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Barra girando alrededor de otra barra horizontal (Sep. 2018 G.I.C.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una barra de longitud L (sólido "0") puede rotar alrededor del eje OZ1 con velocidad angular constante \vec{\omega}_0, como se indica en la figura. El punto O de la barra es fijo. La barra "0" siempre está contenida en el plano OX1Y1. Otra barra, también de longitud L (sólido "2"), está conectada a la barra "0" por un pasador en el punto A. El pasador desliza sobre la barra "0" con velocidad constante v0. Además, la barra "2" gira alrededor de la barra "0" con velocidad angular uniforme \vec{\Omega}_0. En t = 0 la barra "0" estaba sobre el eje OX1 + , el extremo A de la barra "2" estaba en el punto O y el punto B estaba en el plano OX1Y1. Los vectores \vec{v}_0, \vec{\omega}_0 y \vec{\Omega}_0 apuntan en el sentido indicado en la figura.

  1. Determina las reducciones cinemáticas {01},{20},{21}.
  2. Calcula las derivadas temporales de las reducciones cinemáticas del apartado anterior.
  3. ¿Qué tipo de movimiento es cada uno de ellos?
  4. Sea t1 el instante de tiempo para el cual B está en el punto más alto de su trayectoria. Calcula \vec{v}^{B}_{21} y \vec{a}^B_{21} en ese instante.

2 Solución

2.1 Reducciones cinemáticas

Para el movimiento {01} tenemos


\vec{\omega}_{01} = \omega_0\,\vec{k}_0, 
\qquad
\vec{v}^O_{01}=\vec{0}.

Para el movimiento {20} es


\vec{\omega}_{20} = \Omega_0\,\vec{\imath}_0, 
\qquad
\vec{v}^A_{20}=v_0\,\vec{\imath}_0.

Para el movimiento {21} usamos las leyes de composición para {21} = {20} + {01}. Para el vector velocidad de rotación


\begin{array}{l}
\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = \Omega_0\,\vec{\imath}_0 + \omega_0\,\vec{k}_0.
\end{array}

Reducimos la velocidad en A


\begin{array}{ll}
\vec{v}^A_{21}  = & \vec{v}^A_{20} + \vec{v}^A_{01} = v_0\,\vec{\imath}_0 + v_0\omega_0 t\,\vec{\jmath}_0. \\
& \\
& \vec{v}^A_{20} = v_0\vec{\imath}_{0},\\
& \\
& \vec{v}^A_{01} = \vec{v}^O_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA} =
(\omega_0\,\vec{k}_0)\times (v_0 t\,\vec{\imath}_0) = v_0\omega_0 t\,\vec{\jmath}_0.\\
\end{array}

2.2 Derivadas temporales de las reducciones cinemáticas

Para {01}


\vec{\alpha}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t} \right|_1 = \vec{0},
\qquad
\vec{a}^O_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^O_{01}}{\mathrm{d}t} \right|_1 = \vec{0}.

Para {20}


\vec{\alpha}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t} \right|_0 = \vec{0},
\qquad
\vec{a}^A_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^A_{20}}{\mathrm{d}t} \right|_0 = \vec{0}.

Para {21} usamos de nuevo las leyes de composición. Para la aceleración angular


\begin{array}{l}
\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} = \Omega_0\omega_0\,\vec{\jmath}_0.
\end{array}

Para la aceleración en A


\begin{array}{ll}
\vec{a}^A_{21}  = & \vec{a}^A_{20} + \vec{a}^A_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^A_{20} = 
-v_0\omega_0^2t\,\vec{\imath}_0 + 2v_0\omega_0\,\vec{\jmath}_0. \\
&\\
& \vec{a}^A_{01} = \vec{a}^O_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OA} + \vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA})= -v_0\omega_0^2t\,\vec{\imath}_0.\\
&\\
& \vec{a}^A_{20} = \vec{0}.\\
&\\
& 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{a}^A_{20} = 2v_0\omega_0\,\vec{\jmath}_0.
\end{array}

2.3 Tipos de movimientos

Para el movimiento {01}:


\vec{\omega}_{01}\neq\vec{0} \qquad \vec{v}^O_{01}.

Es una rotación pura de eje permanente. El eje es \Delta^{EPR}_{01} \equiv OZ_1.

Para el movimiento {20}:


\vec{\omega}_{20}\neq\vec{0} \qquad \vec{v}^A_{20}\cdot\vec{\omega}_{20}\neq 0.

Es un movimiento helicoidal de eje permanente. El eje es \Delta^{EPRMD}_{20} \equiv OX_0. Siempre pasa por los mismos puntos del sólido "0" (la barra "0")

Para el movimiento {21}:


\vec{\omega}_{21}\neq\vec{0} \qquad \vec{v}^A_{21}\cdot\vec{\omega}_{20}\neq 0.

Es un movimiento helicoidal de eje instantáneo. Para localizar el eje hacemos


\overrightarrow{AI}_{21}^{\,*} =
\dfrac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^{\,A}_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|^2}
=
\dfrac{1}{\omega_0^2 + \Omega_0^2}\,(-\omega_0^2v_0t\,\vec{\imath}_0 + \omega_0 v_0\,\vec{\jmath}_0 + \omega_0\Omega_0v_0t\,\vec{k}).

Nota: En el examen no se pedían los ejes.

2.4 Velocidad y aceleración en B

En el instante t1 tenemos


\begin{array}{l}
\overrightarrow{OA} = v_0t_1 \,\vec{\imath}_0,\\
\\
\overrightarrow{AB} = L\,\vec{k}_0,\\
\\
\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = v_0\,\vec{\imath}_0 +-2L\,\vec{\jmath}_0.
\end{array}

Para la velocidad


\begin{array}{ll}
\vec{v}^B_{21}  = & \vec{v}^B_{20} + \vec{v}^B_{01} = v_0\,\vec{\imath}_0 + (v_0\omega_0 t_1 -L\Omega_0)\,\vec{\jmath}_0. \\
& \\
& \vec{v}^B_{20} = \vec{v}^A_{20} + \vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AB} = v_0\,\vec{\imath}_0 - L\Omega_0\,\vec{\jmath}_0,\\
& \\
& \vec{v}^B_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OB} =
\omega_0v_0t_1\,\vec{\jmath}_0.
\end{array}

Para la aceleración en B


\begin{array}{ll}
\vec{a}^B_{21}  = & \vec{a}^B_{20} + \vec{a}^B_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^B_{20} = 
(2L\omega_0\Omega_0-\omega_0^2v_0t_1) \,\vec{\imath}_0 + 2v_0\omega_0\,\vec{\jmath}_0 - L\Omega_0^2\,\vec{k}_0.\\
&\\
& \vec{a}^B_{20} = \vec{a}^A_{20} + \vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{AB} + \vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AB})= -L\Omega_0^2\,\vec{k}_0,\\

&\\
& \vec{a}^B_{01} = \vec{a}^O_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OB} + \vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OB})= -\omega_0^2v_0t_1\,\vec{\imath}_0,\\
&\\
& 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{a}^B_{20} = 2L\omega_0\Omega_0\,\vec{\imath}_0 + 2v_0\omega_0\,\vec{\jmath}_0.
\end{array}

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