Partícula ensartada en un aro circular (GIA)

Enunciado

Se tiene un aro circular de radio $R$. Engarzado en él hay una masa $m$ que puede deslizar siguiendo la circunferencia del aro bajo la acción de la gravedad.

1. Suponiendo que el contacto es liso, encuentra las ecuaciones que describen el movimiento de la masa en función del ángulo $\alpha$ de la figura.
2. Soltamos la masa con velocidad inicial nula y un ángulo inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_0\ll1} . Encuentra la función Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha(t)} que describe el movimiento de la masa.
3. Supongamos ahora que nos dicen que la masa realiza un movimiento circular uniforme con frecuencia angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega} . Encuentra la expresión de la fuerza de ligadura en función del ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} . ¿Es constante? En este caso, ¿el vínculo es liso o rugoso?

Solución

Ecuaciones de movimiento

Tenemos una partícula vinculada, pues está obligada a moverse siguiendo la circunferencia del aro. Se trata de un vínculo bilateral, geométrico (no aparece la velocidad) y esclerónomo (no aparece explícitamente el tiempo pues el aro no se mueve). Nos dice el enunciado que es además liso, esto es, la fuerza de reacción vincular que sustituye a la ligadura es perpendicular a la superficie del anillo. Las ecuaciones que definen el vínculo son las de una circunferencia de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} , en el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXY} y centrada en el origen de coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} :

$\Gamma \equiv \left\{{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=R^{2}\\\\z=0\end{array}}\right.$

Hemos escrito las ecuaciones en coordenadas cartesianas, usando el sistema de ejes de la figura.

Como hay dos ecuaciones vinculares, y una partícula libre tiene 3 grados de libertad, el número de grados de libertad del problema es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r=3-2=1} . Por tanto, basta con un parámetro para describir la posición de la partícula. Usaremos el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)} .

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son el peso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{g}} , que es la fuerza activa, y la fuerza de reacción vincular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \boldsymbol{\Phi}} , que sustituye al vínculo. La ecuación de movimiento de la partícula se obtiene de la Segunda Ley de Newton teniendo sustituyendo el vínculo por la fuerza de reacción vincular

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a} = \ddot{\vec{r}} = \frac{1}{m}\left(m\vec{g} + \vec{\Phi}\right) }

Tenemos dos incógnitas en el problema, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t) } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Phi(t) } . Necesitamos por tanto dos ecuaciones. Para obtenerlas hemos de proyectar la Segunda Ley en un sistema de ejes y convertir la ecuación vectorial en dos ecuaciones escalares. Vamos a hacerlo usando tres técnicas distintas: en el triedro intrínseco, en coordenadas polares y en los ejes cartesianos

Obtención de las ecuaciones de movimiento usando coordenadas polares

Artículo completo: Coordenadas polares

En coordenadas polares los vectores de posición, velocidad y aceleración de la partícula son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{r}(t) = r\,\vec{u}_{\rho} \\ \vec{v} = \dot{r}\,\vec{u}_{\rho} + r\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}\\ \vec{a} = (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\,\vec{u}_{\rho} + (2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\,\vec{u}_{\theta} \end{array} }

En nuestro caso la coordenada radial es constante, pues se la partícula se mueve sobre una circunferencia. Por tanto, $r=R$ y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{r}=\ddot{r}=0 } . La velocidad y aceleración quedan

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{v} = R\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} \\ \vec{a} = -R\dot{\theta}^2\,\vec{u}_{\rho} + R\ddot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} \end{array} }

Como se observa en la figura las proyecciones de la fuerza de reacción vincular y la aceleración de la gravedad en los vectores de la base en polares son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{\Phi} = -\Phi\,\vec{u}_{\rho}\\ \vec{g} = -g \,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{u}_{\rho} - g\cos\theta\,\vec{u}_{\theta} \end{array} }

El signo menos en la fuerza de reacción vincular es para que el signo de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Phi } coincida con el de la proyección en el triedro intrínseco.

