3.1. Cálculo de energías potenciales

Enunciado

Para las siguientes fuerzas, consideradas en una dimensión

• Peso: $F=-mg$

• Elástica: $F=-k(x-l_{0})$

• Gravitatoria: $F=-GMm/x^{2}$

1. Determine la energía potencial de la que deriva cada una.
2. Trace las curvas de potencial para las tres fuerzas.
3. Considere el caso de una partícula sometida simultáneamente a una fuerza elástica y al peso, ¿cuál es la energía potencial como función de la posición? ¿Qué forma tiene su curva de potencial? ¿Qué movimiento describe una partícula sometida a estas dos fuerzas a la vez?
4. Para el caso de la fuerza gravitatoria, calcule la velocidad de escape, definida como aquella que partiendo de la superficie de un planeta, permite llegar al infinito con velocidad nula.

Energía potencial

Una fuerza se denomina conservativa cuando el trabajo que realiza para ir de un punto a otro

$W_{A\to B}=\int _{A}^{B}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}$

es independiente del camino que une los dos puntos. En ese caso podemos definir la energía potencial mediante la integral

$U({\vec {r}})=-\int _{{\vec {r}}_{0}}^{\vec {r}}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}$

desde un cierto origen de potencial ${\vec {r}}_{0}$ hasta un punto variable, a lo largo de un camino arbitrario.

En el caso de una fuerza que actúa sobre un solo eje y depende sólo de la posición a lo largo de dicho eje

${\vec {F}}=F(x){\vec {\imath }}$

la energía potencial se reduce a la integral escalar

$U(x)=-\int _{x_{0}}^{x}F(x)\mathrm {d} x$

Peso

En el caso del peso, la fuerza siempre actúa en la dirección vertical, sobre la cual se alinea normalmente el eje OY o el OZ. Considerando que el eje OZ es el vertical y hacia arriba, el peso de una partícula se expresa

${\vec {F}}=-mg{\vec {k}}$

y la energía potencial medida desde una altura $z=0$

$U(z)=-\int _{0}^{z}(-mg)\mathrm {d} z=mgz$

Resorte

Caso unidimensional

Si consideramos un resorte horizontal, que posee una longitud natural $l_{0}$ (la que tiene cuando no está ni comprimido ni expandido), y realizamos una deformación en la misma dirección del muelle, la fuerza que este jerce vale aproximadamente

${\vec {F}}=-k(x-l_{0}){\vec {\imath }}$

o, considerando el movimiento como unidimensional, podemos omitir los vectores y escribir

$F=-k(x-l_{0})\,$

La energía potencial asociada a esta fuerza será, si tomamos el origen de potencial en un punto $x_{0}$

$U(x)=-\int _{x_{0}}^{x}(-k(x-l_{0}))\mathrm {d} x=\left.{\frac {k}{2}}(x-l_{0})^{2}\right|_{x_{0}}^{x}={\frac {1}{2}}k\left((x-l_{0})^{2}-(x_{0}-l_{0})^{2}\right)$

Existen ahora dos puntos que pueden ser elegidos como origen de potencial de forma natural (de entre los infinitos posibles):

• El punto $x_{0}=0$ correspondiente al extremo fijo del muelle. Con esta elección, la energía potencial queda

$U(x)={\frac {k}{2}}\left((x-l_{0})^{2}-l_{0}^{2}\right)={\frac {k}{2}}x^{2}-kxl_{0}$

• La posición $x_{0}=l_{0}$ correspondiente al punto de equilibrio en reposo. Si se elige este punto queda simplemente

$U(x)={\frac {k}{2}}(x-l_{0})^{2}$

Esta segundo elección es la más frecuente y la que se da por supuesta en la mayoría de las ocasiones. Tiene, no obstante, el problema de que si cambia la posición de equilibrio (por ejemplo, porque el muelle se cuelga verticalmente y el peso lo estira) hay que ser cuidadoso con el valor de la energía potencial.

Ambas elecciones son correctas, ya que el trabajo en cualquier proceso depende solo del cambio en la energía potencial y, al diferenciarse ambas expresiones en una constante, el resultado final es el mismo.

A menudo, se miden las posiciones desde la posición de equilibrio, de forma que la longitud natural es nula y la energía potencial se reduce a

$U(x)={\frac {k}{2}}x^{2}\qquad (l_{0}=0)$

Caso tridimensional

En dos o tres dimensiones la fuerza elástica suele escribirse suponiendo longitud natural nula y queda, en forma vectorial

${\vec {F}}=-k{\vec {r}}$

esta fuerza es siempre radial desde el punto de equilibrio del resorte, ${\vec {r}}={\vec {0}}$. Dado un punto del espacio, podemos calcular la energía potencial elástica tomando el eje OX como el que pasa por el punto de equilibrio y el punto en que queramos hallar la energía. En ese caso, sobre este eje, la fuerza se reduce a

${\vec {F}}=-kx{\vec {\imath }}$

y la energía potencial medida desde la posición central es

$U(x)=-\int _{0}^{x}(-kx)\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}kx^{2}$

$x$ es aquí la distancia al punto central. Expresando este resultado para cualquier punto del espacio

$U(r)={\frac {1}{2}}kr^{2}={\frac {1}{2}}k(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

Gravitación

Para el caso de la atracción gravitatoria debida a una masa fija, la fuerza es también radial y dependiente solo de la distancia al centro

${\vec {F}}=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\vec {u}}_{r}$

Como en el caso de la ley de Hooke, para cada punto podemos tomar el eje OX como aquél que pasa por el centro de fuerzas y el punto para el cual queremos hallar la energía y escribir la fuerza como

