\overbrace {|{\vec {v}}(x=A)|^{2}} ^{=0}\qquad \Rightarrow \qquad |{\vec {v}}(x=0)|={\sqrt {\frac {k}{m}}}A$

vemos que hallamos la rapidez en el punto de equilibrio sin necesidad de usar los senos y cosenos que nos dan las ecuaciones horarias.

Para la segunda cuestión, el trabajo realizado entre el punto inicial (de velocidad nula) y el punto opuesto de máxima elongación (que también es un punto de reposo instantáneo) es nulo.

$W=\Delta K={\frac {1}{2}}m\overbrace {|{\vec {v}}(x=-A)|^{2}} ^{=0}-{\frac {1}{2}}m\overbrace {|{\vec {v}}(x=A)|^{2}} ^{=0}=0$

Partícula que desliza por un aro

Sea una pequeña anilla de masa $m$ ensartada en un aro circular de radio $R$ puesto verticalmente. Si la anilla se suelta desde el reposo en el punto más alto del aro y el rozamiento es despreciable, ¿con qué velocidad llega al punto más bajo?

La partícula está sometida a dos fuerzas, su peso y la fuerza de reacción del aro.

${\vec {F}}=m{\vec {g}}+{\vec {F}}_{n}$

El trabajo total realizado sobre la partícula será la suma de los dos trabajos individuales

$W=\int _{{\vec {r}}_{0}}^{{\vec {r}}_{1}}m{\vec {g}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}+\int _{{\vec {r}}_{0}}^{{\vec {r}}_{1}}{\vec {F}}_{n}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}$

El trabajo de la fuerza de reacción es nulo, ya que la fuerza es perpendicular en todo momento al desplazamiento

${\vec {F}}_{n}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=0\qquad \Rightarrow \qquad \int _{{\vec {r}}_{0}}^{{\vec {r}}_{1}}{\vec {F}}_{n}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=0$

El trabajo debido al peso se halla, como antes, observando que se trata de una fuerza constante (o bien, explícitamente por la integral, como en un problema) y el resultado es

$W=2mgR\,$

Esto nos da la rapidez final

${\frac {1}{2}}m|{\vec {v}}|^{2}-{\frac {1}{2}}m\overbrace {|{\vec {v}}_{0}|^{2}} ^{=0}=2mgR\qquad \Rightarrow \qquad |{\vec {v}}|={\sqrt {4gR}}$

Obsérvese que aunque la fuerza de reacción no realice trabajo sí que acelera a la partícula, cambiando su dirección de movimiento. Si solo actuara el peso, la anilla caería verticalmente. Es la fuerza de reacción la que hace en el punto más bajo la velocidad sea horizontal.

Disipación de energía cinética

En el caso de una partícula sometida exclusivamente a una fuerza de rozamiento dinámico (seco o viscoso), la energía cinética disminuye de forma continuada, ya que

${\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}={\vec {F}}_{r}\cdot {\vec {v}}$

Dado que la fuerza de rozamiento dinámico se opone a la velocidad, este producto escalar es negativo y la energía cinética disminuye.

En particular, en el caso de un rozamiento viscoso lineal nos queda

${\vec {F}}_{r}=-\gamma {\vec {v}}\qquad {\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}=-\gamma |{\vec {v}}|^{2}=-{\frac {2\gamma }{m}}K$

Separando diferenciales e integrando llegamos a un decaimiento exponencial en la energía cinética

$K(t)=K_{0}\mathrm {e} ^{-t/\tau }\qquad \tau ={\frac {m}{2\gamma }}$

El tiempo que tarda la energía en disiparse es independiente de la velocidad inicial. Sí depende de la masa de la partícula. Cuanto mayor sea su masa, y por tanto su inercia, más lentamente decae la energía.

Energía potencial

Definición

El trabajo realizado por una fuerza cuando una partícula se mueve desde un punto A a un punto B depende en general del camino recorrido. Por ejemplo, una fuerza de rozamiento realiza un trabajo mayor cuanto mayor sea la distancia recorrida, aunque los puntos iniciales y finales sean los mismos en todos los caminos.

