Se tiene un aro circular de radio . Engarzado en él hay una masa que puede deslizar siguiendo la circunferencia del aro bajo la acción de la gravedad.
Suponiendo que el contacto es liso, encuentra las ecuaciones que describen el movimiento de la masa en función del ángulo de la figura.
Soltamos la masa con velocidad inicial nula y un ángulo inicial . Encuentra la función que describe el movimiento de la masa.
Supongamos ahora que nos dicen que la masa realiza un movimiento circular uniforme con frecuencia angular . Encuentra la expresión de la fuerza de ligadura en función del ángulo . ¿Es constante? En este caso, ¿el vínculo es liso o rugoso?
Solución
Ecuaciones de movimiento
Tenemos una partícula vinculada, pues está obligada a moverse
siguiendo la circunferencia del aro. Se trata de un vínculo bilateral,
geométrico (no aparece la velocidad) y esclerónomo (no aparece
explícitamente el tiempo pues el aro no se mueve). Nos dice el
enunciado que es además liso, esto es, la fuerza de reacción vincular
que sustituye a la ligadura es perpendicular a la superficie del
anillo. Las ecuaciones que definen el vínculo son las de una
circunferencia de radio , en el plano y centrada en el origen
de coordenadas :
Hemos escrito las ecuaciones en coordenadas cartesianas, usando el sistema de ejes de la figura.
Como hay dos ecuaciones vinculares, y una partícula libre tiene 3
grados de libertad, el número de grados de libertad del problema es
. Por tanto, basta con un parámetro para describir la
posición de la partícula. Usaremos el ángulo .
Las fuerzas que actúan sobre la partícula son el peso , que es la
fuerza activa, y la fuerza de reacción vincular ,
que sustituye al vínculo. La ecuación de movimiento de la partícula se obtiene de la Segunda
Ley de Newton teniendo sustituyendo el vínculo por la fuerza de reacción vincular
Tenemos dos incógnitas en el problema, y . Necesitamos
por tanto dos ecuaciones. Para obtenerlas hemos de proyectar la Segunda Ley en un sistema de ejes
y convertir la ecuación vectorial en dos ecuaciones escalares. Vamos a hacerlo usando tres técnicas
distintas: en el triedro intrínseco, en coordenadas polares y en los ejes cartesianos
Obtención de las ecuaciones de movimiento usando coordenadas polares
En coordenadas polares los vectores de posición, velocidad y aceleración de la partícula son
En nuestro caso la coordenada radial es constante, pues se la partícula se mueve sobre una
circunferencia. Por tanto, y . La velocidad y aceleración quedan
Como se observa en la figura las proyecciones de la fuerza de reacción vincular y la
aceleración de la gravedad en los vectores de la base en polares son
El signo menos en la fuerza de reacción vincular es para que el signo de coincida
con el de la proyección en el triedro intrínseco.
Obtención de las ecuaciones de movimiento proyectando en el triedro intrínseco
La trayectoria que sigue la partícula es una circunferencia. Podemos calcular los vectores que forman
el triedro intrínseco en cada punto de la circunferencia. El vector de posición de un punto de
la circunferencia parametrizado en función de es
El vector tangente es
El vector tangente apunta en la dirección en que varía . Por tanto
La figura muestra la dirección y sentido del triedro intrínseco para un valor del ángulo . Debemos proyectar en esta base los dos términos de la Segunda ley. Para la aceleración
utilizamos los resultados que hemos obtenido para el movimiento circular
Como el vínculo es liso, la fuerza de reacción vincular es perpendicular al aro. Por tanto
No hay que olvidar que la componente puede ser positiva o negativa. En el dibujo
tendría un valor negativo.
Por último, de la figura vemos que la aceleración de la gravedad se proyecta en el triedro intrínseco como
A partir de la Segunda Ley (ecuación vectorial) obtenemos dos ecuaciones escalares (una de las
componentes en y otra de las componentes en
Resolviendo la primera ecuación obtendríamos y de la segunda tendríamos
la fuerza de reacción vincular .
Obtención de las ecuaciones de movimiento usando coordenadas cartesianas
Por último, vamos a encontrar las ecuaciones de movimiento usando coordenadas cartesianas. Vamos a
ver que este es el método que obliga a cálculos más laboriosos.
