Diferencia entre revisiones de «Composición de movimientos planos (CMR)»
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(Sin diferencias)
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Revisión actual - 11:39 14 nov 2023
Composiciones de velocidades y aceleraciones
Supongamos que tenemos tres sólidos “1”, “2” y “0” tales que los movimientos {20} y {01} son movimientos planos sobre el mismo plano director (o planos paralelos). En ese caso: La composición de dos movimientos planos paralelos entre sí es otro movimiento plano. Para todo punto P se verifica
En este caso, la fórmula de composición de velocidades angulares se reduce a una suma de cantidades escalares
y lo mismo ocurre para la composición de aceleraciones angulares
Por su parte, la composición de velocidades y aceleraciones se convierte en suma de vectores en el plano, que en muchas ocasiones puede realizarse gráficamente. Así, para la composición de aceleraciones tenemos
Gráficamente, el resultado del último producto corresponde a girar el vector un ángulo de π\/2 en sentido antihorario.
Teorema de los tres centros
En un movimiento plano de tres sólidos en el que los tres movimientos relativos son rotaciones existen tres centros instantáneos de rotación, . En general se verifica el
- Teorema de los tres centros o de Aronhold-Kennedy
- Los tres centros instantáneos de rotación , e están alineados.
Para demostrar el teorema aplicamos la fórmula de composición de velocidades al CIR . Tenemos que
Las velocidades relativa y de arrastre de este punto valen
Sustituyendo en la velocidad absoluta queda
Dado que los dos vectores que se multiplican no pueden ser paralelos esto implica que
Por tanto, puesto que el vector que une con es proporcional al que lo une con , los tres puntos están alineados.
Podemos dar una relación entre las posiciones respecto a un punto de referencia. Si sustituimos en la relación anterior
queda
Vemos entonces que la posición del tercer centro es una media ponderada de las de los otros dos, siendo el peso de cada una la velocidad angular.
Si las dos velocidades van en el mismo sentido, el tercer centro estará en un punto intermedio del segmento. Si van en sentidos opuestos estará en la misma línea pero fuera del segmento.
Esta ley puede escribirse en la forma simétrica
Así, por ejemplo, en el sistema biela-manivela,
Este resultado es generalizable al caso de que alguno de los movimientos sea una traslación. Supongamos que el movimiento de arrastre {01} es una traslación con velocidad de traslación . En ese caso tenemos
Por tanto, la línea que une los centros e es perpendicular a la velocidad de traslación , en cuyo “extremo” se encuentra el CIR (que, por ser una traslación, es un punto del infinito).
Como ilustración consideremos el caso de un carro “3” cuya rueda “2” se encuentra rodando sobre el suelo horizontal “1”.
El teorema de los tres centros permite determinar gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación de sistemas de más de tres sólidos, a partir del conocimiento de algunos de ellos.
- Sólido 0
- La rueda trasera
- Sólido 1
- El suelo
- Sólido 2
- La rueda delantera
- Sólido 3
- El cuadro del velocípedo
Las dos ruedas realizan, respecto del cuadro “3”, movimientos de rotación alrededor de sus respectivos ejes. Por ello, el CIR es el centro de la rueda delantera “2” y el CIR el de la trasera “0”.
Respecto del suelo “1” cada rueda efectúa una rotación instantánea alrededor del punto de contacto. Por ello, el punto de apoyo de la rueda delantera es el CIR y el de la trasera es el .
Nos preguntamos entonces por la posición del CIR , esto es, desde un sistema solidario con la rueda trasera, ¿alrededor de que punto gira la delantera? Por el teorema de los tres centros, se encuentra alineado con y con . Por tanto, debe encontrarse sobre la línea horizontal del suelo. Por el mismo teorema, debe estar alineado con y con , lo que supone que debe hallarse en la recta que une los centros de las dos ruedas. Por ello, debe encontrarse en la intersección de esta recta con la horizontal del suelo. El resultado es un punto que no pertenece al sólido real “0” ni al “2”, sino que se encuentra a una cierta distancia por detrás del vehículo.
Podemos preguntarnos también por la ubicación del CIR , correspondiente al movimiento del cuadro respecto al suelo. Este CIR se encuentra alineado, por un lado con los centros e , y por otro con los centros e . Estas dos rectas, sin embargo, son paralelas, ya que ambos pares de puntos se encuentran sobre sendas verticales. El CIR se encuentra por tanto en el infinito, sobre una dirección perpendicular a la horizontal. Esto corresponde a que el cuadro realiza un movimiento de traslación cuya velocidad es horizontal, indicando el avance del velocípedo.Cálculo analítico del CIR de una composición
Supongamos que tenemos una composición de movimientos {21}={20}+{01} y conocemos los centros instantáneos de rotación y las velocidades angulares, supuestas no nulas, de los movimientos relativos y de arrastre. Si deseamos hallar la posición del CIR del movimiento absoluto, , respecto a un cierto punto O, la fórmula analítica general nos da
Las velocidades relativa y de arrastre corresponden a sendas rotaciones
Llevando esto a la expresión analítica anterior y empleando las propiedades del doble producto vectorial queda
Se trata entonces de una media ponderada de los dos vectores de posición relativos de cada uno de los CCIIR individuales.
- Si las dos rotaciones son en el mismo sentido, el CIR se encuentra en el segmento con extremos los otros dos CCIIR, estando más cerca del correspondiente a una mayor velocidad angular. Si las dos son iguales se encuentra en el punto medio del segmento.
- Si las dos rotaciones son en sentido opuesto, se encuentra en la recta que pasa por e , pero en la parte exterior al segmento que une a estos dos puntos. De nuevo se encuentra más cerca del correspondiente a la velocidad angular de mayor magnitud. Si las dos rotaciones son iguales y opuestas la composición se reduce a una traslación y el CIR se va al infinito.
por lo que la posición del CIR viene dada por
Esta fórmula es fácilmente generalizable a la composición de N rotaciones. Basta hallar la media ponderada de los centros de los diferentes movimientos relativos