Existe una clase de fuerzas, denominadas fuerzas conservativas, para las cuales el trabajo entre dos puntos es independiente del camino que se emplea para ir de uno a otro

$W_{A\to B}=\int _{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!C_{1}\ A}^{B}{\vec {F}}_{\mathrm {c} }\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=\int _{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!C_{2}\ A}^{B}{\vec {F}}_{\mathrm {c} }\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}$

Esto permite definir una función denominada energía potencial como el trabajo, cambiado de signo, para ir desde un punto fijo O (el origen de potencial) hasta un punto fijo

$U(P)=-\int _{O}^{P}{\vec {F}}_{\mathrm {c} }\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}\,$

Entre los casos importantes de fuerzas conservativas tenemos:

• El peso, para el cual, si el origen de potencial es la superficie terrestre y $z$ la altura sobre ella:

$U({\vec {r}})=mgz\,$

• Más en general la fuerza gravitatoria producida por un cuerpo fijo sobre otro, tomando como origen de potencial el infinito, tiene una energía potencial

$U({\vec {r}})=-{\frac {GMm}{|{\vec {r}}|}}\,$

• El oscilador armónico, que cumple la ley de Hooke, tomando el origen de potencial en el punto de equilibrio, tiene una energía potencial, en el caso rectilíneo

$U(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}$

y en el caso general

$U({\vec {r}})={\frac {1}{2}}k|{\vec {r}}|^{2}\,$

La energía potencial se obtiene a partir de la fuerza, integrando respecto a la posición. Para ello hay que elegir un camino (que es arbitrario, pero uno hay que elegir) que lleve del origen de potencial al punto donde queremos hallar el potencial.

En el caso de una fuerza dependiente de la posición a lo largo de una recta que actúa sobre una partícula que se mueve sobre esta recta, el camino es inmediato: es la propia recta de movimiento

${\vec {F}}=F(x){\vec {\imath }}\qquad \qquad {\vec {r}}=x{\vec {\imath }}\qquad \qquad \mathrm {d} {\vec {r}}=\mathrm {d} x\,{\vec {\imath }}$

y la integral de camino se reduce a una integral usual

$U(x)=-\int _{x_{0}}^{x}F(x)\,\mathrm {d} x$

Así, para el caso del oscilador armónico, tomando como origen de potencial la posición de equilibrio

$F(x)=-kx\qquad \Rightarrow \qquad U(x)=-\int _{0}^{x}(-kx)\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}kx^{2}$

En tres dimensiones el problema es más complicado, aunque para fuerzas centrales podemos tomar un camino rectilíneo radial

${\vec {F}}=F(r){\vec {u}}_{r}\qquad \qquad \mathrm {d} {\vec {r}}=\mathrm {d} r{\vec {u}}_{r}\qquad \qquad (r=|{\vec {r}}|)$

y para el oscilador armónico en tres dimensiones resulta

$U({\vec {r}})=-\int _{0}^{r}(-k{\vec {r}})\cdot (\mathrm {d} r\,{\vec {u}}_{r})=\int _{0}^{r}kr\,\mathrm {d} r={\frac {1}{2}}kr^{2}={\frac {1}{2}}k|{\vec {r}}|^{2}$

De manera similar se calcula la energía potencial gravitatoria.

Inversamente, se puede hallar la fuerza, conocida la energía potencial, derivando respecto a la posición.

En el caso de un movimiento rectilíneo la energía potencial depende solo de una variable, $x$, y la fuerza es igual a

$F(x)=-{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} x}}$

En el caso general del movimiento tridimensional, una fuerza conservativa se calcula a partir de la energía potencial hallando el gradiente:

${\vec {F}}=-\nabla U=-{\frac {\partial U}{\partial x}}{\vec {\imath }}-{\frac {\partial U}{\partial y}}{\vec {\jmath }}-{\frac {\partial U}{\partial z}}{\vec {k}}$

donde las derivadas son parciales, esto es, calculadas derivando respecto a una coordenada tratando al resto de coordenadas como constantes.

Por ejemplo, para la energía potencial de un oscilador armónico, en el caso rectilíneo

$U(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}\qquad \Rightarrow \qquad F=-{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} x}}=-kx$

En tres dimensiones

$U({\vec {r}})={\frac {1}{2}}k|{\vec {r}}|^{2}={\frac {k}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

hallando las tres derivadas parciales obtenemos la fuerza

${\vec {F}}=-kx{\vec {\imath }}-ky{\vec {\jmath }}-kz{\vec {k}}=-k{\vec {r}}$

Trabajo y energía potencial

Con la definición de energía potencial se cumple, para fuerzas conservativas,

$W_{A\to B}=U(A)-U(B)=-\Delta U\,$

La demostración es la siguiente. Debemos hallar el trabajo en el camino de A a B. Si ${\vec {F}}$ es conservativa, podemos elegir el camino que queramos para ir de un punto a otro. Tomamos entonces una ruta que pasa por O.