Utilizamos el ángulo para parametrizar el movimiento. Los vectores de posición,
velocidad y aceleración son
La expresión de la fuerza de reacción vincular y la aceleración de la gravedad en los vectores de la base
cartesianas es
Escribimos la Segunda Ley de Newton en coordenadas cartesianas e igualamos componente a componente
Dividiendo una ecuación por la otra y multiplicando en aspa tenemos
El término con a ambos lados de la igualdad. Utilizando la
igualdad llegamos de nuevo a la ecuación
La expresión para se obtiene despejando en las ecuaciones.
Resolución de la ecuación de movimiento
La ecuación diferencial que define el movimiento es
Para resolver el problema, necesitaríamos dos
condiciones iniciales, por ejemplo, un ángulo inicial
y una velocidad inicial . A partir de la expresión de la velocidad
en coordenadas polares
vemos que una condición sobre la velocidad se convierte en una
condición sobre
De este modo el problema se plantearía como
Este problema no se puede resolver en términos de funciones
elementales. En el siguiente apartado veremos un límite en el que el
problema sí es resoluble. Para ello, vamos a describir el movimiento
en función del ángulo de la figura. Tenemos
Por tanto el problema en términos de queda planteado como
Caso de ángulo pequeño
Si nos restringimos al caso , el problema tiene solución
sencilla. Usando el desarrollo de Maclaurin (es decir, el desarrollo
de Taylor cerca de ), la función en las
proximidades de se puede expresar como
Por tanto, despreciando términos de orden superior obtenemos
Nos dice el enunciado que la partícula parte del reposo () y
con un ángulo inicial . El problema queda
Buscamos soluciones de la forma
Imponiendo las condiciones iniciales obtenemos que el ángulo viene
dado por
Esto quiere decir que la partícula realiza oscilaciones de amplitud
alrededor del punto más bajo del aro, y con un período
Movimiento circular uniforme
En este caso el dato es el movimiento. Se nos dice que la partícula
recorre el aro con un movimiento circular uniforme de frecuencia
angular . Por tanto la aceleración angular es
. Con esto podemos determinar su posición, velocidad
y
aceleración en función del tiempo.
Y ahora usamos la Segunda Ley de Newton para determinar la fuerza de
reacción vincular en función de la posición de la partícula
En la figura se muestra la fuerza de reacción vincular para cuatro
posiciones de la partícula. En este caso se tiene , por
lo que apunta hacia abajo. Puede
observarse que tiene componente tangencial, por lo
que el vínculo sería rugoso.
Comentarios sobre el caso de ángulo grande
En el segundo apartado hemos visto la solución para ángulo
pequeño. Decíamos que cuando el ángulo es pequeño la función se puede sustituir por . Podemos preguntarnos que quiere decir pequeño . La
respuesta está en el desarrollo de Taylor de . Incluyendo
los dos primeros términos este desarrollo es
Al despreciar el segundo término estamos imponiendo la condición
Si imponemos por ejemplo que sea el 10%
ese valor límite, obtenemos un valor máximo del ángulo
La gráfica adjunta muestra la función y en las
proximidades de . Puede observarse que para
las dos funciones son prácticamente iguales.
Podemos también resolver numéricamente el problema para un ángulo
cualquiera y comparar las soluciones. Como condición inicial vamos a
situar la partícula en el punto mas bajo del aro, e ir variando la
velocidad inicial. Para valores pequeños de ésta, la amplitud de
oscilación será pequeña y se cumplirá la condición de ángulo
pequeño. Para velocidades iniciales grandes la bolita sube mucho y el
ángulo ya no podrá considerarse pequeño. El problema es
La figura muestra la evolución de para un ángulo máximo
muy pequeño y otro ángulo máximo próximo a (la partícula llega
casi hasta el punto más alto del aro). En el primer caso la solución
tiene forma de seno, pues se cumple
. En el segundo caso se ve
claramente que ya no es una función seno. El ángulo está escalado con
su valor máximo y el tiempo con el período correspondiente al
oscilador armónico.
En la misma gráfica se observa que, para ángulos grandes, la función
sigue siendo periódica, aunque no sea senoidal. Pero su período va
aumentando con el ángulo. Se puede calcular la variación del período
en función del
ángulo máximo alcanzado. El resultado se muestra en la gráfica de la
izquierda. Para ángulos máximos pequeños, el período es el del caso
(). Conforme se alcanzan ángulos mayores (la
partícula llega más arriba) el período se va haciendo más grande, y
tiende a infinito si .