Primera Prueba de Control 2020/21 (MR G.I.C.)

Cilindro rodando sin deslizar

Un cilindro de radio $R$ (sólido "2") rueda sin deslizar sobre un plano fijo $O_{1}X_{1}Y_{1}Z_{1}$ (sólido "1"). Los ejes $GX_{2}Y_{2}Z_{2}$ son solidarios con el cilindro. Introducimos unos ejes auxiliares $GX_{0}Y_{0}Z_{0}$ que cumplen las siguientes propiedades: el $X_{0}$ es paralelo al eje del cilindro; el eje $Z_{0}$ es perpendicular al plano fijo "1"; el ángulo que forma el eje $Y_{0}$ con el eje $X_{1}$ es $\phi$. El punto $A$ señala el punto geométrico en la vertical de $G$ donde el cilindro está en contacto con el plano. Las coordenadas de este punto en los ejes "1" son $x_{1}$, $y_{1}$. Estas son también las coordenadas de $G$ en el plano fijo. Los diagramas auxiliares indican los ángulos relevantes entre los diferentes sistemas de ejes.

1. Encuentra la reducción cinemática en el punto $G$ de los movimientos {01}, {20}, {21}. Expresa los resultados en la base "0" y usa el menor número de coordenadas posible.

2. Si el tensor de inercia del cilindro en $G$ es de la forma

${\overleftrightarrow {I_{O}}}=\left[{\begin{array}{ccc}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{2}\end{array}}\right]$

con $I_{1}$, $I_{2}$ conocidos, calcula el momento cinético del cilindro en $G$ y su energía cinética.

Tensor de inercia de un hexágono

EL sólido rígido de la figura es un hexágono de lado $L$. Cada lado del hexágono tiene una masa $m$.

1. Calcula el tensor de inercia del hexágono en su centro, expresado en los ejes de la figura..
2. Calcula el tensor de inercia en el vértice $A$, expresado en los mismos ejes.
3. Calcula el momento de inercia respecto a un eje paralelo al eje $OX$ y que pase por $A$.

Movimiento instantáneo de barras articuladas

Una barra delgada (sólido “0”), de longitud ${\sqrt {2}}d$, está articulada en un punto fijo $O$ y rota en el plano fijo $OX_{1}Y_{1}$. Otra barra delgada (sólido “2”) de la misma longitud se articula en su punto $B$ en en el extremo de la barra “0”. El punto $A$ de la barra “2” desliza sobre el eje $OY_{1}$ con una velocidad $v_{0}$ . Los cálculos que se piden a continuación corresponden al instante indicado en la figura. En ese instante las dos barras son perpendiculares.

1. Determina gráfica y analíticamente la posición de los C.I.R. de los movimientos {01}, {20} y {21}
2. Calcula una reducción cinemática de esos movimientos.
3. Si la velocidad absoluta del punto $A$ es constante en el tiempo, calcula las derivadas temporales de esas reducciones cinemáticas.