Entonces se cumple

$W_{A\to B}=\int _{A}^{B}{\vec {F}}_{\mathrm {c} }\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=\int _{A}^{O}{\vec {F}}_{\mathrm {c} }\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}\ +\int _{O}^{B}{\vec {F}}_{\mathrm {c} }\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=-\int _{O}^{A}{\vec {F}}_{\mathrm {c} }\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}\ +\int _{O}^{B}{\vec {F}}_{\mathrm {c} }\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=U(A)-U(B)=-\Delta U$

La identidad anterior es similar al teorema de las fuerzas vivas, con dos diferencias importantes:

• Solo se aplica a fuerzas conservativas, no a todas las fuerzas (en particular, no al rozamiento).
• Nos habla de lo que ocurre de una fuerza individual. En una partícula sometida a varias fuerzas, cada una podrá o no derivar de una energía potencial. El teorema de las fuerzas vivas habla de la resultante de todas las fuerzas aplicadas.
• Hay un signo menos, con lo que el trabajo realizado sobre la partícula es igual a la disminución de su energía potencial.

Podemos interpretar entonces el resultado diciendo que la partícula por estar sometida a un campo gravitatorio, o estar en el extremo de un muelle estirado,… posee una cierta energía potencial. Cuando el peso o la fuerza recuperadora actúan sobre la partícula, realizando trabajo sobre ella, lo hacen a costa de su energía potencial, que se ve reducida.

Podemos entender entonces que las partículas, por ocupar las posiciones que ocupan, almacenan una energía potencial, que se “gasta” en forma de trabajo sobre la partícula.

Asimismo, el signo negativo implica que la fuerza apunta en el sentido en que disminuye la energía potencial, es decir, la partícula tiende a acelerarse hacia donde su energía potencial es mínima.

En forma diferencial, la relación entre trabajo y energía potencial nos dice que lo que disminuye la energía potencial por unidad de tiempo es igual a la potencia desarrollada por las fuerzas conservativas

$-\mathrm {d} U=\delta {}W={\vec {F}}_{\mathrm {c} }\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}\qquad \Rightarrow \qquad -{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}={\vec {F}}_{\mathrm {c} }\cdot {\vec {v}}=-P_{\mathrm {c} }$

Balance de energía

Sobre una partícula actuarán, en general, tres tipos de fuerzas

• Fuerzas conservativas, ${\vec {F}}_{c}$, como el peso o la fuerza elástica
• Fuerzas que no realizan trabajo por ser normales a la velocidad, ${\vec {F}}_{n}$, como las reacciones asociadas a vínculos lisos (tensión, reacción de una superficie)
• Fuerzas no conservativas, ${\vec {F}}_{nc}$, como el rozamiento o como la fuerza que ejerce un agente externo como un motor.

Por ello, el trabajo total realizado sobre la partícula en su desplazamiento de un punto A a un punto B se compone de tres términos

$W^{A\to B}=\int _{A}^{B}{\vec {F}}_{c}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}+\int _{A}^{B}{\vec {F}}_{n}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}+\int _{\!\!\!\!\!\!\!\!C\ A}^{B}{\vec {F}}_{c}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=-\Delta U+0+W_{nc}^{A\to B}$

Aquí la energía potencial es la suma de las correspondientes a cada una de las fuerzas conservativas que actúan sobre la partícula. Por el teorema trabajo-energía cinética, esta cantidad es igual al incremento se su energía cinética

$\Delta K=-\Delta U+W_{nc}^{A\to B}$

Es decir, lo que aumenta la cinética es igual a lo que disminuye la potencial más el trabajo de las fuerzas no conservativas. Dado que este último es en muchos casos una cantidad negativa (disipación por rozamiento), podemos escribir este balance energético en la forma

$-\Delta U=\Delta K-W_{nc}^{A\to B}$

es decir, que la disminución de energía potencial se emplea en parte en incrementar la energía cinética y en parte se disipa por rozamiento. Este balance tiene tres casos particulares de interés, cuando se anula cada uno de los tres términos:

• Si $\Delta U=0$, queda

$-\Delta K=-W_{nc}^{A\to B}$

es decir, la energía cinética disminuye por la acción de fuerzas no conservativas como el rozamiento (también puede haber fuerzas no conservativas, como las ejercidas por un motor, que hacen aumentar la energía cinética).

