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Cantidad de movimiento (CMR)

De Laplace

Contenido

1 Definición

Se define la cantidad de movimiento de una partícula como el producto de su masa por su velocidad

\vec{p}=m\vec{v}\,

Sus dimensiones son MLT − 1 y sus unidades en el SI son \mathrm{N}\cdot\mathrm{s} (o \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{s})

2 Teorema de la cantidad de movimiento

A partir de la definición es inmediato que

\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=m\vec{a} = \vec{F}

esto es, la derivada respecto al tiempo de la cantidad de movimiento es igual a la resultante de las fuerzas aplicadas sobre la partícula.

En el caso de una sola partícula, el teorema de la cantidad de movimiento no es más que la segunda ley de Newton. Este teorema cobra interés cuando se generaliza a sistemas de partículas.

3 Impulso

En ocasiones, no nos interesa tanto saber cómo cambia la cantidad de movimiento en un intervalo de tiempo infinitesimal, sino saber cuánto varía durante un cierto periodo. Supongamos una partícula que viaja libremente y por tanto con cantidad de movimiento constante \vec{p}_1. Entonces es sometida a una fuerza \vec{F}(t) durante un intervalo entre t1 y t2 (por ejemplo, durante una colisión), a partir del cual vuelve a moverse libremente, con cantidad de movimiento constante \vec{p}_2. Se trata de hallar el incremento en la cantidad de movimiento durante la colisión.

Denominamos el impulso como la integral de la fuerza respecto al tiempo en el intervalo en el que actúa

\vec{P}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}\,\mathrm{d}t

Integrando en la segunda ley de Newton obtenemos

\Delta \vec{p}=\vec{p}_2-\vec{p}_1 = \int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)\,\mathrm{d}t=\vec{P}

Es decir

El incremento de la cantidad de movimiento es igual al impulso recibido

Esta relación, aparentemente trivial, tiene su importancia en la teoría de colisiones y de percusiones, donde se ignora el valor exacto de la fuerza, pero sí se conoce el valor del impulso.

4 Teorema de conservación de la cantidad de movimiento

De la segunda ley de Newton es inmediato que:

La cantidad de movimiento de una partícula permanece constante cuando la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella es nula durante un intervalo de tiempo
\vec{0}=\vec{F} = \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{p}=\vec{p}_0=\mathrm{cte}

Puesto que la masa de la partícula permanece constante, si la cantidad de movimiento se conserva, la velocidad también permanece constante

\vec{p}=\vec{p}_0=\mathrm{cte}   \Rightarrow   \vec{v}=\frac{\vec{p}}{m}=\mathrm{cte}

Por tanto, si la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula se anula durante un intervalo de tiempo, la partícula se desplaza con un movimiento rectilíneo y uniforme durante dicho periodo.

Esto no es exactamente lo mismo que lo que dice la Primera Ley de Newton, pues esta ley habla de partícula no sometida a ninguna interacción, mientras que el teorema de conservación se refiere a una partícula sometida a diferentes fuerzas, pero tales que su resultante es nula.

Para el caso de una partícula este teorema de conservación aporta poca información nueva. Sin embargo, su extensión al caso de un sistema de partículas es extremadamente útil.

5 Conservación parcial de la cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento es un vector, con tres componentes cartesianas. Por ello, son posibles situaciones en las que, si bien no se conserva la cantidad de movimiento en su totalidad, sí sea constante alguna de sus componentes. Concretamente:

Si la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula es en todo instante perpendicular a la dirección marcada por un vector unitario \vec{u}, fijo, entonces se conserva la componente en dicha dirección
\vec{F}\cdot\vec{u}=0\qquad\forall t\qquad\Rightarrow\qquad p_u=\vec{p}\cdot\vec{u}=\mathrm{cte.}

Un ejemplo típico lo tenemos en el caso del movimiento por acción del peso (tiro parabólico). Al ser éste vertical en todo instante, las componentes horizontales de la cantidad de movimiento se conservan (no así la vertical).

6 Cantidad de movimiento de un sistema de partículas

La cantidad de movimiento (o momento lineal) del sistema es la suma de las cantidades de movimiento de cada una de las partículas

\vec{p} = \vec{p}_1+\vec{p}_2+\cdots = m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2 + \cdots

7 Relación con el centro de masas

El centro de masas de un sistema de partículas se define como un punto cuya posición es la media ponderada de las posiciones respectivas.

