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Segunda Convocatoria Ordinaria 2017/18 (G.I.E.R.M.)

De Laplace

1 Dos partículas unidas por una barra

Las partículas A y B, ambas con masa m, están unidas por una barra rígida de longitud 2L y masa despreciable. El punto C es el punto medio de la barra. La partícula A está obligada a moverse en el eje fijo OX, como se indica en la figura. Este contacto es liso. La barra que une las partículas forma un ángulo θ(t) con el eje OX. La partícula A se mueve con velocidad constante \vec{v}_0 = v_0\,\vec{\imath}. En el instante inicial la partícula A se encontraba en el punto O y θ(0) = 0. El sistema está sometido a la acción de la gravedad.

  1. Encuentra la expresión de los vectores de posición \vec{r}_A, \vec{r}_B y \vec{r}_C en función de v0, L, θ y t.
  2. Si el ángulo varía como \theta(t)=\dfrac{v_0}{L}t, calcula la velocidad y aceleración de las partículas A y B y del centro de masas del sistema.
  3. El movimiento descrito anteriormente está producido por una fuerza horizontal \vec{F}_A aplicada sobre la partícula A. Dibuja el diagrama de fuerzas del sistema y calcula la expresión de todas las fuerzas externas que actúan sobre él.
  4. Calcula la energía cinética del sistema y su momento cinético respecto de O en el instante t1 = πL / 2v0.
  5. Supongamos ahora que la partícula B se mueve de modo que la componente de su velocidad sobre el OX es constante e igual a 2v0. Encuentra y resuelve la ecuación diferencial que debe cumplir θ(t) para que esto sea posible.

2 Barra girando alrededor de otra barra horizontal

Una barra de longitud L (sólido "0") puede rotar alrededor del eje OZ1 con velocidad angular constante \vec{\omega}_0, como se indica en la figura. El punto O de la barra es fijo. La barra "0" siempre está contenida en el plano OX1Y1. Otra barra, también de longitud L (sólido "2"), está conectada a la barra "0" por un pasador en el punto A. El pasador desliza sobre la barra "0" con velocidad constante v0. Además, la barra "2" gira alrededor de la barra "0" con velocidad angular uniforme \vec{\Omega}_0. En t = 0 la barra "0" estaba sobre el eje OX1 + , el extremo A de la barra "2" estaba en el punto O y el punto B estaba en el plano OX1Y1. Los vectores \vec{v}_0, \vec{\omega}_0 y \vec{\Omega}_0 apuntan en el sentido indicado en la figura.

  1. Determina las reducciones cinemáticas {01},{20},{21}.
  2. Calcula las derivadas temporales de las reducciones cinemáticas del apartado anterior.
  3. ¿Qué tipo de movimiento es cada uno de ellos?
  4. Sea t1 el instante de tiempo para el cual B está en el punto más alto de su trayectoria. Calcula \vec{v}^{B}_{21} y \vec{a}^B_{21} en ese instante.

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