• Si $\Delta K=0$, queda

$\Delta U=W_{nc}^{A\to B}$

que leemos como que la energía potencial puede aumentar por la acción de fuerzas no conservativas. Así, una bomba de agua que eleva ésta a lo alto de una azotea, está aumentando la energía potencial gravitatoria.

• Si $W_{nc}^{A\to B}=0$, queda

$-\Delta U=\Delta K\,$

que nos dice que en ausencia de fuerzas no conservativas, lo que aumenta la energía cinética es igual a lo que disminuye la potencial. Este es el caso en el que se conserva la energía mecánica, como veremos.

En forma diferencial, el balance de energía queda en la forma

${\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}={\vec {F}}_{c}\cdot {\vec {v}}+{\vec {F}}_{n}\cdot {\vec {v}}+{\vec {F}}_{nc}\cdot {\vec {v}}=P_{c}+0+P_{nc}=-{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}+P_{n}c$

Energía mecánica

Cuando una partícula está sometida exclusivamente a fuerzas conservativas, ${\vec {F}}_{c}$ (como el peso) y a fuerzas que no realizan trabajo (como la tensión de un péndulo, ${\vec {F}}_{T}$), podemos calcular el trabajo realizado sobre la partícula como

$W_{A\to B}=\int _{A}^{B}{\vec {F}}_{c}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}+\overbrace {\int _{A}^{B}{\vec {F}}_{T}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}} ^{=0}=U(A)-U(B)=-\Delta U$

esto es, el trabajo realizado sobre la partícula es igual a la disminución de su energía potencial, calculada como la suma de las energías potenciales individuales (la debida al peso, más la elástica, más la eléctrica, etc.)

Combinando este teorema con el de las fuerzas vivas obtenemos

$-\Delta U=U(A)-U(B)=W_{A\to B}=K(B)-K(A)=\Delta K\,$

esto es, la que disminuye la energía potencial es igual a lo que aumenta la energía cinética (o viceversa). Reagrupando términos y definiendo la energía mecánica de la partícula como la suma de su energía cinética más la potencial obtenemos

$E(A)=K(A)+U(A)=K(B)+U(B)=E(B)=\mathrm {cte} \,$

lo que se conoce como teorema de conservación de la energía mecánica:

“En ausencia de fuerzas no conservativas, la energía mecánica de una partícula permanece constante.”

Si en vez de un proceso finito consideramos uno diferencial, el resultado es equivalente,

$-\mathrm {d} U=\delta W=\mathrm {d} K\qquad \Rightarrow \qquad \mathrm {d} U+\mathrm {d} K=0$

Dividiendo por el tiempo empleado en realizar el proceso diferencial

$0={\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}(U+K)={\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}$

Este teorema deja de cumplirse cuando sobre la partícula actúan fuerzas no conservativas, como el rozamiento. Las fuerzas que reducen la energía mecánica (normalmente transformándola en calor) se conocen como fuerzas disipativas.

Si sobre una partícula actúan tanto fuerzas conservativas como no conservativas, las consideramos por separado. Aplicando el teorema de las fuerzas vivas

$\Delta K=W_{\mathrm {c} }+W_{\mathrm {nc} }\,$

El trabajo de las fuerzas conservativas es igual a la disminución de su energía potencial

$\Delta K=-\Delta U+W_{\mathrm {nc} }\,$

Agrupando términos resulta que el incremento de la energía mecánica es igual al trabajo de las fuerzas no conservativas

$\Delta E=W_{\mathrm {nc} }\,$

En el caso particular de una fuerza de rozamiento, este trabajo es negativo y la energía mecánica disminuye como consecuencia de la fricción.

Si en lugar de considerar un incremento finito, calculamos la derivada respecto al tiempo obtenemos, por el teorema de las fuerzas vivas

${\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}=P=P_{\mathrm {c} }+P_{\mathrm {nc} }={\vec {F}}_{\mathrm {c} }\cdot {\vec {v}}+{\vec {F}}_{\mathrm {nc} }\cdot {\vec {v}}$

y por la potencia de las fuerzas conservativas

${\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}=-P_{\mathrm {c} }=-{\vec {F}}_{\mathrm {c} }\cdot {\vec {v}}$

Sumando las dos

${\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}(K+U)=P_{\mathrm {nc} }={\vec {F}}_{\mathrm {nc} }\cdot {\vec {v}}$

esto es, la derivada de la energía mecánica es la potencia desarrollada por las fuerzas no conservativas.

