Rodillo unido a un resorte

Enunciado

Un rodillo cilíndrico macizo de radio $R$ y masa $M$ se encuentra apoyado sobre una superficie horizontal, siendo el coeficiente de rozamiento (estático y dinámico) $\mu$. El eje del rodillo está atado a la pared mediante un resorte de constante $k$ y longitud natural $l_{0}$.

Se separa el rodillo de la posición de equilibrio una distancia $A$ y se suelta desde el reposo. El rodillo rueda sin deslizar.

1. Halle la velocidad del centro del rodillo y la velocidad angular para el instante en que su centro pasa por la posición de equilibrio.
2. ¿Cuánto vale el periodo de las oscilaciones que describe?
3. Calcule la fuerza de rozamiento estático que ejerce el suelo sobre el rodillo (a) en la posición inicial y (b) al pasar por la posición de equilibrio.
4. ¿Cuál es el máximo valor de $A$ que se puede alejar el rodillo si no se quiere que este empiece a deslizar sobre el suelo?

Introducción

Este problema es muy similar al de una bola que rueda por una pendiente, con la diferencia de que allí la fuerza que hace rodar la bola es el peso y aquí el rodillo rueda por la fuerza elástica.

Velocidades

Este apartado se puede hacer de forma sencilla tanto empleando el balance energético como el de las fuerzas aplicadas.

Mediante el balance de energía

Sobre el rodillo actúan cuatro fuerzas:

• Su peso, que es vertical y constante.

$M{\vec {g}}=-Mg{\vec {\jmath }}$

• La reacción normal del suelo, que dado que no hay desplazamiento vertical, va a ser siempre opuesta al peso.

${\vec {F}}_{n}=F_{n}{\vec {\jmath }}$

• La fuerza elástica, que verifica la ley de Hooke

${\vec {F}}_{e}=-kx{\vec {\imath }}$

• La fuerza de rozamiento estático, que es la que consigue que el cilindro ruede sin deslizar

${\vec {F}}_{r}=F_{r}{\vec {\imath }}$

De estas cuatro fuerzas, las dos aplicadas en el punto de contacto, ${\vec {F}}_{n}$ y ${\vec {F}}_{r}$, no desarrollan potencia alguna, por ser nula la velocidad de este punto. Las otras dos, el peso y la fuerza elástica, son fuerzas conservativas.

Por tanto, se conserva la energía mecánica en este sistema.

$E_{i}=E_{f}\,$

La energía mecánica inicial es solo potencial, ya que el cilindro parte del reposo

$E_{i}=\overbrace {K_{T}} ^{=0}+\overbrace {K_{R}} ^{=0}+U_{e}+U_{g}={\frac {1}{2}}kA^{2}+MgR$

La energía, cuando pasa por la posición de equilibrio contiene energía cinética de rotación, de traslación y mantiene potencial gravitatoria, ya que no ha subido ni bajado.

$E_{f}={\frac {1}{2}}M|{\vec {v}}_{C}|^{2}+{\frac {1}{2}}I|{\vec {\omega }}|^{2}+MgR$

Igualando las dos cantidades queda

${\frac {1}{2}}M|{\vec {v}}_{C}|^{2}+{\frac {1}{2}}I|{\vec {\omega }}|^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}$

Queda relacionar las energías cinéticas de rotación y traslación. Por ser un cilindro macizo

$I={\frac {1}{2}}MR^{2}$

y, por estar rodando sin deslizar, las velocidades tienen las direcciones y sentidos

${\vec {v}}_{C}=v_{C}{\vec {\imath }}\qquad \qquad {\vec {\omega }}=\omega {\vec {k}}$

(en realidad la velocidad va a ir en sentido de x decreciente, pero esto no afecta a esta expresión, simplemente $v_{C}<0$) cumpliéndose

${\vec {0}}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {CA}}\qquad \Rightarrow \qquad \omega =-{\frac {v_{C}}{R}}$

Por tanto, la energía cinética de rotación es igual a

$K_{R}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}MR^{2}\right)\left(-{\frac {v_{C}}{R}}\right)^{2}={\frac {1}{4}}Mv_{C}^{2}={\frac {K_{T}}{2}}$

