Enunciado
Una esfera metálica de acero con radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R=5\,\mathrm{cm}}
) se encuentra inicialmente en reposo a una altura 
y desciende rodando sin deslizar por el plano inclinado con un ángulo 
. El coeficiente de rozamiento estático entre el plano y el cilindro es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu}
. El rozamiento por rodadura es despreciable.
- ¿Qué relación existe entre la aceleración angular de la esfera y la lineal de su centro de masas?
- ¿Cuánto valen la energía cinética de rotación, la cinética de traslación, la potencial (tomando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=0}
como referencia) y la mecánica cuando se halla en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=5\,\mathrm{m}}
?
- ¿Cuánto vale, en módulo, la aceleración lineal del centro de masas de la esfera?
- ¿Cuál es el valor mínimo que debe tener el coeficiente de rozamiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu}
si la esfera rueda sin deslizar?
Dato: Momento de inercia de una esfera de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M}
y radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R}
respecto a un eje que pasa por su centro: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I = (2/5)MR^2}
. Aceleración de
la gravedad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g = 9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2}
. Densidad de masa del acero: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho = 7850\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3}
.
Introducción
Este problema es una consecuencia inmediata de lo que se discute en teoría sobre rodadura, siendo en este caso la fuerza aplicada la componente útil del peso (la tangencial al plano).
Relación entre aceleraciones
Elegimos un sistema de ejes en el que el eje OX es el tangencial al plano en la dirección de descenso (contando x desde el punto de partida), OY el normal al plano hacia fuera de él y OZ el perpendicular a la figura y en el sentido hacia afuera de ésta (o de la pantalla).
En este sistema, la velocidad y la aceleración del CM es en la dirección de movimiento, es decir
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_C=v_C\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{a}_C = a_C\vec{\imath}}
mientras que la velocidad y la aceleración angular son perpendiculares al plano de la figura
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=\omega\vec{k}\qquad \vec{\alpha}=\alpha\vec{k}}
Por estar rodando sin deslizar, se anula la velocidad del punto A de contacto entre la bola y el suelo.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{0}=\vec{v}_A=\vec{v}_C+\vec{\omega}\times\overrightarrow{CA}}
siendo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{CA}=-R\vec{\jmath}}
sustituyendo en la expresión anterior llegamos a la relación escalar
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_C+\omega R = 0\qquad\Rightarrow\qquad \omega = -\frac{v_C}{R}}
y derivando en esta expresión
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha = -\frac{a_C}{R}}
Esta es una relación escalar entre componentes. Los vectores tienen direcciones diferentes
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_C=a_C\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{\alpha}=-\frac{a_C}{R}\vec{k}}
Para nuestro caso concreto, empleando el SI, queda la relación
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R = 0.05\,\mathrm{m}\qquad\Rightarrow\qquad \alpha = -20a_C}
Energías
Las únicas fuerzas que actúan sobre la esfera son su peso (que es una fuerza conservativa) y la de rozamiento estático, que no realiza trabajo por ser nula la velocidad del punto de contacto.
Esto quiere decir que en este sistema se conserva la energía mecánica
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K_T+K_R+U = E=\mathrm{cte}\,}
Inicialmente, la esfera está en reposo a una altura H = 15 m, por lo que el valor de la energía mecánica es en todo momento
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E = U_0 = MgH = 604\,\mathrm{J}}
siendo la masa
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M = \rho V = \frac{4\pi}{3}R^3=4.11\,\mathrm{kg}}
Cuando está a una altura h = 5 m, la energía potencial se ha reducido a
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U = M g h = 201\,\mathrm{J}}
y el resto de la energía mecánica se ha ido en energía cinética. Para ver cómo se reparte entre energía de rotación y de traslación observamos que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K_T = \frac{1}{2}M|\vec{v}_C|^2\qquad\qquad K_R = \frac{1}{2}I|\vec{\omega}^2}
Estas dos cantidades se relacionan observando que para una esfera que rueda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I = \frac{2}{5}MR^2\qquad\qquad |\vec{\omega}|=\frac{|\vec{v}_C|}{R}}
y por tanto
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K_R = \frac{1}{2}I|\vec{\omega}^2= \frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}MR^2\right)\left(\frac{|\vec{v}_C|}{R}\right)^2 = \frac{2}{5}K_T}
Llevando esto a la ley de conservación de la energía mecánica
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K_T + \frac{2}{5}K_T + U = E\qquad\Rightarrow\qquad K_T = \frac{5}{7}(E-U)}
siendo su valor numérico
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K_T = \frac{5}{7}(604-201)\,\mathrm{J}= 288\,\mathrm{J}}
La energía cinética de rotación es proporcional a ésta, según acabamos de ver
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K_R = \frac{2}{5}K_T = \frac{2}{7}(E-U) = 115\,\mathrm{J}}
Aceleración
Las aceleraciones (la del CM y la angular) las podemos hallar por el análisis de las fuerzas o por el de la energía.