En particular, si la fuerza no conservativa es una de rozamiento dinámico, opuesta a la velocidad, resulta

${\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}={\vec {F}}_{r}\cdot {\vec {v}}<0$

Dado que en todo sistema real siempre existen fuerzas de rozamiento, la conclusión es que en un sistema real sometido a fuerzas conservativas (que no modifican la energía mecánica) y disipativas (que la reducen) se tiende a la situación de mínima energía mecánica.

Ejemplos

El uso de razonamientos basados en la energía permite simplificar numerosos cálculos al prescindir del carácter vectorial de las magnitudes y poder omitir las fuerzas de reacción vincular que no realizan trabajo.

Entre los ejemplos inmediatos de aplicación están:

• La velocidad de impacto en la caída libre de un cuerpo o de un cuerpo sometido a vínculos lisos.
• La velocidad de oscilación de un péndulo
• El intercambio entre energía cinética y potencial en un oscilador armónico.
• La velocidad de escape de un campo gravitatorio.

Curvas de potencial

El análisis de la energía mecánica es especialmente útil en el caso de movimientos unidimensionales. Si tenemos una partícula cuyo movimiento se produce a lo largo de un eje OX, sometida a una fuerza dependiente sólo de la coordenada $x$

${\vec {r}}(t)=x(t){\vec {\imath }}$    ${\vec {F}}=F(x){\vec {\imath }}$

Para una fuerza de este tipo siempre existe una energía potencial dada por su integral respecto a $x$

$U(x)=-\int _{x_{0}}^{x}F(x)\,\mathrm {d} x$    $F(x)=-{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} x}}$

de forma que la ley de conservación de la energía mecánica se escribe

${\frac {1}{2}}mv^{2}+U(x)=E=\mathrm {cte}$

Si trazamos la gráfica de la energía potencial $U=U(x)$ como función de la posición $x$, podemos establecer varias propiedades del movimiento, que ilustraremos con el ejemplo de la figura.

• En primer lugar, es importante tener claro que esta gráfica no representa una curva bidimensional. No es una especie de montaña rusa en la que una bolita suba o baje, aunque comparta varias propiedades con este tipo de superficie. En la curva de potencial, la única coordenada es $x$. El eje de ordenadas representa la energía, no una distancia vertical.
• La curva de potencial permite establecer los puntos de equilibrio, así como la estabilidad de estos.
  • Los puntos de equilibrio son aquellos para los que la fuerza sobre la partícula se anula. Esto corresponde a los extremos (máximos o mínimos) de la función $U(x)$. En el ejemplo serían las posiciones A, B y C.
  • Dado que la fuerza sobre la partícula es la pendiente de la curva cambiada de signo, un mínimo de la energía potencial es un punto de equilibrio estable (A y B en el ejemplo), mientras que un máximo es un punto de equilibrio inestable (C en la figura).
• Un valor de la energía mecánica constante puede representarse como una recta horizontal en la gráfica ($E=E_{1}$, por ejemplo). En ese caso la diferencia entre esta recta y el valor de la curva en el mismo punto nos da el valor de la energía cinética, $K$.
• Puesto que la energía cinética no puede tener un valor negativo, el movimiento está acotado entre los puntos donde la recta de la energía mecánica corta a la curva de energía potencial.
• Los puntos donde la recta corta a la curva (D y G en la figura) son de energía cinética nula. En ellos la partícula queda en una posición de reposo instantáneo y la velocidad cambia de signo. Se denominan puntos de retorno.
• Para un valor dado de la energía mecánica, puede existir varios estados de movimiento posibles. Así, para $E=E_{2}$ la partícula puede oscilar en torno al punto A o en torno al punto B, pero no las dos cosas a la vez. Le es imposible atravesar la barrera de potencial situada en el máximo en C.

Como ilustración de casos sencillo, las siguientes son las curvas de potencial correspondientes a una pelota que se mueve verticalmente, sometida a la acción del peso y cuyo movimiento está limitado por el suelo, y el caso de un oscilador armónico, que describe un movimiento armónico simple.