\overrightarrow{OG}=\frac{1}{M}\sum_i m_i \overrightarrow{OP}_i\qquad\qquad \vec{r}_G=\frac{1}{M}\sum_i \vec{r}_i

7.1 Velocidad del centro de masas

El centro de masas no es un punto fijo, sino que puede desplazarse cuando lo hacen las partículas del sistema. Obtenemos su velocidad derivando la definición respecto al tiempo


\vec{v}_G = \frac{\mathrm{d}\vec{r}_G}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{M}\sum_im_i\frac{\mathrm{d}\vec{r}_i}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{M}\sum_im_i\vec{v}_i

El numerador es justamente la cantidad de movimiento del sistema

\vec{v}_G=\frac{\vec{p}}{M}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{p}=M\vec{v}_G

Por tanto, la cantidad de movimiento del sistema es la misma que tendría una sola partícula que concentrara la masa de todas y se moviera como el centro de masas.

8 Evolución de la cantidad de movimiento

Supongamos un sistema de partículas sometidas a fuerzas externas y también interactuantes entre sí, cumpliendo las fuerzas internas la tercera ley de Newton. En este caso, la variación en el tiempo de la cantidad de movimiento total es

\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t} = m_1\frac{\mathrm{d}\vec{v}_1}{\mathrm{d}t}+ m_2\frac{\mathrm{d}\vec{v}_2}{\mathrm{d}t}+\cdots = \vec{F}_1+\vec{F}_2 + \cdots

esto es, la derivada de la cantidad de movimiento es la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre las partículas del sistema. Esto es consecuencia directa de la definición, pero es poco útil pues requiere conocer también las fuerzas internas que son normalmente desconocidas. Por ello, descomponemos las fuerzas sobre cada partícula en suma de las externas y de las internas

\vec{F}_i = \vec{F}_{i\mathrm{ext}}+\vec{F}_{1\to i}+\vec{F}_{2\to i}+\cdots

y la derivada de la cantidad de movimiento queda

\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\left(\vec{F}_{1\mathrm{ext}}+\vec{F}_{2\to 1}+\vec{F}_{3\to 1}+\cdots\right)+\left(\vec{F}_{2\mathrm{ext}}+\vec{F}_{1\to 2}+\vec{F}_{3\to 2}+\cdots\right)+\left(\vec{F}_{3\mathrm{ext}}+\vec{F}_{1\to 3}+\vec{F}_{2\to 3}+\cdots\right)+\cdots

Pero, de acuerdo con la tercera ley de Newton

\vec{F}_{1\to 2}+\vec{F}_{2\to 1} = \vec{0}

y análogamente para el resto de pares de partículas. Por tanto, las fuerzas internas se cancelan dos a dos y queda la expresión mucho más útil

\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}= \vec{F}_{1\mathrm{ext}}+\vec{F}_{2\mathrm{ext}}+\cdots = \vec{F}_{\mathrm{ext}}

siendo \vec{F}_\mathrm{ext} la resultante de las fuerzas externas aplicadas, esto es

  • la derivada de la cantidad de movimiento es igual a la resultante de las fuerzas externas aplicadas sobre el sistema.

En términos del centro de masas, la ley de evolución de la cantidad de movimiento se escribe

\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(M\vec{v}_G\right) =\vec{F}_{\mathrm{ext}}

es decir:

  • El centro de masas de un sistema de partículas se mueve como una sola partícula cuya masa fuera la total del sistema y que se encontrara sometida a la resultante de las fuerzas externas ejercidas sobre el sistema.

En un sistema cerrado, en el que la masa total permanece constante, la derivada de la masa es cero y obtenemos

M\vec{a}_G = \vec{F}_\mathrm{ext}

Como ejemplo tenemos el lanzamiento de un objeto. Aunque las distintas partes del objeto pueden seguir trayectorias complicadas, su CM se mueve como una partícula sometida exclusivamente a la acción del peso, es decir, describe una parábola

Archivo:martillo-parabola.gif

9 Conservación de la cantidad de movimiento

Del teorema de la cantidad de movimiento

\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}_\mathrm{ext}

se deduce de manera inmediata que:

En un sistema de partículas tal que la resultante de las fuerzas externas es nula durante un cierto intervalo de tiempo, la cantidad de movimiento del sistema permanece constante durante dicho intervalo
\vec{F}_\mathrm{ext}=\vec{0}\qquad \forall t\qquad\Rightarrow\qquad \vec{p}=\vec{p}_0=\mathrm{cte}

En particular:

En un sistema de partículas sometido exclusivamente a fuerzas internas la cantidad de movimiento del sistema permanece constante

Asimismo, este teorema implica que

El centro de masas de un sistema de partículas sometido exclusivamente a fuerzas internas describe un movimiento rectilíneo y uniforme

Por tratarse de una identidad vectorial, es posible que se conserve alguna de las componentes de la cantidad de movimiento mientras que otras son variables.

