Enunciado

Un rodillo cilíndrico macizo de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} y masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M} se encuentra apoyado sobre una superficie horizontal, siendo el coeficiente de rozamiento (estático y dinámico) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu} . El eje del rodillo está atado a la pared mediante un resorte de constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} y longitud natural Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l_0} .

Se separa el rodillo de la posición de equilibrio una distancia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y se suelta desde el reposo. El rodillo rueda sin deslizar.

  1. Halle la velocidad del centro del rodillo y la velocidad angular para el instante en que su centro pasa por la posición de equilibrio.
  2. ¿Cuánto vale el periodo de las oscilaciones que describe?
  3. Calcule la fuerza de rozamiento estático que ejerce el suelo sobre el rodillo (a) en la posición inicial y (b) al pasar por la posición de equilibrio.
  4. ¿Cuál es el máximo valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} que se puede alejar el rodillo si no se quiere que este empiece a deslizar sobre el suelo?

Introducción

Este problema es muy similar al de una bola que rueda por una pendiente, con la diferencia de que allí la fuerza que hace rodar la bola es el peso y aquí el rodillo rueda por la fuerza elástica.

Velocidades

Este apartado se puede hacer de forma sencilla tanto empleando el balance energético como el de las fuerzas aplicadas.

Mediante el balance de energía

Sobre el rodillo actúan cuatro fuerzas:

  • Su peso, que es vertical y constante.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M\vec{g}=-Mg\vec{\jmath}}
  • La reacción normal del suelo, que dado que no hay desplazamiento vertical, va a ser siempre opuesta al peso.
  • La fuerza elástica, que verifica la ley de Hooke
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_e=-kx\vec{\imath}}
  • La fuerza de rozamiento estático, que es la que consigue que el cilindro ruede sin deslizar
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_r=F_r\vec{\imath}}

De estas cuatro fuerzas, las dos aplicadas en el punto de contacto, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_n} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_r} , no desarrollan potencia alguna, por ser nula la velocidad de este punto. Las otras dos, el peso y la fuerza elástica, son fuerzas conservativas.

Por tanto, se conserva la energía mecánica en este sistema.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_i = E_f\,}

La energía mecánica inicial es solo potencial, ya que el cilindro parte del reposo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_i = \overbrace{K_T}^{=0}+\overbrace{K_R}^{=0} + U_e + U_g = \frac{1}{2}kA^2+MgR}

La energía, cuando pasa por la posición de equilibrio contiene energía cinética de rotación, de traslación y mantiene potencial gravitatoria, ya que no ha subido ni bajado.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_f = \frac{1}{2}M|\vec{v}_C|^2+\frac{1}{2}I|\vec{\omega}|^2+MgR}

Igualando las dos cantidades queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{2}M|\vec{v}_C|^2+\frac{1}{2}I|\vec{\omega}|^2 = \frac{1}{2}kA^2}

Queda relacionar las energías cinéticas de rotación y traslación. Por ser un cilindro macizo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I = \frac{1}{2}MR^2}

y, por estar rodando sin deslizar, las velocidades tienen las direcciones y sentidos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_C=v_C\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{\omega}=\omega \vec{k}}

(en realidad la velocidad va a ir en sentido de x decreciente, pero esto no afecta a esta expresión, simplemente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_C < 0} ) cumpliéndose

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{0}=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{CA}\qquad\Rightarrow\qquad \omega = -\frac{v_C}{R}}

Por tanto, la energía cinética de rotación es igual a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K_R = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}MR^2\right)\left(-\frac{v_C}{R}\right)^2 = \frac{1}{4}Mv_C^2=\frac{K_T}{2}}

Sustituyendo en la ley de conservación de la energía mecánica queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{2}Mv_C^2+\frac{1}{4}Mv_C^2 = \frac{1}{2}kA^2 \qquad\Rightarrow\qquad v_C = -A\sqrt{\frac{2k}{3M}}}

y para la velocidad angular

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega = \frac{A}{R}\sqrt{\frac{2k}{3M}}}

En forma vectorial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_C=-A\sqrt{\frac{2k}{3M}}\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{\omega}=\frac{A}{R}\sqrt{\frac{2k}{3M}}\vec{k}}

Mediante el análisis de fuerzas

El análisis es idéntico al caso general de rodadura con fuerza aplicada, siendo en esta caso la fuerza aplicada la elástica

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_\mathrm{apl}=\vec{F}_e=-kx\vec{\imath}}

de forma que las ecuaciones de movimiento para el sólido son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl}-kx + F_r & = & Ma_c\\ -Mg+F_n & = & 0\end{array}\right.\qquad\qquad I\alpha =RF_r}

donde

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I = \frac{1}{2}MR^2\qquad \qquad \alpha = -\frac{a_C}{R}\qquad\Rightarrow\qquad F_r = -\frac{Ma_C}{2}}

lo que permite eliminar la fuerza de rozamiento estático

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -kx -\frac{Ma_C}{2}=Ma_C\qquad\Rightarrow\qquad a_C = -\frac{2k}{3M}x}

Esta es la ecuación de un oscilador armónico de frecuencia

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_C = -\Omega^2 x \qquad\Rightarrow\qquad \Omega = \sqrt{\frac{2k}{3M}}}

Puesto que el estado inicial es en reposo en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=A} , la solución de esta ecuación de movimiento es

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siendo la velocidad

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En la posición de equilibrio el seno vale la unidad y la velocidad se reduce a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_C = -A\Omega =-A\sqrt{\frac{2k}{3M}}}

con la velocidad angular

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega = \frac{A}{R}\sqrt{\frac{2k}{3M}}}

En forma vectorial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_C=-A\sqrt{\frac{2k}{3M}}\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{\omega}=\frac{A}{R}\sqrt{\frac{2k}{3M}}\vec{k}}

Periodo de oscilación

Este apartado se puede hacer también por balance energético y por análisis de fuerzas, aunque es mucho más sencillo por el segundo método.

Puesto que hemos deducido que el centro de masas cumple la ecuación del oscilador armónico

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_C = -\Omega^2 x \qquad\Rightarrow\qquad \Omega = \sqrt{\frac{2k}{3M}}}

entonces el periodo de oscilación es

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Nótese que el periodo de oscilación no se relaciona directamente con la velocidad angular con que gira el rodillo. Una cosa es el periodo de oscilación de un m.a.s. y otra el periodo de revolución en un movimiento de rotación.

Fuerza de rozamiento estático

Tal como vimos antes, para cualquier posición del rodillo

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En la posición inicial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = A\qquad\Rightarrow\qquad F_r=\frac{kA}{3}}

y en la de equilibrio, en la que el resorte no hace fuerza

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En forma vectorial

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Amplitud máxima

La condición para que no se produzca deslizamiento es que la fuerza de rozamieno estático no supere su valor límite

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lo que nos da la condición

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{kA}{3}\leq \mu Mg \qquad\rightarrow\qquad A \leq \frac{3\mu Mg}{k}}
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