${\vec {F}}=-{\frac {GMm}{x^{2}}}{\vec {\imath }}$

(siendo $x>0$). A diferencia del caso elástico, no podemos tomar el origen de energías potenciales en el centro de fuerzas, ${\vec {r}}={\vec {0}}$, ya que en ese punto la fuerza tiende a infinito, lo que hace que la integral diverja. En su lugar tomamos como origen de energías potenciales un punto infinitamente alejado del cuerpo atractor, de forma que la integral queda

$U(x)=-\int _{\infty }^{x}\left(-{\frac {GMm}{x^{2}}}\right)\mathrm {d} x=-\left.{\frac {GMm}{x}}\right|_{\infty }^{x}=-{\frac {GMm}{x}}$

Generalizando para cualquier punto, sea cual sea la orientación respecto a los ejes

$U({\vec {r}})=-{\frac {GMm}{r}}$

Curvas de potencial

Consideradas como función de una sola variable, cada una de las energías anteriores puede representarse como función de la coordenada $x$ (o equivalente), resultando en las correspondientes curvas de potencial.

• La energía potencial asociada al peso aumenta linealmente con la altura y por tanto, su gráfica será una recta con una pendiente igual a $mg$.
• La energía potencial elástica crece cuadráticamente con la distancia al centro, siendo su gráfica una parábola.
• La energía potencial gravitatoria se representa por una hipérbola, que tiende a $-\infty$ para $r\to 0$ y tiene por asíntota el eje $U=0$. Si se quiere extender a valores negativos de $x$, hay que tener cuidado ya que en la energía aparece la distancia al centro, sin signo, y por tanto, en su expresión debe figurar $|x|$ en lugar de $x$.

Peso	Elástica	Gravitatoria

Puesto que el peso no es más que una manifestación de la fuerza gravitatoria, realmente la curva de energía potencial gravitatoria contiene a la correspondiente al peso.

El estudio del peso es una particularización de la fórmula general para el caso de que el movimiento se restrinja a una pequeña región en las proximidades de la superficie terrestre. Esto permite suponer la fuerza como prácticamente independiente de la altura y la energía potencial como una recta inclinada.

Resorte con peso

Cuando sobre una partícula actúan simultáneamente dos fuerzas, su energía potencial es la suma de las energías potenciales correspondientes

$U({\vec {r}})=-\int _{{\vec {r}}_{0}}^{\vec {r}}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=-\int _{{\vec {r}}_{0}}^{\vec {r}}({\vec {F}}_{1}+{\vec {F}}_{2})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=-\int _{{\vec {r}}_{0}}^{\vec {r}}{\vec {F}}_{1}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}-\int _{{\vec {r}}_{0}}^{\vec {r}}{\vec {F}}_{2}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=U_{1}({\vec {r}})+U_{2}({\vec {r}})$

Esto quiere decir que si tenemos un resorte situado verticalmente, de forma que se encuentra sometido a una fuerza elástica y al peso en la misma dirección, su energía potencial será

$U(z)=mgz+{\frac {1}{2}}kz^{2}$

tomando el origen de energías potencial gravitatoria en el punto de equilibrio del resorte. ¿Qué aspecto tiene esta función? ¿Qué resulta de “sumar” una recta a una parábola? La respuesta es que otra parábola, puesto que seguimos teniendo una función de segundo grado.

Completando cuadrados, podemos escribirla como

$U(z)={\frac {1}{2}}k\left(z+{\frac {mg}{k}}\right)^{2}-{\frac {m^{2}g^{2}}{2k}}$

que nos dice que esta nueva parábola tiene un nuevo punto de equilibrio en

$z_{\mathrm {eq} }=-{\frac {mg}{k}}$

Físicamente lo que ocurre es que el peso estira el muelle hacia abajo, apareciendo un nuevo equilibrio en un punto inferior en el que la fuerza del resorte compensa al peso. La partícula puede oscilar en torno a esta nueva posición de equilibrio de la misma manera que lo hacía alrededor de la original.

Velocidad de escape

La velocidad de escape se define como la mínima velocidad que es preciso comunicar a un cuerpo ligero para salir del campo gravitatorio de otro masivo.

Esta velocidad mínima es la que permite llegar al infinito con velocidad nula. Una velocidad menor no permitiría salir del “pozo” de energía potencial gravitatoria.

La energía mecánica de una partícula en un campo gravitatorio es

$E={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {GMm}{r}}$

Imponiendo que $v\to 0$ cuando $r\to \infty$ queda

${\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {GMm}{r}}=0$ ⇒ $v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}$

Aquí $r$ es la distancia de partida. En el caso de un cohete que parte de la superficie terrestre $r=R_{T}$. El valor de $GM$ lo podemos obtener del valor de la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre

$g={\frac {GM}{R_{T}^{2}}}$ ⇒ $v={\sqrt {2gR_{T}}}\simeq 11.2\,{\frac {\mathrm {km} }{\mathrm {s} }}$

Esta es la velocidad necesaria para salir del campo gravitatorio terrestre. Aparte habrá que comunicarle la velocidad necesaria para enviarlo al destino deseado, teniendo en cuenta la energía potencial gravitatoria debida al Sol.

Por comparación, la velocidad de escape de la superficie lunar es 2.4 km/s y en Marte es de 5 km/s, mientras que de la superficie solar es de 617.5 km/s.

También podemos preguntarnos qué radio debe tener una masa para que la velocidad de escape desde su superficie iguale a la de la luz:

$c={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}$ ⇒  $r={\frac {2GM}{c^{2}}}$

Para una masa como la del Sol (2×10³⁰kg) este radio (conocido como radio de Schwarzschild) vale 3 km. Si el Sol se contrajera hasta este tamaño, su campo gravitatorio no dejaría escapar la luz y se habría convertido en un agujero negro.