Obtención de las ecuaciones de movimiento proyectando en el triedro intrínseco

La trayectoria que sigue la partícula es una circunferencia. Podemos calcular los vectores que forman el triedro intrínseco en cada punto de la circunferencia. El vector de posición de un punto de la circunferencia parametrizado en función de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta } es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} x(\theta) = R\,\cos\theta\\ y(\theta) = R\,\mathrm{sen}\,\theta\\ z=0 \end{array} }

El vector tangente es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T} = \frac{\displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}}{\left|\displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\right|} = -\mathrm{sen}\theta\,\vec{\imath} + \cos\theta\,\vec{\jmath} }

El vector tangente apunta en la dirección en que varía ${\vec {T}}$. Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N} = \frac{\displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}\theta}}{\left|\displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}\theta}\right|} = -\cos\theta\,\vec{\imath} - \mathrm{sen}\theta\,\vec{\jmath} }

La figura muestra la dirección y sentido del triedro intrínseco para un valor del ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta } . Debemos proyectar en esta base los dos términos de la Segunda ley. Para la aceleración utilizamos los resultados que hemos obtenido para el movimiento circular

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a} = a_T\vec{T} + a_N\vec{N} = R\ddot{\theta}\,\vec{T} + R\,\dot{\theta}^2\vec{N} }

Como el vínculo es liso, la fuerza de reacción vincular es perpendicular al aro. Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi} = \Phi\,\vec{N} }

No hay que olvidar que la componente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Phi } puede ser positiva o negativa. En el dibujo tendría un valor negativo. Por último, de la figura vemos que la aceleración de la gravedad se proyecta en el triedro intrínseco como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{g} = -g\cos\theta\,\vec{T} + g\,\mathrm{sen}\theta\,\vec{N} }

A partir de la Segunda Ley (ecuación vectorial) obtenemos dos ecuaciones escalares (una de las componentes en ${\vec {T}}$ y otra de las componentes en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N} }

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a} = \vec{g} +\frac{1}{m}\vec{\Phi} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{lr} R\,\ddot{\theta} = -g\cos\theta & (\vec{T}) \\ &\\ R\,\dot{\theta}^2 = g\,\mathrm{sen}\theta + \frac{\displaystyle \Phi}{\displaystyle m}&(\vec{N}) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{lcl} \ddot{\theta} = -\frac{\displaystyle g}{\displaystyle R}\cos\theta & \to &\theta(t) \\ &&\\ \Phi(t) = mR\dot{\theta}^2 - mg\,\mathrm{sen}\theta & \to &\Phi(t) \end{array} \right. }

Resolviendo la primera ecuación obtendríamos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t) } y de la segunda tendríamos la fuerza de reacción vincular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Phi(t) } .

Obtención de las ecuaciones de movimiento usando coordenadas cartesianas

Por último, vamos a encontrar las ecuaciones de movimiento usando coordenadas cartesianas. Vamos a ver que este es el método que obliga a cálculos más laboriosos.

Utilizamos el ángulo $\theta (t)$ para parametrizar el movimiento. Los vectores de posición, velocidad y aceleración son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{r}(t) = \vec{r}[\theta(t)] = x[\theta(t)]\,\vec{\imath} + y[\theta(t)]\,\vec{\jmath}\\ \\ \vec{v} = \dot{\vec{r}} = \frac{\displaystyle \mathrm{d}\vec{r}}{\displaystyle\mathrm{d}\theta} \frac{\displaystyle\mathrm{d}\theta}{\displaystyle\mathrm{d} t} = -R\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + R\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}\\ \\ \vec{a} = \dot{\vec{v}} = \dfrac{\partial \vec{r}}{\partial \theta}\,\dot{\theta}+\dfrac{\partial \vec{r}}{\partial \dot{\theta}}\,\ddot{\theta} = (-R\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta-R\dot{\theta}^2\cos\theta)\,\vec{\imath} + (R\ddot{\theta}\cos\theta-R\dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\jmath} \end{array} }

La expresión de la fuerza de reacción vincular y la aceleración de la gravedad en los vectores de la base cartesianas es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{\Phi} = \Phi\cos\theta\,\vec{\imath} + \Phi\,\mathrm{sen}\,\vec{\jmath} \\ \vec{g} = -g\,\vec{\jmath} \end{array} }

Escribimos la Segunda Ley de Newton en coordenadas cartesianas e igualamos componente a componente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a} = \vec{g}+\frac{1}{m}\vec{\Phi} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} -R\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta-R\dot{\theta}^2\cos\theta = \Phi\cos\theta \\ R\ddot{\theta}\cos\theta-R\dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta = -g + \Phi\,\mathrm{sen}\,\theta \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} -R\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta-R\dot{\theta}^2\cos\theta = \Phi\cos\theta \\ R\ddot{\theta}\cos\theta-R\dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta +g = \Phi\,\mathrm{sen}\,\theta \end{array} \right. }