En un sistema de partículas tal que la resultante de las fuerzas externas es perpendicular a un vector fijo \vec{u} durante un cierto intervalo de tiempo, la componente de la cantidad de movimiento del sistema en la dirección de \vec{u} permanece constante durante dicho intervalo
\vec{F}_\mathrm{ext}\cdot\vec{u}=0\qquad \forall t\qquad\Rightarrow\qquad p_u=\vec{p}\cdot\vec{u}=\mathrm{cte}

Este principio imposibilita que, por ejemplo, un grupo de aguerridos astronautas consiga desviar la trayectoria de un cometa simplemente colocando una bomba en él, ya que las fuerzas debidas a la bomba son puramente internas, y el centro de masas continuará su trayectoria inalterada, por mucho que se fragmente el asteroide.

10 Sistema de referencia del centro de masas

Una vez definida la posición del centro de masas, interesa indicar dónde están situadas las partículas respecto al CM. Esto se consigue definiendo la posición relativa

{\vec{r}_i}^{\,\prime} = \vec{r}_i-\vec{r}_G\qquad\qquad  \overrightarrow{GP}_i=\overrightarrow{OP}_i-\overrightarrow{OG}

Dado que la posición del centro de masas respecto a sí mismo es evidentemente nula, se cumple

\vec{0}=\vec{r}^{\,\prime}_G \qquad \Rightarrow\qquad  \sum_im_i\vec{r}^{\,\prime}_i=m_1\vec{r}^{\,\prime}_1+m_2\vec{r}^{\,\prime}_2 +\cdots = \vec{0}\qquad\qquad \sum_im_i \overrightarrow{GP}_i=\vec{0}

De manera análoga se define la velocidad relativa al CM

{\vec{v}_i}^{\,\prime} = \vec{v}_i-\vec{v}_G

y, del mismo modo que con la posición

\vec{0}=\vec{v}^{\,\prime}_G \qquad \Rightarrow\qquad m_1\vec{v}^{\,\prime}_1 + m_2\vec{v}^{\,\prime}_2 +\cdots = \vec{0}

ya que el centro de masas no se mueve respecto a sí mismo.

De la relación entre cantidad de movimiento y velocidad del centro de masas se llega a que la cantidad de movimiento del sistema respecto al centro de masas es siempre nula

\vec{p}^{\,\prime} = \sum_i m_i\vec{v}^{\,\prime}_i=M\vec{v}^{\,\prime}_G = \vec{0}

Esto permite redefinir el centro de masas como aquel punto (variable) desde el cual la cantidad de movimiento del sistema es nula en todo momento. Cuando un sistema de partículas se estudia empleando este punto como origen del sistema de referencia se dice que se está estudiando desde el sistema centro de masas.

11 Sistema de referencia móvil

El caso del sistema CM es uno particular de sistema de referencia móvil. Si consideramos un caso más general de un sistema de referencia que se traslada (sin rotar) con una velocidad \vec{v}_A, la velocidad de las partículas respecto a este sistema es

\vec{v}^{\,\prime}_i=\vec{v}_i-\vec{v}_A

En este sistema, la cantidad de movimiento vale

\vec{p}^{\,\prime}=\sum_im_i(\vec{v}_i-\vec{v}_A) =\vec{p}-M\vec{v}_A

y la derivada de la cantidad de movimiento en este sistema es

\frac{\mathrm{d}\vec{p}^{\,\prime}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}-M\frac{\mathrm{d}\vec{v}_A}{\mathrm{d}t}=\vec{F}_\mathrm{ext}-M\vec{a}_A

Si el sistema de referencia móvil es inercial, \vec{a}_A=\vec{0}, y obtenemos el conocido teorema de la cantidad de movimiento. Si el sistema es acelerado, aparece un término de fuerza adicional, que es una fuerza ficticia, conocida como fuerza de inercia. En el caso de que A sea el centro de masas, los dos términos se cancelan mutuamente y queda \vec{p}^{\,\prime} constante (de hecho, igual a 0, según hemos visto).

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