Movimiento instantáneo de barras articuladas (Dic. 2020)

Enunciado

Una barra delgada (sólido “0”), de longitud ${\sqrt {2}}d$, está articulada en un punto fijo $O$ y rota en el plano fijo $OX_{1}Y_{1}$. Otra barra delgada (sólido “2”) de la misma longitud se articula en su punto $B$ en en el extremo de la barra “0”. El punto $A$ de la barra “2” desliza sobre el eje $OY_{1}$ con una velocidad $v_{0}$ . Los cálculos que se piden a continuación corresponden al instante indicado en la figura. En ese instante las dos barras son perpendiculares.

1. Determina gráfica y analíticamente la posición de los C.I.R. de los movimientos {01}, {20} y {21}
2. Calcula una reducción cinemática de esos movimientos.
3. Si la velocidad absoluta del punto $A$ es constante en el tiempo, calcula las derivadas temporales de esas reducciones cinemáticas.

Solución

Análisis del enunciado

De la lectura atenta del enunciado se deducen los siguientes datos cinemáticos:

1. Todos los vectores rotación son perpendiculares al plano $OX_{1}Y_{1}$ pues se trata de un movimiento plano. Esto es: ${\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}\,{\vec {k}}$, ${\vec {\omega }}_{20}=\omega _{20}\,{\vec {k}}$, ${\vec {\omega }}_{01}=\omega _{01}\,{\vec {k}}$.
2. ${\vec {v}}_{01}^{\,O}={\vec {0}}$, pues la barra "0" está articulada en el punto fijo $O$.
3. ${\vec {v}}_{20}^{\,B}={\vec {0}}$, pues las barras "0" y "2" están articuladas en el punto común $B$.
4. ${\vec {v}}_{21}^{\,A}=v_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1}$ pues el punto $A$ de la barra “2” desliza sobre el eje $OY_{1}$ con una velocidad $v_{0}$.

Posición de los C.I.R.

Del análisis anterior se deduce inmediatamente

$I_{01}\equiv O,\qquad I_{20}\equiv B.$

Para encontrar $I_{21}$ razonamos como sigue. El punto $I_{21}$ debe estar en la línea perpendicular a ${\vec {v}}_{21}^{\,A}$ trazada por $A$. Y el Teorema de los Tres Centros nos dice que debe estar en la línea definida por $\{I_{01},I_{20}\}$. El punto de corte está indicado en la figura.

Los vectores de posición en la base del sólido "1" son

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {OI}}_{01}={\vec {0}},\\{\overrightarrow {OI}}_{20}={\overrightarrow {OB}}={\sqrt {2}}d\,(\cos(\pi /4)\,{\vec {\imath }}_{1}+\mathrm {sen} \,(\pi /4)\,{\vec {\jmath }}_{1})=d\,{\vec {\imath }}_{1}+d\,{\vec {\jmath }}_{1},\\{\overrightarrow {OI}}_{21}=2{\sqrt {2}}d\,(\cos(\pi /4)\,{\vec {\imath }}_{1}+\mathrm {sen} \,(\pi /4)\,{\vec {\jmath }}_{1})=2d\,{\vec {\imath }}_{1}+2d\,{\vec {\jmath }}_{1},\end{array}}$

Reducciones cinemáticas

Hay varias formas de hacer este apartado. Lo mas sencillo es empezar utilizando la posición del $I_{21}$. Aplicando Chasles para el movimiento {21}

${\vec {v}}_{21}^{\,A}={\vec {v}}_{21}^{\,I_{21}}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {I_{21}A}}=(\omega _{21}\,{\vec {k}})\times (-2d\,{\vec {\imath }}_{1})=2\omega _{21}d\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Comparando con ${\vec {v}}_{21}^{\,A}=v_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1}$ obtenemos la reducción cinemática en $A$ del movimiento {21}

${\vec {\omega }}_{21}=-{\dfrac {v_{0}}{2d}}\,{\vec {k}},\qquad {\vec {v}}_{21}^{\,A}=v_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Ahora podemos seguir utlizando la composición {21} en $A$