Sustituyendo en la ley de conservación de la energía mecánica queda

${\frac {1}{2}}Mv_{C}^{2}+{\frac {1}{4}}Mv_{C}^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\qquad \Rightarrow \qquad v_{C}=-A{\sqrt {\frac {2k}{3M}}}$

y para la velocidad angular

$\omega ={\frac {A}{R}}{\sqrt {\frac {2k}{3M}}}$

En forma vectorial

${\vec {v}}_{C}=-A{\sqrt {\frac {2k}{3M}}}{\vec {\imath }}\qquad \qquad {\vec {\omega }}={\frac {A}{R}}{\sqrt {\frac {2k}{3M}}}{\vec {k}}$

Mediante el análisis de fuerzas

El análisis es idéntico al caso general de rodadura con fuerza aplicada, siendo en esta caso la fuerza aplicada la elástica

${\vec {F}}_{\mathrm {apl} }={\vec {F}}_{e}=-kx{\vec {\imath }}$

de forma que las ecuaciones de movimiento para el sólido son

$\left\{{\begin{array}{rcl}-kx+F_{r}&=&Ma_{c}\\-Mg+F_{n}&=&0\end{array}}\right.\qquad \qquad I\alpha =RF_{r}$

donde

$I={\frac {1}{2}}MR^{2}\qquad \qquad \alpha =-{\frac {a_{C}}{R}}\qquad \Rightarrow \qquad F_{r}=-{\frac {Ma_{C}}{2}}$

lo que permite eliminar la fuerza de rozamiento estático

$-kx-{\frac {Ma_{C}}{2}}=Ma_{C}\qquad \Rightarrow \qquad a_{C}=-{\frac {2k}{3M}}x$

Esta es la ecuación de un oscilador armónico de frecuencia

$a_{C}=-\Omega ^{2}x\qquad \Rightarrow \qquad \Omega ={\sqrt {\frac {2k}{3M}}}$

Puesto que el estado inicial es en reposo en $x=A$, la solución de esta ecuación de movimiento es

$x=A\cos(\Omega t)\,$

siendo la velocidad

$v_{C}={\dot {x}}=-A\Omega \,\mathrm {sen} (\Omega t)$

En la posición de equilibrio el seno vale la unidad y la velocidad se reduce a

$v_{C}=-A\Omega =-A{\sqrt {\frac {2k}{3M}}}$

con la velocidad angular

$\omega ={\frac {A}{R}}{\sqrt {\frac {2k}{3M}}}$

En forma vectorial

${\vec {v}}_{C}=-A{\sqrt {\frac {2k}{3M}}}{\vec {\imath }}\qquad \qquad {\vec {\omega }}={\frac {A}{R}}{\sqrt {\frac {2k}{3M}}}{\vec {k}}$

Periodo de oscilación

Este apartado se puede hacer también por balance energético y por análisis de fuerzas, aunque es mucho más sencillo por el segundo método.

Puesto que hemos deducido que el centro de masas cumple la ecuación del oscilador armónico

$a_{C}=-\Omega ^{2}x\qquad \Rightarrow \qquad \Omega ={\sqrt {\frac {2k}{3M}}}$

entonces el periodo de oscilación es

$T={\frac {2\pi }{\Omega }}=2\pi {\sqrt {\frac {3M}{2k}}}$

Nótese que el periodo de oscilación no se relaciona directamente con la velocidad angular con que gira el rodillo. Una cosa es el periodo de oscilación de un m.a.s. y otra el periodo de revolución en un movimiento de rotación.

Fuerza de rozamiento estático

Tal como vimos antes, para cualquier posición del rodillo

$F_{r}=-{\frac {Ma_{C}}{2}}=-{\frac {M}{2}}\left(-{\frac {2k}{3M}}x\right)={\frac {kx}{3}}$

En la posición inicial

$x=A\qquad \Rightarrow \qquad F_{r}={\frac {kA}{3}}$

y en la de equilibrio, en la que el resorte no hace fuerza

$x=0\qquad \Rightarrow \qquad F_{r}=0$

En forma vectorial

${\vec {F}}_{r}(x=A)={\frac {kA}{3}}{\vec {\imath }}\qquad \qquad {\vec {F}}_{r}(x=0)={\vec {0}}$

Amplitud máxima

La condición para que no se produzca deslizamiento es que la fuerza de rozamieno estático no supere su valor límite

$|{\vec {F}}_{r}|\leq \mu |{\vec {F}}_{n}|$

lo que nos da la condición

${\frac {kA}{3}}\leq \mu Mg\qquad \rightarrow \qquad A\leq {\frac {3\mu Mg}{k}}$