Dividiendo una ecuación por la otra y multiplicando en aspa tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\displaystyle -R\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta-R\dot{\theta}^2\cos\theta} {\displaystyle R\ddot{\theta}\cos\theta-R\dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\theta +g} =\frac{\displaystyle \cos\theta}{\displaystyle \mathrm{sen}\,\theta} \Rightarrow -R\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}^2\theta - R\dot{\theta}^2\cos\theta\,\mathrm{sen}\,\theta =R\ddot{\theta}\cos^2\theta - R\dot{\theta}^2\cos\theta\,\mathrm{sen}\,\theta + g\cos\theta }

El término con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos\theta\,\mathrm{sen}\,\theta } a ambos lados de la igualdad. Utilizando la igualdad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{sen}^2\theta + \cos^2\theta = 1 } llegamos de nuevo a la ecuación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\theta} = -\frac{\displaystyle g}{\displaystyle R}\cos\theta }

La expresión para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Phi(t) } se obtiene despejando en las ecuaciones.

Resolución de la ecuación de movimiento

La ecuación diferencial que define el movimiento es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\theta} = -\frac{\displaystyle g}{\displaystyle R}\cos\theta }

Para resolver el problema, necesitaríamos dos condiciones iniciales, por ejemplo, un ángulo inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta_0} y una velocidad inicial $v_{0}$. A partir de la expresión de la velocidad en coordenadas polares vemos que una condición sobre la velocidad se convierte en una condición sobre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}(0)}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\dot{\vec{r}}|(0)=v_0\Longrightarrow \dot{\theta}(0)=v_0/R }

De este modo el problema se plantearía como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \ddot{\theta} = -\frac{\displaystyle g}{\displaystyle R}\cos\theta\\ \\ \theta(0)=\theta_0\\ \\ \dot{\theta}(0)=v_0/R \end{array} }

Este problema no se puede resolver en términos de funciones elementales. En el siguiente apartado veremos un límite en el que el problema sí es resoluble. Para ello, vamos a describir el movimiento en función del ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha} de la figura. Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \alpha(t) -\theta(t)=\pi/2\Longrightarrow \dot{\theta}=\dot{\alpha} \Longrightarrow\ddot{\theta}=\ddot{\alpha}\\ \\ \cos\theta=\cos(\alpha-\pi/2)=\,\mathrm{sen}\,\alpha\\ \\ \alpha_0=\theta_0+\pi/2 \end{array} }

Por tanto el problema en términos de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha(t)} queda planteado como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \ddot{\alpha} = -\frac{\displaystyle g}{\displaystyle R}\,\mathrm{sen}\,\alpha\\ \\ \alpha(0)=\alpha_0\\ \\ \dot{\alpha}(0)=v_0/R \end{array} }

Caso de ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \boldsymbol{\alpha}} pequeño

Si nos restringimos al caso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha\ll1} , el problema tiene solución sencilla. Usando el desarrollo de Maclaurin (es decir, el desarrollo de Taylor cerca de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=0} ), la función Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\mathrm{sen}\,\alpha} en las proximidades de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=0} se puede expresar como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\mathrm{sen}\,\alpha=\left.\,\mathrm{sen}\,\alpha\right|_{\alpha=0} +\left.\frac{\mathrm{d}(\,\mathrm{sen}\,\alpha)}{\mathrm{d}\alpha}\right|_{\alpha=0}\alpha+O(\alpha^2) }

Por tanto, despreciando términos de orden superior obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\mathrm{sen}\,\alpha\simeq\alpha }

Nos dice el enunciado que la partícula parte del reposo ($v_{0}=0$) y con un ángulo inicial $\alpha _{0}$. El problema queda

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Buscamos soluciones de la forma

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha(t)=A\,\cos(\omega t)+B\,\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\qquad\qquad\omega=\sqrt{g/R} }

Imponiendo las condiciones iniciales obtenemos que el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha(t)} viene dado por

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha(t)=\alpha_0\cos(\omega t)\qquad\qquad\omega=\sqrt{g/R} }

Esto quiere decir que la partícula realiza oscilaciones de amplitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_0} alrededor del punto más bajo del aro, y con un período

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = \frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}} }

