Coordenadas polares

Definición

En el caso del movimiento bidimensional de un punto material resulta útil en muchas ocasiones trabajar con coordenadas polares. Usaremos la figura para definirlas.

Sea un punto $P$ situado en el plano $OXY$ con coordenadas cartesianas $(x,y)$. Su vector de posición respecto al origen del sistema de referencia es

${\vec {r}}={\overrightarrow {OP}}$

Las coordenadas polares $(\rho ,\theta )$ se definen de la siguiente forma

1. La coordenada $\rho$ es la distancia del punto $P$ al punto $O$. Puede variar entre los valores 0 y $\infty$.
2. La coordenada $\theta$ es el ángulo que forma el vector ${\vec {r}}$ con el eje $OX$. Puede variar entre los valores 0 y $2\pi$.

Estas dos coordenadas permiten describir de forma unívoca la posición de cualquier punto en el plano $OXY$.

${\begin{array}{ccc}P(\rho ,\theta )\qquad \qquad &\rho \in [0,\infty )\qquad \qquad &\theta \in [0,2\pi )\end{array}}$

El intervalo para $\theta$ es abierto a la derecha para evitar llegar al valor de $2\pi$. De lo contrario, los puntos del eje $OX$ aparecerían dos veces, para $\theta =0$ y para $\theta =2\pi$.

Relación con las coordenadas cartesianas

Cada par de valores $(x,y)$ corresponde unívocamente a un par de valores $\rho ,\theta$. La relación entre estos dos pares puede obtenerse a partir de la figura. Teniendo en cuenta el triángulo rectángulo formado por los catetos de longitud $x$ e $y$ y la hipotenusa de longitud $\rho$ tenemos

Polares → cartesianas	Cartesianas → polares
$x=\rho \,\cos \theta$	$\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$
$y=\rho \,\mathrm {sen} \,\theta$	$\theta =\mathrm {arctan} (y/x)$

Base vectorial en polares

Al igual que el sistema de coordenadas cartesianas, las coordenadas polares llevan asociada una base vectorial. Esta base la componen los vectores unitarios $\{{\vec {u}}_{\rho },{\vec {u}}_{\theta }\}$ pintados en verde en la figura.

El vector ${\vec {u}}_{\rho }$ apunta en la dirección y sentido en que nos movemos si variamos la coordenada $\rho$ manteniendo $\theta$ constante. Si $\rho$ aumenta nos alejamos radialmente del punto $O$, y si disminuye nos dirigimos hacia $O$.

De igual modo, el vector ${\vec {u}}_{\theta }$ apunta en la dirección y sentido en que nos movemos si varía $\theta$ manteniendo $\rho$ constante. Si $\theta$ aumenta nos desplazamos sobre la tangente a la circunferencia de radio $\rho$ centrada en $O$, en sentido contrario a las agujas del reloj. Si $\theta$ disminuye el sentido del desplazamiento es el de las agujas del reloj.

Usando los ángulos indicados en la figura podemos expresar los vectores de la base polar en función de los vectores de la base cartesiana

${\begin{array}{l}{\vec {u}}_{\rho }=\cos \theta \,{\vec {\imath }}+\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {u}}_{\theta }=-\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}+\cos \theta \,{\vec {\jmath }}\end{array}}$

Hay que destacar que, a diferencia de los vectores de la base cartesiana, los vectores de la base polar no son constantes. Esto quiere decir que varían en dirección y sentido al cambiar de punto en el plano. Algunos ejemplos

$\theta$	${\vec {u}}_{\rho }$	${\vec {u}}_{\theta }$
0	${\vec {\imath }}$	${\vec {\jmath }}$
$\pi /4$	${\dfrac {1}{\sqrt {2}}}{\vec {\imath }}+{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}{\vec {\jmath }}$	$-{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}{\vec {\imath }}+{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}{\vec {\jmath }}$
$\pi /2$	${\vec {\jmath }}$	$-{\vec {\imath }}$

Podemos obtener la expresión de los vectores de la base cartesiana en función de la base polar proyectando en la primera figura o despejando en la expresión de los vectores polares en función de los cartesianos. Así

${\begin{array}{l}{\vec {\imath }}=\cos \theta \,{\vec {u}}_{\rho }-\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {u}}_{\theta }\\\\{\vec {\jmath }}=\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {u}}_{\rho }+\cos \theta \,{\vec {u}}_{\theta }\end{array}}$

Vectores cinemáticos en coordenadas polares

Vector de posición

Vamos a encontrar la expresión de los vectores de posición, velocidad y aceleración en coordenadas polares. A partir del dibujo que el vector de posición ${\vec {r}}={\overrightarrow {OP}}$ puede escribirse como

${\vec {r}}=\rho \,{\vec {u}}_{\rho }$

El vector de posición debe depender de $\rho$ y $\theta$. Así que uno puede preguntarse donde está la coordenada $\theta$ en esta expresión. La respuesta es que está en el vector ${\vec {u}}_{\rho }$, que depende de $\theta$.