Caída libre	Oscilador armónico	Oscilador armónico con rozamiento

En el caso de que haya fuerzas de fricción no conservativas la energía mecánica disminuye progresivamente y la partícula termina parándose en un punto de equilibrio estable.

Estabilidad de una partícula

El uso de la energía potencial y sus diagramas es el estudio de la estabilidad de una posición de equilibrio. Según se ve al estudiar las leyes de Newton, las posiciones de equilibrio pueden clasificarse en estables o inestables (hay más casos, cuando se considera la dependencia respecto a varias variables, pero aquí, por simplicidad, consideraremos solo una variable).

Consideremos, por ejemplo, un péndulo simple formado por una masa que cuelga de un punto de anclaje sujeto por una barra rígida sin masa. Este sistema posee dos posiciones de equilibrio: que la masa está en el punto más bajo del péndulo, o que esté en el punto más alto. Es claro que las dos posiciones no son equivalentes. Mientras que en la posición inferior la masa tiende a permanecer en ella, si se encuentra en el extremo superior cualquier pequeña perturbación hace que la masa caiga.

Estable	Inestable

Los puntos de equilibrio se clasifican en:

Estables

Ante una pequeña perturbación, tienden a retornar a la posición de equilibrio. El ejemplo representativo lo supone una partícula que rueda dentro de un cuenco, o una masa sujeta a un resorte.

Inestables

Una pequeña perturbación separa a la masa del equilibrio, y ésta tiende a alejarse de esta posición. Es el caso de una masa situada en lo alto de una cima o del péndulo invertido. También es el caso de una partícula en el interior de un tubo en rotación. Cuando se separa del centro, la inexistencia de una fuerza centrípeta hace que se aleje aun más.

Indiferente

La partícula no tiende a retornar a la posición de equilibrio, pero tampoco a alejarse de ella. Es el caso de una bola situada sobre una mesa horizontal.

Estable	Inestable	Indiferente

La clasificación se complica en 3 dimensiones por el hecho de que una posición de equilibrio puede ser estable respecto a fuerzas aplicadas en una dirección e inestable frente a otras aplicadas en una diferente.

También puede ocurrir que una misma posición de equilibrio pueda ser estable para ciertos valores de los parámetros (por ejemplo, la masa de la partícula) e inestable para valores diferentes.

En términos de la energía potencial, se trata de ver:

• Si $U$ tiene un mínimo es una posición de equilibrio estable.
• Si $U$ tiene un máximo es una posición de equilibrio inestable.

Cuando la energía es una función derivable se puede emplear el criterio de la segunda derivada: si es positiva se trata de un mínimo (equilibrio estable) y si es negativa se trata de un máximo (equilibrio inestable).

En el caso del equilibrio estable sin rozamiento, una partícula que esté cerca de la poisición de equilibrio oscilará alrededor de esta. Podemos calcular la frecuencia de estas oscilaciones con ayuda de la serie de Taylor

$U(x)\simeq U(x_{0})+(x-x_{0})\overbrace {\left.{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} x}}\right|_{x_{0}}} ^{=0}+{\frac {1}{2}}(x-x_{0})^{2}\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}U}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x_{0}}$

La primera derivada se anula porque la fuerza es nula en la posición de equilibrio. De forma más corta queda

$U(x)\simeq U_{0}+{\frac {1}{2}}k(x-x_{0})^{2}\qquad \qquad k=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}U}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x_{0}}$

Esta es la energía de un oscilador armónico de frecuencia

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}={\sqrt {{\frac {1}{m}}\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}U}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x_{0}}}}$

Más en general, si la posición se determina por una variable $\theta$ tal que la energía cinética se puede escribir

$K={\frac {1}{2}}A{\dot {\theta }}^{2}$

la frecuencia de las oscilaciones es

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{A}}}={\sqrt {{\frac {1}{A}}\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}U}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x_{0}}}}$

Así, para el péndulo simple tenemos

$K={\frac {1}{2}}m|{\vec {v}}|^{2}={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\qquad \Rightarrow \qquad A=ml^{2}$

y

$U(\varphi )=mgh=mgl(1-\cos(\varphi ))\simeq {\frac {mgl\varphi ^{2}}{2}}\qquad \Rightarrow \qquad k=mgl\,$

resultando la frecuencia

$\omega ={\sqrt {\frac {mgl}{ml^{2}}}}={\sqrt {\frac {g}{l}}}$