Energía de un sistema de cuatro cargas (GIOI)

Enunciado

Halle la energía electrostática almacenada en los siguientes sistemas de cargas puntuales:

1. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q_1=q_2=q_3=q_4=+14\,\mathrm{nC}} .
2. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q_1=q_2=q_3=q_4=-14\,\mathrm{nC}} .
3. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q_1=q_3=+14\,\mathrm{nC}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q_2=q_4=-14\,\mathrm{nC}} .
4. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q_1=q_2=+14\,\mathrm{nC}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q_3=q_4=-14\,\mathrm{nC}} .
5. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q_1=q_4=+14\,\mathrm{nC}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q_2=q_3=-14\,\mathrm{nC}} .

situadas en cada caso en los vértices de un rectángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_1 = \vec{0}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_2 = 7\vec{\imath}}   cm, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_3 = (7\vec{\imath}+24\vec{\jmath} )}  cm, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_2 =24\vec{\jmath}}  cm

Solución

Aplicando, como en el problema “Trabajo para cargas en un triángulo” y en el problema “Energía de un tetraedro de cargas” la energía de un sistema de cargas puntuales

$U_{\mathrm {e} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\mathrm {pares} }{\frac {q_{i}q_{j}}{|{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}|}}$

En este caso, tenemos cuatro posiciones, siempre las mismas y cargas que vale +14 nC o −14 nC. Las distancias entre ellas son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{r}_1-\vec{r}_2|=7\,\mathrm{cm}\qquad |\vec{r}_1-\vec{r}_3|=25\,\mathrm{cm}\qquad |\vec{r}_1-\vec{r}_4|=24\,\mathrm{cm} } Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{r}_2-\vec{r}_3|=24\,\mathrm{cm}\qquad |\vec{r}_2-\vec{r}_4|=25\,\mathrm{cm}\qquad |\vec{r}_3-\vec{r}_4|=7\,\mathrm{cm} }

con esto nos queda la expresión general

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_\mathrm{e}=\frac{9\times10^9\cdot(14\times 10^{-9})^2}{0.01}\left(\frac{s_1s_2+s_3s_4}{7}+\frac{s_1s_4+s_2s_3}{24}+\frac{s_1s_3+s_2s_4}{25}\right)}

con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s_i=+1} o Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s_i=-1} según el signo de las cargas.

Esto nos da los siguientes valores

Caso 1

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s_1=s_2=s_3=s_4=+1}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_e=+79.2\,\mu\mathrm{J}}

Caso 2

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s_1=s_2=s_3=s_4=-1}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_e=79.2\,\mu\mathrm{J}}

Caso 3

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s_1=s_3=+1} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s_2=s_4=-1}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_e=-51.0\,\mu\mathrm{J}}

Caso 4

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s_1=s_2=+1} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s_3=s_4=-1}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_e=+21.6\,\mu\mathrm{J}}

Caso 5

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s_1=s_4=+1} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s_2=s_3=-1}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_e=-49.8\,\mu\mathrm{J}}

Obsérvese que en este problema no todas las energías de dos cargas positivas y dos negativas son iguale. Depende de donde está cada una.