Vector velocidad

A lo largo del movimiento del punto por el plano las coordenadas polares cambian con el tiempo

$\rho =\rho (t)\qquad \qquad \theta =\theta (t)$

Para obtener la velocidad hay que derivar el vector de posición respecto del tiempo. Pero hay que tener en cuenta que al moverse el punto, como varían tanto $\rho$ como $\theta$, también varían los vectores ${\vec {u}}_{\rho }$ y ${\vec {u}}_{\theta }$. Así pues, hay que derivar también el vector ${\vec {u}}_{\rho }$ en la expresión de ${\vec {r}}$.

${\vec {v}}={\dfrac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}={\dfrac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}{\vec {u}}_{\rho }+\rho {\dfrac {\mathrm {d} {\vec {u}}_{\rho }}{\mathrm {d} t}}={\dot {\rho }}\,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,{\dot {\vec {u}}}_{\rho }$

Para encontrar ${\dot {\vec {u}}}_{\rho }$ usamos la expresión en cartesianas del vector. Los vectores de la base cartesiana $\{{\vec {\imath }},{\vec {\jmath }}\}$ no cambian durante el movimiento de la partícula, esto es, ${\dot {\vec {\imath }}}={\dot {\vec {\jmath }}}=0$. Usando la regla de la cadena tenemos

${\dfrac {\mathrm {d} {\vec {u}}_{\rho }}{\mathrm {d} t}}={\dfrac {\mathrm {d} {\vec {u}}_{\rho }}{\mathrm {d} \theta }}{\dfrac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\dot {\theta }}(-\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}+\cos \theta \,{\vec {\jmath }})$

El vector entre paréntesis es precisamente ${\vec {u}}_{\theta }$. Por tanto

${\dot {\vec {u}}}_{\rho }={\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }$

y la velocidad se escribe

${\vec {v}}={\dot {\rho }}\,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }$

El primer sumando representa la componente de la velocidad en la dirección radial, mientras que el segundo sumando es la componente de la velocidad en la dirección perpendicular a la radial.

Vector aceleración

Derivamos la velocidad respecto al tiempo para obtener la aceleración. Tenemos en cuenta que $\rho$, $\theta$, ${\vec {u}}_{\rho }$ y ${\vec {u}}_{\theta }$ dependen del tiempo

${\begin{array}{rl}{\vec {a}}={\dfrac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}&={\dfrac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {u}}_{\rho }}{\mathrm {d} t}}+{\dfrac {\mathrm {d} (\rho {\dot {\theta }})}{\mathrm {d} t}}\,{\vec {u}}_{\theta }+\rho \,{\dot {\theta }}\,{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {u}}_{\theta }}{\mathrm {d} t}}\\&\\&={\dot {\rho }}\,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }+({\dot {\rho }}\,{\dot {\theta }}+\rho \,{\ddot {\theta }})\,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,{\dot {\theta }}\,{\dot {\vec {u}}}_{\theta }\end{array}}$

Para obtener la expresión de ${\dot {\vec {u}}}_{\theta }$ utilizamos de nuevo la expresión en cartesianas de ${\vec {u}}_{\theta }$

${\dot {\vec {u}}}_{\theta }={\dot {\theta }}{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {u}}_{\theta }}{\mathrm {d} \theta }}=-{\dot {\theta }}(\cos \theta \,{\vec {\imath }}+\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }})=-{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\rho }$

Finalmente, la expresión de la aceleración en coordenadas polares es

${\vec {a}}=({\ddot {\rho }}-\rho \,{\dot {\theta }}^{2})\,{\vec {u}}_{\rho }+(2\,{\dot {\rho }}\,{\dot {\theta }}+\rho \,{\ddot {\theta }})\,{\vec {u}}_{\theta }$