Segunda Convocatoria Ordinaria 2017/18 (G.I.E.R.M.)

Dos partículas unidas por una barra

Las partículas $A$ y $B$, ambas con masa $m$, están unidas por una barra rígida de longitud $2L$ y masa despreciable. El punto $C$ es el punto medio de la barra. La partícula $A$ está obligada a moverse en el eje fijo $OX$, como se indica en la figura. Este contacto es liso. La barra que une las partículas forma un ángulo $\theta (t)$ con el eje $OX$. La partícula $A$ se mueve con velocidad constante ${\vec {v}}_{0}=v_{0}\,{\vec {\imath }}$. En el instante inicial la partícula $A$ se encontraba en el punto $O$ y $\theta (0)=0$. El sistema está sometido a la acción de la gravedad.

1. Encuentra la expresión de los vectores de posición ${\vec {r}}_{A}$, ${\vec {r}}_{B}$ y ${\vec {r}}_{C}$ en función de $v_{0}$, $L$, $\theta$ y $t$.
2. Si el ángulo varía como $\theta (t)={\dfrac {v_{0}}{L}}t$, calcula la velocidad y aceleración de las partículas $A$ y $B$ y del centro de masas del sistema.
3. El movimiento descrito anteriormente está producido por una fuerza horizontal ${\vec {F}}_{A}$ aplicada sobre la partícula $A$. Dibuja el diagrama de fuerzas del sistema y calcula la expresión de todas las fuerzas externas que actúan sobre él.
4. Calcula la energía cinética del sistema y su momento cinético respecto de $O$ en el instante $t_{1}=\pi L/2v_{0}$.
5. Supongamos ahora que la partícula $B$ se mueve de modo que la componente de su velocidad sobre el $OX$ es constante e igual a $2v_{0}$. Encuentra y resuelve la ecuación diferencial que debe cumplir $\theta (t)$ para que esto sea posible.

Barra girando alrededor de otra barra horizontal

Una barra de longitud $L$ (sólido "0") puede rotar alrededor del eje $OZ_{1}$ con velocidad angular constante ${\vec {\omega }}_{0}$, como se indica en la figura. El punto $O$ de la barra es fijo. La barra "0" siempre está contenida en el plano $OX_{1}Y_{1}$. Otra barra, también de longitud $L$ (sólido "2"), está conectada a la barra "0" por un pasador en el punto $A$. El pasador desliza sobre la barra "0" con velocidad constante $v_{0}$. Además, la barra "2" gira alrededor de la barra "0" con velocidad angular uniforme ${\vec {\Omega }}_{0}$. En $t=0$ la barra "0" estaba sobre el eje $OX_{1}+$, el extremo $A$ de la barra "2" estaba en el punto $O$ y el punto $B$ estaba en el plano $OX_{1}Y_{1}$. Los vectores ${\vec {v}}_{0}$, ${\vec {\omega }}_{0}$ y ${\vec {\Omega }}_{0}$ apuntan en el sentido indicado en la figura.

1. Determina las reducciones cinemáticas $\{01\},\{20\},\{21\}$.
2. Calcula las derivadas temporales de las reducciones cinemáticas del apartado anterior.
3. ¿Qué tipo de movimiento es cada uno de ellos?
4. Sea $t_{1}$ el instante de tiempo para el cual $B$ está en el punto más alto de su trayectoria. Calcula ${\vec {v}}_{21}^{B}$ y ${\vec {a}}_{21}^{B}$ en ese instante.