${\vec {v}}_{21}^{\,A}={\vec {v}}_{20}^{\,A}+{\vec {v}}_{01}^{\,A}$

Ahora aplicamos Chasles en los movimientos {20} y {01}

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{20}^{\,A}={\vec {v}}_{20}^{\,B}+{\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {BA}}=(\omega _{20}\,{\vec {k}})\times (-d\,{\vec {\imath }}_{1}+d\,{\vec {\jmath }}_{1})=-\omega _{20}d\,{\vec {\imath }}_{1}-\omega _{20}d\,{\vec {\jmath }}_{1},\\{\vec {v}}_{01}^{\,A}={\vec {v}}_{01}^{\,O}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OA}}=(\omega _{01}\,{\vec {k}})\times (2d\,{\vec {\jmath }}_{1})=-2\omega _{01}d\,{\vec {\imath }}_{1}.\end{array}}$

Por tanto

${\vec {v}}_{21}^{\,A}=-d\,(\omega _{20}+2\omega _{01})\,{\vec {\imath }}_{1}-\omega _{20}d\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Comparando con ${\vec {v}}_{21}^{\,A}=v_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1}$ obtenemos

$\omega _{20}=-v_{0}/d,\qquad \omega _{01}=v_{0}/2d.$

Por lo que las dos reducciones cinemáticas que faltan son

${\begin{array}{lcl}{\vec {\omega }}_{01}={\dfrac {v_{0}}{2d}}\,{\vec {k}},&\quad &{\vec {v}}_{01}^{\,O}={\vec {0}},\\\\{\vec {\omega }}_{20}=-{\dfrac {v_{0}}{d}}\,{\vec {k}},&\quad &{\vec {v}}_{20}^{\,B}={\vec {0}}.\end{array}}$

Derivadas temporales de las reducciones cinemáticas

Al ser un movimiento plano tenemos también ${\vec {\alpha }}_{21}=\alpha _{21}\,{\vec {k}}$, ${\vec {\alpha }}_{20}=\alpha _{20}\,{\vec {k}}$, ${\vec {\alpha }}_{01}=\alpha _{01}\,{\vec {k}}$.

También hay varias formas de hacer este apartado. Proponemos una de ellas.

Como el enunciado dice que $v_{0}$ es constante tenemos ${\vec {a}}_{21}^{\,A}={\vec {0}}$. Por otro lado los C.I.R. de los movimientos {20} y {01} están siempre en los mismos puntos de los sólidos. Entonces

${\vec {a}}_{21}^{\,A}={\vec {0}},\qquad {\vec {a}}_{20}^{\,B}={\vec {0}},\qquad {\vec {a}}_{01}^{\,O}={\vec {0}}.$

Ahora usamos la composición {21}= {20} + {01} en $B$

${\begin{array}{l}{\vec {a}}_{21}^{\,B}={\vec {a}}_{20}^{\,B}+{\vec {a}}_{01}^{\,B}+2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,B}=\left({\dfrac {v_{0}^{2}}{4d}}-\alpha _{01}d\right)\,{\vec {\imath }}_{1}+\left({\dfrac {v_{0}^{2}}{4d}}+\alpha _{01}d\right)\,{\vec {\jmath }}_{1}.\\\qquad {\vec {a}}_{20}^{\,B}={\vec {0}},\\\qquad {\vec {a}}_{01}^{\,B}={\vec {a}}_{01}^{\,0}+{\vec {\alpha }}_{01}\times {\overrightarrow {OB}}-|{\vec {\omega }}_{01}|^{2}\,{\overrightarrow {OB}}=\left({\dfrac {v_{0}^{2}}{4d}}-\alpha _{01}d\right)\,{\vec {\imath }}_{1}+\left({\dfrac {v_{0}^{2}}{4d}}+\alpha _{01}d\right)\,{\vec {\jmath }}_{1}.\\\qquad \qquad {\vec {a}}_{01}^{\,O}={\vec {0}},\\\qquad \qquad {\vec {\alpha }}_{01}\times {\overrightarrow {OB}}=(\alpha _{01}\,{\vec {k}})\times (d\,{\vec {\imath }}_{1}+d\,{\vec {\jmath }}_{1})=-\alpha _{01}d\,{\vec {\imath }}_{1}+\alpha _{01}d\,{\vec {\jmath }}_{1},\\\qquad \qquad |{\vec {\omega }}_{01}|^{2}\,{\overrightarrow {OB}}={\dfrac {v_{0}^{2}}{4d}}\,({\vec {\imath }}_{1}+{\vec {\jmath }}_{1}).\\\qquad {\vec {v}}_{20}^{\,B}={\vec {0}}.\end{array}}$