Movimiento circular uniforme

En este caso el dato es el movimiento. Se nos dice que la partícula recorre el aro con un movimiento circular uniforme de frecuencia angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}=\Omega} . Por tanto la aceleración angular es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\theta}=0} . Con esto podemos determinar su posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{r}(t) = R\vec{u}_{\rho}(t)\\ \\ \dot{\vec{r}}(t)=R\Omega\,\vec{u}_{\theta}\\ \\ \ddot{\vec{r}}(t)=-R\Omega^2\,\vec{u}_{\rho} \end{array} }

Y ahora usamos la Segunda Ley de Newton para determinar la fuerza de reacción vincular en función de la posición de la partícula

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} m\ddot{\vec{r}}=m\vec{g}+\boldsymbol{\Phi}\Rightarrow \boldsymbol{\Phi}=m\ddot{\vec{r}}-m\vec{g} \\ \\ \boldsymbol{\Phi} = m(g\,\mathrm{sen}\,\theta-R\Omega^2)\,\vec{u}_{\rho}+mg\cos\theta\,\vec{u}_{\theta} \end{array} }

En la figura se muestra la fuerza de reacción vincular para cuatro posiciones de la partícula. En este caso se tiene Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\Omega^2>g} , por lo que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \boldsymbol{\Phi}(\theta=\pi/2)} apunta hacia abajo. Puede observarse que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \boldsymbol{\Phi}} tiene componente tangencial, por lo que el vínculo sería rugoso.

Comentarios sobre el caso de ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \boldsymbol{\alpha}} grande

En el segundo apartado hemos visto la solución para ángulo pequeño. Decíamos que cuando el ángulo es pequeño la función Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin\alpha} se puede sustituir por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha} . Podemos preguntarnos que quiere decir pequeño . La respuesta está en el desarrollo de Taylor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\mathrm{sen}\,\alpha} . Incluyendo los dos primeros términos este desarrollo es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\mathrm{sen}\,\alpha=\alpha-\frac{\alpha^3}{3!}+O(\alpha^5) }

Al despreciar el segundo término estamos imponiendo la condición

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\alpha^3/3!}{\alpha}\ll1\Longrightarrow \alpha\ll\sqrt{6}=2.45 }

Si imponemos por ejemplo que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_0^{\mathrm{max}}} sea el 10% ese valor límite, obtenemos un valor máximo del ángulo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_0^{\mathrm{max}}=0.245\,\mathbf{rad}=14.0^o }

La gráfica adjunta muestra la función Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\mathrm{sen}\,\alpha} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha} en las proximidades de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=0} . Puede observarse que para $\alpha \leq \alpha _{0}^{\mathrm {max} }$ las dos funciones son prácticamente iguales.

Podemos también resolver numéricamente el problema para un ángulo cualquiera y comparar las soluciones. Como condición inicial vamos a situar la partícula en el punto mas bajo del aro, e ir variando la velocidad inicial. Para valores pequeños de ésta, la amplitud de oscilación será pequeña y se cumplirá la condición de ángulo pequeño. Para velocidades iniciales grandes la bolita sube mucho y el ángulo ya no podrá considerarse pequeño. El problema es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \ddot{\alpha}=-\frac{\displaystyle g}{\displaystyle R}\,\mathrm{sen}\,\alpha\\ \\ \alpha(0)=0\\ \\ \dot{\alpha}(0)=v_0/R \end{array} }

La figura muestra la evolución de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha(t)} para un ángulo máximo muy pequeño y otro ángulo máximo próximo a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi} (la partícula llega casi hasta el punto más alto del aro). En el primer caso la solución tiene forma de seno, pues se cumple Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha(t)\ll\alpha_0^{\mathrm{max}}} . En el segundo caso se ve claramente que ya no es una función seno. El ángulo está escalado con su valor máximo y el tiempo con el período correspondiente al oscilador armónico.

En la misma gráfica se observa que, para ángulos grandes, la función sigue siendo periódica, aunque no sea senoidal. Pero su período va aumentando con el ángulo. Se puede calcular la variación del período en función del ángulo máximo alcanzado. El resultado se muestra en la gráfica de la izquierda. Para ángulos máximos pequeños, el período es el del caso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha\ll1} (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T=T_0} ). Conforme se alcanzan ángulos mayores (la partícula llega más arriba) el período se va haciendo más grande, y tiende a infinito si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_0^{\mathrm{max}}=\pi} .