A partir de las fuerzas
El análisis es idéntico al discutido en teoría para la rodadura con fuerza aplicada.
Sobre la bola actúan dos fuerzas:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M\vec{g}=Mg\,\mathrm{sen}(\beta)\vec{\imath}-Mg\cos(\beta)\vec{\jmath}}
- La fuerza en el punto de contacto; la cual se compone a su vez de una fuerza de reacción normal y de una fuerza de rozamiento estático
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}=\vec{F}_r + \vec{F}_n = -F_r\vec{\imath}+F_n\vec{\jmath}}
Vemos que, en este caso, la fuerza aplicada es la componente del peso en la dirección tangencial al plano
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_\mathrm{apl}=Mg\,\mathrm{sen}(\beta)\vec{\imath}}
Las leyes de la dinámica para el sólido nos dan para las fuerzas, separando por componentes
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl} -F_r +Mg\,\mathrm{sen}(\beta)& = & Ma_C \\ -Mg\cos(\beta)+F_n & = & 0 \end{array}\right.}
y para los momentos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I\vec{\alpha}=\vec{M}_C\qquad\Rightarrow\qquad -F_rR=I\alpha=-\frac{Ia_c}{R}}
La solución de este sistema es, para la aceleración lineal
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_C=\frac{Mg\,\mathrm{sen}(\beta)}{M+I/R^2}=\frac{5}{7}g\,\mathrm{sen}(\beta)=3.5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}
Para la angular
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha = -\frac{a_C}{R}=-70\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}}
y para la fuerza de rozamiento estático
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_r = \frac{Ia_C}{R^2}=\frac{2}{5}Ma_C = \frac{2}{7}Mg\,\mathrm{sen}(\beta) = 5.75\,\mathrm{N}}
En forma vectorial, cada una de estas tres cantidades tienen las direcciones indicandas anteriormente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_C = a_C\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{\alpha}=\alpha\vec{k}\qquad\qquad \vec{F}_r=-F_r\vec{\imath} }
A partir de la energía
Antes dedujimos que, para cualquier instante se cumple
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K_T + K_R + U = E\qquad\qquad K_R = \frac{2}{5}K_T}
Sustituyendo aquí las diferentes expresiones queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{7}{10}Mv_C^2 + mgh = MgH}
Si aquí derivamos respecto al tiempo, obtenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{7}{5}Mv_Ca_C + mg\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=0}
La cantidad dh/dt mide como aumenta h con el tiempo. Aplicando que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h = H - x\,\mathrm{sen}(\beta)\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=-v_C\,\mathrm{sen}(\beta)}
obtenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{7}{5}Mv_Ca_C - mgv_C\,\mathrm{sen}(\beta)=0}
y despejamos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_C = \frac{5}{7}g\,\mathrm{sen}(\beta)}
De aquí podemos calcular ahora la aceleración angular. Desgraciadamente, este método no nos da de forma inmediata la fuerza de rozamiento.
Coeficiente de rozamiento mínimo
Antes hemos visto que, de las leyes de la dinámica obteníamos los valores de las fuerzas en el punto de contacto
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_r = \frac{2}{7}Mg\,\mathrm{sen}(\beta)\qquad \qquad F_n = Mg\cos(\beta)}
Para que no haya deslizamiento debe cumplirse que la fuerza de rozamiento esté por debajo de su valor límite
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_r\leq \mu F_n\,}
lo que nos da
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{2}{7}Mg\,\mathrm{sen}(\beta) \leq \mu Mg\cos(\beta)\qquad\Rightarrow\qquad \mu > \frac{2}{7}\mathrm{tg}(\beta) = 0.165}
Por debajo de este coeficiente de fricción, la bola empezaría a patinar.