Por otro lado , usando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21} partiendo desde $A$

${\begin{array}{l}{\vec {a}}_{21}^{\,B}={\vec {a}}_{21}^{\,A}+{\vec {\alpha }}_{21}\times {\overrightarrow {AB}}-|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}\,{\overrightarrow {AB}}=\left({\dfrac {v_{0}^{2}}{4d}}+\alpha _{21}d\right)\,{\vec {\imath }}_{1}+\left(-{\dfrac {v_{0}^{2}}{4d}}+\alpha _{21}d\right)\,{\vec {\jmath }}_{1}.\\\qquad {\vec {a}}_{21}^{\,A}={\vec {0}}.\\\qquad {\vec {\alpha }}_{21}\times {\overrightarrow {AB}}=(\alpha _{21}\,{\vec {k}})\times (d\,{\vec {\imath }}_{1}-d\,{\vec {\jmath }}_{1})=\alpha _{21}d\,{\vec {\imath }}_{1}+\alpha _{21}d\,{\vec {\jmath }}_{1},\\\qquad |{\vec {\omega }}_{21}|^{2}\,{\overrightarrow {AB}}={\dfrac {v_{0}^{2}}{4d}}\,({\vec {\imath }}_{1}-{\vec {\jmath }}_{1}).\end{array}}$

Comparando las dos expresiones de ${\vec {a}}_{21}^{\,B}$ obtenemos

${\vec {\alpha }}_{21}=-{\dfrac {v_{0}^{2}}{4d^{2}}}\,{\vec {k}},\qquad {\vec {\alpha }}_{01}={\dfrac {v_{0}^{2}}{4d^{2}}}\,{\vec {k}}$

Y ahora usamos la ley de composición

${\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}\to {\vec {\alpha }}_{20}={\vec {\alpha }}_{21}-{\vec {\alpha }}_{01}-{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}=-{\dfrac {v_{0}^{2}}{2d^{2}}}\,{\vec {k}}.$

Las derivadas de las reducciones cinemáticas son

${\begin{array}{ll}{\vec {\alpha }}_{21}=-(v_{0}^{2}/4d)\,{\vec {k}},&\qquad {\vec {a}}_{21}^{\,A}={\vec {0}},\\{\vec {\alpha }}_{20}=-(v_{0}^{2}/2d)\,{\vec {k}},&\qquad {\vec {a}}_{21}^{\,B}={\vec {0}},\\{\vec {\alpha }}_{01}=(v_{0}^{2}/4d)\,{\vec {k}},&\qquad {\vec {a}}_{21}^{\,O}={\vec {0}}.\end{array}}$

Errores habituales detectados en la corrección

1. Cuando se pide encontrar analíticamente los C.I.R. quiere decir dar su vector de posición.
2. No se pueden derivar los vectores rotación obtenidos en el segundo apartado. Esos valores corresponden a un instante de tiempo. Para derivar una función tienes que conocer su expresión en un intervalo de tiempo.
3. Hay gente que, para expresar el Teorema de los Tres Centros, ha escrito $I_{21}=I_{20}+I_{01}$. Esta expresión no tiene sentido.